153分式方程AB分層訓(xùn)練

15.3分式方程一、單選題1．下列方程中，是分式方程的是（

）A．15+x4=3 B．x?4y=7 【答案】D【分析】未知數(shù)在分母中的有理方程是分式方程，根據(jù)分式方程的定義可得答案．【詳解】解：15x?4y=7是二元一次方程，故B不符合題意；2x=3(x?5)是一元一次方程，故C不符合題意；4x?2故選D【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，理解分式方程的定義為解題的關(guān)鍵．2．關(guān)于x的方程1?xx?2=1A．方程兩邊都乘以x?2得：1?x=1?2x?2 B．x=2C．方程兩邊都乘以2?x得：1?x=1?22?x D．x=2【答案】D【分析】分式方程兩邊乘以最簡公分母，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：A、方程兩邊同乘以x?2，得：1?x=?1?2x?2B、解方程得x=2，當(dāng)x=2時(shí)分母x?2=0，x=2是方程的增根，故本選項(xiàng)不符合題意；C、方程兩邊同乘以2?x，得：x?1=1?22?xD、解方程得x=2，當(dāng)x=2時(shí)分母x?2=0，x=2是方程的增根，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．3．關(guān)于x的方程2x+ax?1=1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（A．a(chǎn)>?1 B．a(chǎn)>?1且a≠0 C．a(chǎn)<?1 D．a(chǎn)<?1且a≠?2【答案】D【分析】先解關(guān)于x的分式方程，求得x的值，然后再依據(jù)“解是正數(shù)”建立不等式求a的取值范圍．【詳解】解：去分母得，2x+a=x?1，∴x=?1?a，∵方程的解是正數(shù)，∴?1?a>0即a<?1，又因?yàn)閤?1≠0，∴a≠?2，則a的取值范圍是a<?1且a≠?2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，由于我們的目的是求a的取值范圍，根據(jù)方程的解列出關(guān)于a的不等式，另外，解答本題時(shí)，易漏掉a≠?2，這是因?yàn)楹雎粤藊?1≠0這個(gè)隱含的條件而造成的，這應(yīng)引起同學(xué)們的足夠重視．4．某單位向一所希望小學(xué)贈送1080本課外書，現(xiàn)用A、B兩種不同的包裝箱進(jìn)行包裝，單獨(dú)使用B型包裝箱比單獨(dú)使用A型包裝箱可少用6個(gè)；已知每個(gè)B型包裝箱比每個(gè)A型包裝箱可多裝15本課外書．若設(shè)每個(gè)A型包裝箱可以裝書x本，則根據(jù)題意列得方程為（

）A．1080x=1080x?15+6 B．1080x【答案】C【分析】根據(jù)每個(gè)B型包裝箱比每個(gè)A型包裝箱可多裝15本課外書得到每個(gè)B型包裝箱可以裝書（x+15）本，再利用數(shù)量=總數(shù)÷每個(gè)包裝箱可以裝書數(shù)量，即可得出關(guān)于x的分式方程．【詳解】∵每個(gè)A型包裝箱可以裝書x本，每個(gè)B型包裝箱比每個(gè)A型包裝箱可多裝15本課外書，則每個(gè)B型包裝箱可以裝書（x+15）本，依題意得：1080故選：C．【點(diǎn)睛】考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．5．若分式22?x和32x+1的值互為相反數(shù)，則x的值為（A．3 B．7 C．?4 D．?8【答案】D【分析】解分式方程22?x【詳解】解：由題意得：2解得：x=?8經(jīng)檢驗(yàn)：x=?8是方程的解故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的應(yīng)用、分式方程的求解．根據(jù)題意列出分式方程是解題關(guān)鍵．6．已知x=2，是分式方程k3+x?3A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】把x=2代入分式方程，可得到關(guān)于k的一元一次方程，求解即可得到答案．【詳解】把x=2代入分式方程，得k3解得k=6．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程和一元一次方程，根據(jù)題意得到一元一次方程是解題的關(guān)鍵．7．若解關(guān)于x的分式方程2x?mx?2=4時(shí)，出現(xiàn)了增根，則A．4 B．?4 C．2 D．?2【答案】A【分析】根據(jù)分式方程產(chǎn)生增根，確定增根為x=2，再代入所化的整式方程即可．【詳解】解：關(guān)于x的分式方程2x?mx?2去分母，得2x?m=4x?8，由于分式方程出現(xiàn)增根x=2，所以4?m=8?8，解得m=4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的增根，理解增根的意義是解決問題的關(guān)鍵．8．已知關(guān)于x的分式方程x?2x+2?mx甲同學(xué)的結(jié)果：m=0．乙同學(xué)的結(jié)果：m=?8．關(guān)于甲、乙兩位同學(xué)計(jì)算的結(jié)果，下列說法正確的是（

