第3章 勾股定理 綜合檢測

第3章勾股定理綜合檢測一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)1.在△ABC中，若AC2-BC2=AB2，則()A.∠A=90° B.∠B=90°C.∠C=90° D.不能確定2.直角三角形的三邊長分別為2x，則x的值有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是()A.0.3，0.4，0.5 B.817 C.16，18，14.(2023江蘇泰州興化期中)如圖，在四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形圖案中，如果大正方形的面積為16，小正方形的面積為4，直角三角形的兩直角邊長分別為a和b，那么(a+b)2的值為()A.25 B.28 C.16 D.485.下圖是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為4cm、3cm、12cm，現(xiàn)有一長為17cm的吸管插入到盒的底部，則吸管露在盒外部分的長l(cm)的取值范圍為()A.4<l<5 B.4≤l≤5 C.3≤l≤5 D.l=56.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知BC=5，AB=13，點D是斜邊AB上的動點，則CD的最小值為()A.6013 B.365 C.947.有一個邊長為1的正方形，以它的一條邊為斜邊，向外作一個直角三角形，再分別以直角三角形的兩條直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為“生長”1次(如圖1)；再分別以這兩個正方形的一條邊為斜邊，向外各作一個直角三角形，然后分別以這兩個直角三角形的直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為“生長”2次(如圖2)；…….如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，則“生長”2023次后形成的圖形中所有正方形的面積和是() 圖1 圖2A.1 B.2022 C.2023 D.20248.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，BD平分∠ABC，若P，Q分別是BD，AB上的動點，則PA+PQ的最小值是()A.2.4 B.4.8 C.4 D.5二、填空題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)9.(2021湖南岳陽中考)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何?”其意思：今有一門，高比寬多6尺8寸，門對角線的長恰好為1丈.問門高、寬各是多少?如圖，設(shè)門高AB為x尺，根據(jù)題意，可列方程為.(1丈=10尺，1尺=10寸)

10.小明和小麗正在玩紙片，小明將一塊正方形紙片ABCD放在地面上，小麗將另一塊正方形紙片CEFG也放在地面上，使其一個頂點與紙片ABCD的一個頂點重合，且∠CGD=90°，如圖所示，現(xiàn)量得DG的長為7cm，設(shè)正方形ABCD的面積為S1，正方形CEFG的面積為S2，則S1-S2=.

11.(2022遼寧朝陽中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，BC=12，分別以點B和點C為圓心、大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點，作直線EF交AB于點D，連接CD，則△ACD的周長是12.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1)，則∠PAB+∠PBA=°(點A，B，P在小正方形的頂點上).

13.(2022黑龍江牡丹江中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，則CD=.

14.觀察下列各組勾股數(shù)：①35；②513；③725；④941；…….若a，144，145是其中的一組勾股數(shù)，則a=.

提示:5=15.(2022江蘇徐州中考)如圖，將長方形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處.若點E在邊AB上，AB=3，BC=5，則AE=.

16.(2023江蘇南京秦淮月考)小明將4個全等的直角三角形拼成如圖所示的五邊形，添加適當(dāng)?shù)妮o助線后，用等面積法建立等式證明勾股定理.小明在證題中用兩種方法表示五邊形的面積，分別是①S=，②S=.

17.(2023江蘇無錫期中)如圖，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是邊BC上的中線，AD=2，則△ACB的面積是.

18.如圖，圓柱形玻璃杯的高為7cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)離杯底2cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿1cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜處的最短路程為cm.

三、解答題(本大題共6小題，共46分)19.(2023江蘇南京鼓樓期末)(6分)如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足為D.求AD，BD的長.20.(7分)如圖，星光蔬菜園要修建20個蔬菜大棚，棚高h(yuǎn)=5m，棚寬a=12m，棚的長d為25m，現(xiàn)要在棚頂上覆蓋塑料薄膜，試求需要多少平方米的塑料薄膜.21.(7分)勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個全等的直角三角形按如圖所示的方式擺放時，也可以用面積法來證明勾股定理，請寫出證明過程.(提示：BD和AC都可以分割四邊形ABCD)22.(2023江蘇徐州期中)(8分)如圖，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，點D是AB的中點，連接CD.(1)若∠B=α，求∠DCA的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示)；(2)若點E是AB邊上的一個動點，則線段CE的長的最小值為.

