2023高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)(內(nèi)參版) 7 .5 正弦定理與余弦定理的應(yīng)用舉例

7.5正弦定理與余弦定理的應(yīng)用舉例

國核心素養(yǎng)概說（教師獨(dú)具內(nèi)容）

1.正弦定理、余弦定理是在學(xué)習(xí)了平面向量之后要掌握的兩個重要定理，運(yùn)

用這兩個定理可以初步解決幾何及工業(yè)測量等實(shí)際問題，是解決有關(guān)三角形問題

的有力工具.

2.重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

念考試要求（教師獨(dú)具內(nèi)容）

1.本考點(diǎn)是近年高考的熱點(diǎn)，屬于中檔題目，以選擇題、填空題、解答題形

式出現(xiàn)，命題的重點(diǎn)是三角形中基本量的求解.

2.主要考查兩個方面：一是利用正、余弦定理求解與距離、高度、角度等有

關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題；二是利用正、余弦定理解決圖形問題.

您核心知識導(dǎo)圖（教師獨(dú)具內(nèi)容）

畫畫!訕而摭處而「不說￡施:稱市公/:輸訪而

?用公式n公式等進(jìn)行一：角形中邊角關(guān)系的互化

U：?

利用：用函數(shù)誘導(dǎo)公式、：用形內(nèi)角和定理等

rmij知識求函數(shù)解析式、角、三角函數(shù)值或討論三

I標(biāo)n角函數(shù)的性質(zhì)

修5年考頻統(tǒng)計(jì)（教師獨(dú)具內(nèi)容）

5年考情

考點(diǎn)分值題型難度核心素養(yǎng)

考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

數(shù)學(xué)文化、解

正、余弦定理2021全國甲卷?理8正弦定理的實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算

在角三角形、5選擇題中

的實(shí)際應(yīng)用2021全國乙套?理9際應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象

相似三角形

多邊形或幾何

利用正、余弦2021新高號I卷.19

體的平面展開5填空腮中數(shù)學(xué)運(yùn)算

定理解決圖2020全國I卷，理16三角形內(nèi)角和

圖中正、余弦12解答題難邏輯推理

形問題2018全國1卷?理17

定理的應(yīng)用

:基礎(chǔ)知識過關(guān)

O知識梳理

1.仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在回水平線上方的角叫仰角,在西水平線

下方的角叫俯角(如圖①).

2.方位角

從指北方向線順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為a(如圖

②).

3.方向角：相對于某一正方向的水平角.

(1)北偏東a,即由四指北方向西順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③).

(2)北偏西a,即由因指北方向一逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.

(3)南偏西等其他方向角類似.

注：區(qū)分兩種角

(1)方位角：從指北方向線順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角.

(2)方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角.

4.坡角與坡度

(1)坡角：回坡面與水平面所成的二面角(如圖④,角。為坡角).

(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度).坡度又稱為坡

比.

5.利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般步驟

(1)分析——理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖.

(2)建?！鶕?jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的

三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型.

(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.

(4)檢驗(yàn)——檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.

勵課前自我鑒定

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)從A處望8處的仰角為a,從B處望A處的俯角為人則a,6的關(guān)系為a

+4=180。.()

兀

(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為［0,引?()

(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)

系.()

(4)方位角大小的范圍是［0,2兀)，方向角大小的范圍一般是0,)

答案(1)X(2)X(3)V(4)V

2.如圖，在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30。，

60°,則塔高為()

3(r

400-400V5

A.-mB.-m

「20附r200

C.--mD.m

答案A

解析如圖，設(shè)山頂為A,塔底為C,塔頂為。，過點(diǎn)A作。的垂線，交

CD的延長線于點(diǎn)8,則易得AB=tan607,BD=A3tan30。=tan6(^-tan30°=忑乂為-

=^y^(m),所以CQ=BC-80=200-^^=^^(m).故選A.

3.如圖所示，設(shè)A,8兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選

定一點(diǎn)C,測出AC的距離為50m,AACB=45°,/CA8=105。后，就可以計(jì)算

出A,8兩點(diǎn)的距離為（）

A.50^/2m5O\/3m

C.25啦m

答案A

ACAB50AB

解析在△ABC中，ZABC=30°,由正弦定理得標(biāo)心=而苻，即7=近,

22

所以48=50\尼m.故選A.