）A．甲同學(xué)的結(jié)果正確 B．乙同學(xué)的結(jié)果正確C．甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起正確 D．甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起也不正確【答案】D【分析】解分式方程，用含m的代數(shù)式表示出x，當(dāng)分式方程無解時(shí)，求出的x的值無意義或?yàn)樵龈?，由此可解．【詳解】解：x?2x+2去分母，得x?22解得x=8∵關(guān)于x的分式方程x?2x+2∴x=8m+4無意義或使當(dāng)x=8m+4無意義時(shí)，解得m=?4，當(dāng)x=8m+4∴8m+4=2解得m=0或m=?8，綜上可知，m=?4或m=0或m=?8，因此甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起也不正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程無解的條件．9．已知關(guān)于x的分式方程ax+1?2a?x?1x2A．?12 B．1 C．12【答案】A【分析】若關(guān)于x的分式方程ax+1【詳解】解：a方程兩邊乘x(x+1)，得ax?(2a?x?1)=0，整理可得(a+1)x=2a?1，當(dāng)a+1=0，即a=?1時(shí)，整式方程無解，即分式方程無解；當(dāng)a+1≠0時(shí)，有x=0或x=?1時(shí)，分式方程無解，此時(shí)x=2a?1a+1=0或x=2a?1a+1經(jīng)檢驗(yàn)均為該方程的解，綜上所述，?1或0或12所以?1+0+1故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程無解問題，解題關(guān)鍵是要考慮到了最簡公分母為零的情況，同時(shí)還要注意化為整式方程后，整式方程無解這一情況．10．若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組?4x+23≤1?2x32x+3≤a有解但最多有三個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程2ay+1A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【分析】先解不等式組可得?12≤x≤a?32，再結(jié)合題意可得整數(shù)a的值為：2，3，4，5，6【詳解】解：?4x+23由①得：x≥?1由②得：x≤a?3∴?1∵數(shù)a使關(guān)于x的不等式組?4x+23∴?1解得：2≤a≤7，∴整數(shù)a的值為：2，3，4，5，6，7，∵2ay+1y+3∴2ay+1+7y+20=10y+30，整理得：2a?3y=9∵方程有整數(shù)解，∴當(dāng)a=2時(shí)，則y=9，當(dāng)a=3時(shí)，y=3，當(dāng)a=6時(shí)，y=1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；∴2+3+6=11；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式組的解法，分式方程的整數(shù)解問題，選擇合適的方法解題是關(guān)鍵．二、填空題11．若68=12x，則【答案】16【分析】先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出解后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：若68=12解得x=12×8經(jīng)檢驗(yàn)x=16是原方程的解．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是求出解后注意檢驗(yàn)．12．