23.(2023江蘇揚州江都二模)(8分)清代揚州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷研究勾股定理，提出推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”.其中有一個法則是“如果k是大于2的偶數(shù)，那么k和k的一半的平方減1，k的一半的平方加1是一組勾股數(shù)”.(1)按照這個法則，寫出2組不同的勾股數(shù)：，(最大數(shù)不超過18)；

(2)用含有k的等式表示這三個勾股數(shù)的數(shù)量關(guān)系并證明.24.(2022江蘇南京期末)(10分)【知識生成】通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式，兩個邊長分別為a，b的直角三角形和一個兩條直角邊長都是c的直角三角形拼成如圖①所示的梯形，請用兩種方法計算梯形面積.(1)方法一可表示為；

方法二可表示為；

(2)根據(jù)方法一和方法二，得出a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系是(等式的兩邊需寫成最簡形式)；

(3)若一直角三角形的兩條直角邊的長為6和8，則其斜邊長為；

【知識遷移】通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式.圖②是棱長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊.(4)用不同方法計算這個正方體的體積，就可以得到一個等式，這個等式為；

(5)已知2m-n=4，mn=2，利用(4)中的規(guī)律求8m3-n3的值. 圖① 圖②(5)本實驗對你有怎樣的啟示?(寫出一條即可)。

第3章勾股定理綜合檢測答案全解全析1.B∵AC2-BC2=AB2，∴AC2=BC2+AB2，∴∠B=90°.故選B.2.B當(dāng)x為斜邊長時，x2=22+42=20；當(dāng)4為斜邊長時，x2=42-22=12.故x的值有2個.3.BA.0.3，0.4，0.5，都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；B.82+152=172，能構(gòu)成直角三角形，都是整數(shù)，是勾股數(shù)，符合題意；C.16,18,110D.32+42≠42，故不是勾股數(shù)，不符合題意.故選B.4.B∵大正方形的面積為16，∴它的邊長為4，即得a2+b2=42=16.由題意知4×12ab+4=16，∴2ab=12∴(a+b)2=a2+2ab+b2=16+12=28.故選B.5.B①當(dāng)吸管垂直于底面時，吸管露在盒外部分最長，為17-12=5(cm)；②當(dāng)插入盒內(nèi)的吸管與底面對角線和高正好組成直角三角形時，吸管露在盒外部分最短，底面對角線的長為32+42=5(cm)，由勾股定理可得x2=52+122=169，∴x=13，則露在盒外的吸管最短為17-13=4(cm).故吸管露在盒外部分的長l的取值范圍為4≤l≤5.故選B.6.A在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AB=13，∴AC2=AB2-BC2=132-52=144，∴AC=12.當(dāng)CD⊥AB時，CD的值最小，為127.D如圖，由題意得SA=1.由勾股定理，得SB+SC=1，∴“生長”1次后形成的圖形中所有正方形的面積和為2.同理可得，“生長”2次后形成的圖形中所有正方形的面積和為3，“生長”3次后形成的圖形中所有正方形的面積和為4，……∴“生長”2023次后形成的圖形中所有正方形的面積和是2024.故選D.8.B如圖所示，作點Q關(guān)于直線BD的對稱點Q'，因為BD平分∠ABC，所以點Q'在BC上，連接PQ'，則PA+PQ的最小值即為PA+PQ'的最小值，∴當(dāng)A、P、Q'三點共線且AQ'⊥BC時，PA+PQ的值最小，過點A作AM⊥BC于點M，則PA+PQ的最小值即為AM的長.∵AB=6，BC=10，∴由勾股定理得AC2=BC2-AB2=102-62=82，∴AC=8，∵S△ABC=12AM·BC=12AB·AC，∴AM=9.答案x2+(x-6.8)2=102解析門高AB為x尺，則門的寬為(x-6.8)尺，AC=1丈=10尺，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，即x2+(x-6.8)2=102.10.答案49cm2解析在Rt△CDG中，由勾股定理得CD2-CG2=DG2，∵DG=7cm，∴CD2-CG2=72=49.