新教材人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)全冊(cè)書各章節(jié)課時(shí)練習(xí)題及章末綜合測(cè)驗(yàn)含答案解析

人教B選擇性必修第一冊(cè)全冊(cè)練習(xí)題文檔中含有大量可修改的數(shù)學(xué)公式，在網(wǎng)頁中顯示可能會(huì)出現(xiàn)位置錯(cuò)誤等情況，下載后均可正常顯示、編輯。第一章空間向量與立體幾何 -2-1.1空間向量及其運(yùn)算 -2-1.1.1空間向量及其運(yùn)算 -2-1.1.2空間向量基本定理 -9-1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系 -17-1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 -25-1.2.1空間中的點(diǎn)、直線與空間向量 -25-1.2.2空間中的平面與空間向量 -32-1.2.3直線與平面的夾角 -45-1.2.4二面角 -53-1.2.5空間中的距離 -71-第一章綜合測(cè)驗(yàn) -81-第二章平面解析幾何 -95-2.1坐標(biāo)法 -95-2.2直線及其方程 -102-2.2.1直線的傾斜角與斜率 -102-2.2.2直線的方程 -108-2.2.3兩條直線的位置關(guān)系 -119-2.2.4點(diǎn)到直線的距離 -126-2.3圓及其方程 -134-2.3.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 -134-2.3.2圓的一般方程 -140-2.3.3直線與圓的位置關(guān)系 -147-2.3.4圓與圓的位置關(guān)系 -154-2.4曲線與方程 -162-2.5橢圓及其方程 -168-2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 -168-2.5.2橢圓的幾何性質(zhì) -176-2.6雙曲線及其方程 -186-2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 -186-2.6.2雙曲線的幾何性質(zhì) -194-2.7拋物線及其方程 -202-2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 -202-2.7.2拋物線的幾何性質(zhì) -209-第二章綜合訓(xùn)練 -217-第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其運(yùn)算1.下列命題中為真命題的是()A.向量AB與B.將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C.空間向量就是空間中的一條有向線段D.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等答案A2.下列向量的運(yùn)算結(jié)果為零向量的是()A.BC+AB BC.MP+GM+答案C3.已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為()A.-6 B.6 C.3 D.-3答案B解析由題意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故選B.4.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長都等于a,點(diǎn)E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則AE·AF的值為(A.a2 B.12aC.14a2 D.34答案C解析AE·AF==14=14a×a×12+a×a×12=14a5.(多選)已知四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD連接AC,BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中,數(shù)量積一定為零的是()A.PC與BD BC.PD與AB D答案BCD解析PC·BD=(PA+AB+=PA·BA+AB·BA+BC·BA+PA·因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,即PA·CD又因?yàn)锳D⊥AB,AD⊥PA,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,所以DA·PB=0,同理PD·AB=0,因此B,C,D中的數(shù)量積均為06.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)不共線的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三點(diǎn)共線,則k=.

答案-87.化簡(jiǎn):12(a+2b-3c)+523a-12b+23c-3(答案56a+92b-8.如圖,平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,則AC'的長為.

答案11解析|AC'|2=|AB+BC+CC'|2=AB2+BC=12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,則|AC'|=119.在四面體ABCD中,E,F分別為棱AC,BD的中點(diǎn),求證:AB+CB+AD證明左邊=(AB+AD)+(=2AF+2CF=2(AF+CF)=4EF=右邊,10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是C1D1,D1D的中點(diǎn),正方體的棱長為1.(1)求<CE,AF>(2)求證:BD(1)解AF=因?yàn)锳B·AD=0,AB·AA所以CE·AF=AA1-1=12又|AF|=|CE|=52,所以cos<CE,AF(2)證明BD1=所以BD1·EF=11.已知空間向量a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),則|a-b|的最小值為()A.2 B.3 C.2 D.4答案C解析∵a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),∴a-b=(2,1-t,t-1),則|a-b|=22∴當(dāng)t=1時(shí),|a-b|取最小值為2.故選C.12.設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,則△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.鈍角三角形 D.銳角三角形答案B解析因?yàn)镈B+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(AB+AC)·(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=0,13.如圖,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則PC等于()A.62 B.6 C.12 D.144答案C解析因?yàn)镻C=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2PA·AB+2PA·BC+214.給出下列幾個(gè)命題:①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量;②若|a|=|b|,則a=b或a=-b;③對(duì)于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中所有真命題的序號(hào)為.