關(guān)于x的方程x?ax?1=12的解是【答案】2【分析】把x=3代入分式方程構(gòu)建新的方程，再解方程即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x?ax?1=1∴3?a3?1=1解得：a=2，故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的解，掌握方程的解的含義是解本題的關(guān)鍵．13．某車間計(jì)劃在一定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)240套零配件，生產(chǎn)3天后改進(jìn)了技術(shù)，結(jié)果每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)4套并提前6天完成生產(chǎn)任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x套零配件，則可列方程為．【答案】240【分析】設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x套零配件，根據(jù)“生產(chǎn)3天后改進(jìn)了技術(shù)，結(jié)果每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)4套并提前6天完成生產(chǎn)任務(wù)”列出方程即可．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x套零配件，根據(jù)題意可得，240x故答案為：240【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系正確列出方程是解題的關(guān)鍵．14．核酸檢測是疫情防控的“監(jiān)測網(wǎng)”，開展全員核酸檢測是快速發(fā)現(xiàn)病毒感染者、有效切斷傳播途徑、防止疫情擴(kuò)散的最重要手段．為盡快完成檢測任務(wù)，某地組織甲、乙兩支醫(yī)療隊(duì)，分別開展檢測工作，甲隊(duì)比乙隊(duì)小時(shí)多檢測20人，甲隊(duì)檢測600人比乙隊(duì)檢測500人所用的時(shí)間少10%，則甲隊(duì)每小時(shí)檢測【答案】80【分析】設(shè)甲隊(duì)每小時(shí)檢測x人，則乙隊(duì)每小時(shí)檢測x?20人，根據(jù)：甲隊(duì)檢測600人比乙隊(duì)檢測500人所用的時(shí)間少10%【詳解】解：設(shè)甲隊(duì)每小時(shí)檢測x人，則乙隊(duì)每小時(shí)檢測x?20人，根據(jù)題意可得：600x解得：x=80，經(jīng)檢驗(yàn)：x=80是方程的根，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意、列出方程是解題的關(guān)鍵．15．若方程xx?5=x?ax?6有增根，則【答案】6【分析】將分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式方程有增根，分母為0，求得x，即可求解．【詳解】解：由xx?5=化簡可得：a?1∵分式方程xx?5∴a?1≠0，x=5或x=6則a≠1，∴x=當(dāng)x=5時(shí)，即5aa?1當(dāng)x=6時(shí)，即5aa?1=6綜上a=6故答案為：6【點(diǎn)睛】此題考查了根據(jù)分式方程的解，求解參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵是理解分式方程增根的含義，正確的進(jìn)行分類討論求解．16．關(guān)于x的分式方程m2x?1+3=0的解為正數(shù)，則m的取值范圍是【答案】m<3且m≠0【分析】先去分母，將分式方程化為整式方程求解，根據(jù)解為正數(shù)和分式有意義的條件，列出不等式求出解集即可．【詳解】解：m2x?1去分母，得：m+6x?3=0，移項(xiàng)，得：6x=3?m，化系數(shù)為1，得：x=3?m∵方程解為正數(shù)，∴3?m6>0，解得：∵2x?1≠0，解得：x≠1∴3?m6≠1∴m的取值范圍為m<3且m≠0．故答案為∶m<3且m≠0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法和步驟，以及分式有意義的條件：分母不為0．17．已知關(guān)于x的分式方程x+1x+2=2a?3a+5的解為x=0【答案】113/【分析】先把a(bǔ)當(dāng)做一個(gè)已知數(shù)，解分式方程，當(dāng)根據(jù)分式為0的條件，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：x+1x+2x+1a+5ax+5x+a+5=2ax+4a?3x?6，?ax+8x=3a?11，x=3a?11∵x=0，∴3a?11=0，8?a≠0，解得：a=11故答案為：113【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，分式為0的條件，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法和步驟，以及分式為0的條件：分子等于0，分母不為0．