∵S1=CD2，S2=CG2，∴S1-S2=CD2-CG2=49(cm2).11.答案18解析由題意可知，直線EF為線段BC的垂直平分線，∴CD=BD，∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12，∴AC2=AB2-BC2=25，∴AC=5，∴△ACD的周長為AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=5+13=18.故答案為18.12.答案45解析如圖，延長AP交網(wǎng)格線于D，連接BD，則PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，PD=BD，∴∠PDB=90°，∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°.故答案為45.13.答案3解析如圖，過點D作DE⊥AB于E.∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB2=AC2+BC2=62+82=100，∴AB=10.∵AD平分∠CAB，∴CD=DE，又∵S△ABC=12AC·CD+12AB·DE=∴12×6·CD+12×10·CD=1解得CD=3.14.答案17解析觀察各組勾股數(shù)，根據(jù)題目中的提示可得，145=a2+115.答案4解析在長方形ABCD中，∠A=∠D=90°，CD=AB=3，AD=BC=5.由翻折的性質(zhì)可知，F(xiàn)C=BC=5，EF=BE.在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF2=FC2-CD2=16，∴DF=4，∴AF=AD-DF=1.設(shè)AE=x，則BE=EF=3-x.在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF2=AE2+AF2，即(3-x)2=x2+12，解得x=43，即AE=4故答案為4316.答案c2+ab；a2+b2+ab解析如圖，延長AB，交CD于點E，①五邊形的面積=邊長為c的正方形的面積+2個全等的直角邊長分別為a，b的直角三角形的面積，即S=c2+12ab·2=c2+ab；②五邊形的面積=邊長為a的正方形的面積+邊長為b的正方形的面積+2個全等的直角邊長分別為a，b的直角三角形的面積，即S=a2+b2+12ab·2=a2+b17.答案6解析如圖，延長AD到E，使DE=AD，連接BE.由題意知CD=BD.在△ADC與△EDB中，AD=ED,∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE=AC=5，∠CAD=∠E.又∵AE=2AD=4，AB=3，∴BE2=AE2+AB2，∴△ABE是直角三角形，∠EAB=90°.∴S△ACB=2S△ABD=2×12故答案為6.18.答案10解析如圖(圖中數(shù)據(jù)的單位：cm)，將杯子的側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A'，連接A'C，交EF于P，作A'D⊥CF，交CF延長線于點D，連接AP，易知A'C的長為所求的最短路程，A'D=8cm，CD=6cm，根據(jù)勾股定理得A'C2=A'D2+CD2=82+62=102，所以A'C=10cm，即所求的最短路程為10cm.19.解析∵∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC2=AB2+AC2=625，∴BC=25.∵S△ABC=12AB·AC=12∴AB·AC=BC·AD，∴15×20=25AD，∴AD=12.∵AD⊥BC，∴BD2=AB2-AD2=152-122=81，∴BD=9.20.解析如圖，∵h(yuǎn)=5m，a=12m，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2=169，∴AB=13m，∴要建20個蔬菜大棚需要13×25×20=6500(m2)塑料薄膜.答：需要6500m2塑料薄膜.21.證明如圖，連接DB，過點D作DF⊥BC，交BC的延長線于點F，則DF=EC=b-a.由兩三角形全等可推得∠DAB=90°.∵S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC=12bS四邊形ABCD=S△ADB+S△DCB=12c∴12b∴a2+b2=c2.22.解析(1)∵AB=10，AC=6，BC=8，∴AC2+BC2=62+82=100，AB2=102=1