4.在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的

救生艇在洪水中漂行，此時(shí)，風(fēng)向是南偏西30。，風(fēng)速是20km/h,水的流向是正

東，流速是20km/h,若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向?yàn)楸逼珫|

,速度大小為km/h.

答案60°2M

解析如圖，N408=60。，由余弦定理知。。2=2（）2+2（）2一800cos120。=

1200,故OC=2M，/COy=30。+30。=60。.

R

0

真題賞析

1.（2021?全國甲卷）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最

新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是

三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A,B,C三點(diǎn)，且A,B,C在同一水平面

上的投影A',"，C'滿足NA'CB'=45°,/A'B'C'=60。.由C點(diǎn)測

得B點(diǎn)的仰角為15。，BB'與CC'的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45。，

貝IJA,。兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差-CC約為他F.732）（）

A.346

C.446D.473

答案B

解析過C作84的垂線交于點(diǎn)"，過8作A4'的垂線交44'于點(diǎn)

N,設(shè)"C=CM=m,A'B'=3N=〃，在△4'B'C中，因?yàn)镹A'CB'

45°,/A'B'C=60°,所以NC'A'B'=75°,

”、，m〃.人八…,,m100”、，n100

所以sin75°=sin45°.在△OB"中，sin75°=sinl5°'所以sin45°=sinl5°，解付

〃=謬丁《273.所以A,C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)4'-CC'約為

273+100=373.故選B.

2.（2021.全國乙卷）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作,

其中第一題是測量海島的高.如圖，點(diǎn)旦H,G在水平線AC上，DE和尸G是

兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，

GC和E”都稱為“表目距”，GC與E”的差稱為“表目距的差”，則海島的高

AB=()

表高X表距

人表目距的差卡表圖

表高X表距

表目距的差一表局

c表高*表距

+表距

表目距的差

表高X表距

,表目距的差一表距

答案A

DEEHFGGC

解析因?yàn)镈E//A8所以而=麗.因?yàn)镕GIIAB,所以前=前又DE=FG,

所以EH布G=C/，即黃EH指=春+二GC、+“，解得人后E二H方EG會又AH=AE+EH，

ACL/lA匕+匕tlArS+JCCJ+CrCCrC—匕口

b…DEAHDE(AE+EH)DE-EG

+OE.又。E為表高，EG為表距，GC

所以AB=EH=EHGC-EH

表高X表距_

為表目距的差，所以AB=表目距的差+表高.故選A.

3.(2020?全國I卷)如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=],AB=

AD=?AB1AC,ABIAD,/CAE=30°,貝lJcosNPC8=.

〃伊)

E(P)

F(P)

答案1

-

4

2

2

=2,

+AC

]AB

C=y

得B

股定理

由勾

=\,

,AC

=S>

,AB

1AC

-：AB

解析

AE

AC

=?

=AD

1,AE

C=

中，A

CE

.在LA

=#

BD

BF=

,；.

=yf6

BD

同理得

2

=

X^-

lX小

-2X

l+3

0。=

cos3

ACAE

?-2

+AE

=AC

得CO

弦定理

,由余

=30°

s/

得co

定理

余弦

\,由

F=

,C

BF=#

2,

BC=

中，

BCF

.在△

E=1

F=C

1,.,.C

2

2

2

1

-6

1+4

F

-B

BC

CF+

-

=

FCB

4-

X2=

2X1

C=

FB

2C

.已知

b,c

為a,

分別

對邊

C的

B,

角A,

C的內(nèi)

△AB

卷)記

考I

?新高

2021

4.(

nC.

=asi

ABC

DsinZ

上，B

AC

。在邊

c,點(diǎn)

)2=a

-

D=b

明：B

⑴證

C

/AB

cos

C,求

=2O

AO

(2)若

，

C中

△AB

：在

1)證明

解(

ac.

b=

彳導(dǎo)BD

理，

弦定

由正

=b.

即BD

按,

以