18．若關(guān)于x的分式方程4x?ax?1?2a1?x=5的解是非負(fù)數(shù)解，且a滿足不等式a?1≤1【答案】?8【分析】先解分式方程，再根據(jù)關(guān)于x的分式方程4x?ax?1?2a1?x=5的解是非負(fù)數(shù)解，可得a+5≥0且a+5≠1，再根據(jù)a?1≤1【詳解】解：去分母，得4x?a+2a=5x?1解得x=a+5，∵關(guān)于x的分式方程4x?ax?1∴a+5≥0且a+5≠1，解得a≥?5且a≠?4，∵a?1≤1，∴a≤2，∴a的取值范圍是?5≤a≤2且a≠?4，∴滿足條件的整數(shù)a的值有?5，∴?5?3?2?1+0+1+2=?8，故答案為：?8．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．解分式方程：2x【答案】x=?2【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：2x去分母得：2+2x?x=0，解得：x=?2，經(jīng)檢驗(yàn)x=?2是分式方程的解．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．20．解方程：3x+2【答案】x=3【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以x+2x?2，得3解得：x=3，檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，x+2x?2∴x=3是原方程的根．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，解分式方程一定注意要驗(yàn)根．21．閱讀下列解題過程，回答所提出的問題：題目：解分式方程：3解：方程兩邊同時(shí)乘以(x+2)(x?2)??A得：3去括號得：3x+6?2x+4=8??C解得：x=?2??D所以原分式方程的解是：x=?2??E(1)上述計(jì)算過程中，哪一步是錯(cuò)誤的？請寫出錯(cuò)誤步驟的序號：；(2)錯(cuò)誤的原因是；(3)訂正錯(cuò)誤．【答案】(1)E(2)沒有驗(yàn)根(3)訂正錯(cuò)誤：經(jīng)檢驗(yàn)x=?2使原分式方程分母等于0，所以x=?2是增根，原分式方程無解【分析】根據(jù)分式方程的解法步驟，即可判斷哪一步是錯(cuò)誤的，再寫出正確解題步驟即可．【詳解】（1）解：根據(jù)分式方程的解法步驟，判斷出步驟E是錯(cuò)誤的，故答案為：E；（2）解：根據(jù)分式方程的解法步驟，得步驟E錯(cuò)誤的原因是沒有驗(yàn)根，故答案為：沒有驗(yàn)根；（3）解：訂正錯(cuò)誤：經(jīng)檢驗(yàn)x=?2使原分式方程分母等于0，所以x=?2是增根，∴原分式方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是注意解出x的值后需要檢驗(yàn)，防止出現(xiàn)增根．22．若分式方程3x?2=a【答案】a=2或3【分析】先解分式方程得出x=4?2a3?a，當(dāng)3?a=0時(shí)，4?2a3?a無意義，求出當(dāng)a=3時(shí)，原方程無解；根據(jù)當(dāng)x=0或2時(shí)方程無解，得出4?2a3?a【詳解】解：3x?2方程兩邊同乘xx?2，得3x=a解得x=4?2a∵當(dāng)3?a=0時(shí)，4?2a∴當(dāng)a=3時(shí)，原方程無解；∵當(dāng)x=0或2時(shí)方程無解，∴4?2a3?a=0解得a=2；綜上所述，a=2或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的無解問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程無解的情況，注意進(jìn)行分類討論．23．接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，我們每個(gè)人都應(yīng)該及時(shí)接種疫苗．某制藥廠接到疫苗緊急生產(chǎn)任務(wù)，下面是該廠生產(chǎn)能力信息：信息一：該廠原計(jì)劃每天生產(chǎn)疫苗18萬劑；信息二：目前有10名工人由于疫情不能及時(shí)回廠，已回廠的工人需要加班加點(diǎn)，每天工作由8小時(shí)增加到10小時(shí)；信息三：該廠實(shí)際每天生產(chǎn)疫苗20萬劑，加班前后每名工人每小時(shí)完成的工作量不變．