答案③解析對(duì)于①,長度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,若|a|=|b|,則a與b的長度相等,但方向沒有任何聯(lián)系,故不正確;只有③正確.15.等邊三角形ABC中,P在線段AB上,且AP=λAB,若CP·AB=PA·PB,答案1-2解析設(shè)|AB|=a(a>0),由題知,0<λ<1.如圖,CP=-AC=-AC+λAB,故CP·AB=(λAB-=λ|AB|2-|AB||AC|cosA=a2λ-12a2PA·PB=(-λAB)·(1-λ=λ(λ-1)|AB|2=λ(λ-1)a2,則a2λ-12a2=λ(λ-1)a2解得λ=1-22λ=1+22舍.16.如圖,平面α⊥平面β,AC⊥AB,BD⊥AB,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB,AC,BD表示CD=,|CD答案AB-AC+解析∵CD=∴CD2=(AB-=AB2+AC2+BD2-2AB·AC+2AB·BD-2AC·BD=1617.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面體,AA'的中點(diǎn)為E,點(diǎn)F為D'C'上一點(diǎn),且D'F=23D'C'(1)化簡(jiǎn):12(2)設(shè)點(diǎn)M是底面ABCD的中心,點(diǎn)N是側(cè)面BCC'B'對(duì)角線BC'上的34分點(diǎn)(靠近C'),設(shè)MN=αAB+βAD+γAA',試求α,β,γ解(1)由AA'的中點(diǎn)為E,得12又BC=A'D'因此23AB=2(2)MN=MB+BN=12DB+34BC'=12(DA+AB)+34(BC+CC'18.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點(diǎn),且BM=2A1M,C1N=2B1N.設(shè)AB=a,AC=b,AA1=(1)試用a,b,c表示向量MN;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的長.解(1)MN=13BA1+AB+1=13a+13b+(2)因?yàn)?a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a+b+c|=所以|MN|=13|a+b+c|=53,即MN=19.如圖所示,已知線段AB在平面α內(nèi),線段AC⊥α,線段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,線段BD與α所成的角為30°,求CD的長.解由AC⊥α,可知AC⊥AB,過點(diǎn)D作DD1⊥α,D1為垂足,連接BD1,則∠DBD1為BD與α所成的角,即∠DBD1=30°,所以∠BDD1=60°,因?yàn)锳C⊥α,DD1⊥α,所以AC∥DD1,所以<CA,DB>=60°,所以<CA,BD>=120°所以|CD|2=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+因?yàn)锽D⊥AB,AC⊥AB,所以BD·AB=0,AC·故|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA=242+72+242+2×24×24×cos120°=625,所以|CD|=25,即CD的長是25.20.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(點(diǎn)P位于平面ABCD的上方),則邊BC上是否存在點(diǎn)Q,使PQ⊥解假設(shè)存在點(diǎn)Q(點(diǎn)Q在邊BC上),使PQ⊥連接AQ,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.又PQ=所以PQ·QD=又PA·QD=0,所以AQ·QD=即點(diǎn)Q在以邊AD為直徑的圓上,圓的半徑為a2又AB=1,所以當(dāng)a2=1,即a=2時(shí),該圓與邊BC相切,存在1個(gè)點(diǎn)Q滿足題意當(dāng)a2>1,即a>2時(shí),該圓與邊BC相交,存在2個(gè)點(diǎn)Q滿足題意當(dāng)a2<1,即a<2時(shí),該圓與邊BC相離,不存在點(diǎn)Q滿足題意綜上所述,當(dāng)a≥2時(shí),存在點(diǎn)Q,使PQ⊥當(dāng)0<a<2時(shí),不存在點(diǎn)Q,使PQ⊥1.1.2空間向量基本定理1.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為AC與BD的交點(diǎn).若A1B1=a,A1D1=b,A1A=A.-12a+12b+c B.12a+1C.12a-12b+c D.-12a-1答案A解析B1=c+12(-a+b)=-12a+12b2.對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,且有6OP=OA+2OB+3OC,則(A.O,A,B,C四點(diǎn)共面B.P,A,B,C四點(diǎn)共面C.O,P,B,C四點(diǎn)共面D.O,P,A,B,C五點(diǎn)共面答案B解析由6OP=OA+2OB+3OC,得OP-OA=2(OB-OP)+3(OC-OP),即∴AP,PB,PC共面.又三個(gè)向量的基線有同一公共點(diǎn)P,∴P,A,B3.(多選)已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有OM=xOA+13OB+13A.1 B.0 C.3 D.1答案ABC解析∵OM=xOA+13OB+13OC,且M,A,B,C四點(diǎn)共面,∴4.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D答案A解析因?yàn)锳D=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB,故AD∥AB,又AD與AB有公共點(diǎn)5.下列說法錯(cuò)誤的是()A.設(shè)a,b是兩個(gè)空間向量,則a,b一定共面B.設(shè)a,b是兩個(gè)空間向量,則a·b=b·aC.設(shè)a,b,c是三個(gè)空間向量,則a,b,c一定不共面D.設(shè)a,b,c是三個(gè)空間向量,則a·(b+c)=a·b+a·c答案C解析A.設(shè)a,b是兩個(gè)空間向量,則a,b一定共面,正確,因?yàn)橄蛄靠梢云揭?B.設(shè)a,b是兩個(gè)空間向量,則a·b=b·a,正確,因?yàn)橄蛄康臄?shù)量積滿足交換律;C.設(shè)a,b,c是三個(gè)空間向量,則a,b,c可能共面,可能不共面,故C錯(cuò)誤;D.設(shè)a,b,c是三個(gè)空間向量,則a·(b+c)=a·b+a·c,正確,因?yàn)橄蛄康臄?shù)量積滿足分配律.故選C.6.設(shè)e1,e2是空間兩個(gè)不共線的向量,已知AB=e1+ke2,BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2,且A,B,D三點(diǎn)共線,實(shí)數(shù)k=.