(1)求目前參加生產(chǎn)的工人有多少人？(2)若該廠2周內(nèi)需要完成300萬劑的生產(chǎn)任務(wù)，且生產(chǎn)4天后，未到崗的10名工人全部到崗加入生產(chǎn)，每天生產(chǎn)時(shí)間仍為10小時(shí)，則該廠能否按時(shí)完成任務(wù)？【答案】(1)當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有80人(2)該廠能完成任務(wù)，理由見解析【分析】（1）設(shè)目前參加生產(chǎn)的工人有x人，根據(jù)每人每小時(shí)完成的工作量不變列出關(guān)于x的方程，求解即可；（2）求出每人每小時(shí)完成的數(shù)量為：20÷10÷80=0.025（萬劑），再計(jì)算所有工人2周完成的工作量，然后比較即可．【詳解】（1）設(shè)目前參加生產(chǎn)的工人有x人，由題意可得：188x+10解得：x=80，經(jīng)檢驗(yàn)：x=80是原分式方程的解，且符合題意，答：當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有80人；（2）每人每小時(shí)完成的數(shù)量為：20÷10÷80=0.025（萬劑），20×4+∴該廠能完成任務(wù)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．24．已知關(guān)于x的分式方程a2x+3(1)當(dāng)a=1，b=1時(shí)，求分式方程的解；(2)當(dāng)a=1時(shí)，求b為何整數(shù)時(shí)，分式方程a2x+3【答案】(1)x=?(2)5【分析】（1）將字母值代入，解分式方程，注意驗(yàn)根；（2）將字母值代入，求解含參方程，變形得(11?2b)x=3b?10，分情況討論：①11?2b=0時(shí)，b=112，原方程無解；②11?2b≠0時(shí)，x=3b?1011?2b，由增根情況，得(2x+3)(x?5)=0時(shí)，即x=?32或【詳解】（1）解：將a=1，b=1代入，得12x+3去分母，得(x?5)+(x?1)(2x+3)=(x?5)(2x+3)，解得，x=?7當(dāng)x=?79∴x=?7（2）解：把a(bǔ)=1代入，得1去分母，得(4?2b)x?3b?5=?7x?15，(11?2b)x=3b?1011?2b=0時(shí)，b=112，3b?11=1111?2b≠0時(shí)，x=3b?10當(dāng)(2x+3)(x?5)=0時(shí)，原方程無解，即x=?32或當(dāng)3b?1011?2b=?3當(dāng)3b?1011?2b=5綜上，b為整數(shù)5時(shí)，原方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的求解，含參數(shù)方程的求解；理解增根的定義是解題的關(guān)鍵．25．某中學(xué)準(zhǔn)備改造面積為1080m2的舊操場，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)都想承建這項(xiàng)工程．已知乙工程隊(duì)單獨(dú)改造整個(gè)操場與甲工程隊(duì)單獨(dú)改造整個(gè)操場的34(1)求甲乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各改造操場多少平方米；(2)在改造操場的過程中，學(xué)校要委派一名管理人員進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，并由學(xué)校負(fù)擔(dān)他每天25元的生活補(bǔ)助費(fèi)，現(xiàn)有以下三種方案供選擇．第一種方案：由甲單獨(dú)改造；第二種方案：由乙單獨(dú)改造；第三種方案：由甲、乙一起同時(shí)進(jìn)行改造．你認(rèn)為哪一種方案既省時(shí)又省錢？試比較說明．【答案】(1)甲工程隊(duì)每天改造操場30平方米，乙工程隊(duì)每天改造操場40平方米．(2)第三種方案省錢【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)每天改造操場xm2，則乙工程隊(duì)每天改造操場x+10m2（2）分別計(jì)算每種方案的費(fèi)用，比較即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)甲工程隊(duì)每天改造操場xm2，則乙工程隊(duì)每天改造操場x+101080×3解得：x=30，經(jīng)檢驗(yàn)x=30是原方程的解，且符合題意，x+10=40答：甲工程隊(duì)每天改造操場30