答案1解析∵AD=AB+BC+CD=7e1+且AB與AD共線,故AD=x即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0,又e1,e2不共線,∴7-x=0,k+6-7.在以下三個(gè)命題中,所有真命題的序號(hào)為.

①三個(gè)非零向量a,b,c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則a,b,c共面;②若兩個(gè)非零向量a,b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則a,b共線;③若a,b是兩個(gè)不共線的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),則{a,b,c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底.答案①②解析c與a,b共面,不能構(gòu)成基底.8.已知平行六面體OABC-O'A'B'C',且OA=a,OC=b,OO'=c(1)用a,b,c表示向量AC'(2)設(shè)G,H分別是側(cè)面BB'C'C和O'A'B'C'的中心,用a,b,c表示GH.解(1)AC'=AC(2)GH=GO=-12(OB+=-12(a+b+c+b)+12(a+b+c+c)=12(9.已知三個(gè)向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?解假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,μ,使p=λq+μr,則a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c.∵a,b,c不共面,∴2λ-即存在實(shí)數(shù)λ=53,μ=13,使p=λq+μ∴p,q,r共面.10.如圖所示,四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形,且不共面,M,N分別是AC,BF的中點(diǎn).判斷CE與MN解∵M(jìn),N分別是AC,BF的中點(diǎn),而四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形,∴MN=又MN=MC+∴12CA+∴CE=CA+2AF+FB=2(MA+∴CE∥MN,即CE11.如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,點(diǎn)O為空間內(nèi)任意一點(diǎn),OA=a,OB=b,OC=c,向量OD=xa+yb+zc,則x,y,z分別是()A.1,-1,2 B.-12C.12,-12,1 D.12,-1答案C解析OD=OC+CD=OC+12BA=OC+12(OA-OB)=112.在平行六面體ABCD-EFGH中,若AG=xAB-2yBC+3zDH,則x+y+z等于()A.76 B.23 C.34答案D解析由于AG=AB+BC+CG=AB+BC+DH,對(duì)照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故13.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,M為空間任意兩點(diǎn),如果有PM=PB1+7BA+6AA1-4A1A.在平面BAD1內(nèi) B.在平面BA1D內(nèi)C.在平面BA1D1內(nèi) D.在平面AB1C1內(nèi)答案ABD解析PM=PB1+7BA+6=PB1+BA+6=PB1+B1A=PA1+6(PA1-=11PA1-6PB-4PD1,且11-6于是M,B,A1,D1四點(diǎn)共面.14.已知空間單位向量e1,e2,e3,e1⊥e2,e2⊥e3,e1·e3=45,若空間向量m=xe1+ye2+ze3滿足:m·e1=4,m·e2=3,m·e3=5,則x+y+z=,|m|=.

答案834解析因?yàn)閑1⊥e2,e2⊥e3,e1·e3=45,空間向量m=xe1+ye2+ze3滿足:m·e1=4,m·e2=3,m·e3=5,所以即x+4所以x+y+z=8,|m|=34.15.已知O是空間任一點(diǎn),A,B,C,D四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且OA=2xBO+3yCO+4zDO,則2x+3y+4z=.

答案-1解析OA=2xBO+3yCO+4zDO=-2xOB-3yOC-4zOD.由四點(diǎn)共面的充要條件知-2x-3y-4z=1,即2x+3y+4z=-1.16.如圖,設(shè)O為?ABCD所在平面外任意一點(diǎn),E為OC的中點(diǎn),若AE=12OD+xOB+yOA,求x解因?yàn)锳E=-OA+12=-OA+12(OD+AB所以x=12,y=-317.已知非零向量e1,e2不共線,如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求證:A,B,C,D四點(diǎn)共面.證明證法一:令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0,則(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0.∵e1,e2不共線,∴λ易知λ=-則-5AB+AC+AD=0.∴A,B,C證法二:觀察易得AC+AD=(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=5e1+5e2=5(e1+e2)=5∴AB=由共面向量知,AB,AC又它們有公共點(diǎn)A,∴A,B,C,D四點(diǎn)共面.18.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中點(diǎn),求證:B1C∥平面ODC1.證明B=B1∵O是B1D1的中點(diǎn),∴B1O+D1O∴B1C,OC1,OD共面,且B∴B1C∥平面ODC1.19.如圖所示,四邊形ABCD是空間四邊形,E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是邊CB,CD上的點(diǎn),且CF=23CB,CG=證明∵E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),∴AE=∴EH=又FG=CG-CF=23∴EH∥FG,|EH|=3∵點(diǎn)F不在EH上,∴四邊形EFGH是梯形.20.已知平行四邊形ABCD,從平面ABCD外一點(diǎn)O引向量OE=kOA,OF=kOB,OG=k求證:(1)點(diǎn)E,F,G,H共面;(2)直線AB∥平面EFGH.證明(1)∵OA+AB=OB,∴kOA+k而OE=kOA,OF=kOB,∴OE+k又OE+EF=OF,∴同理,EH=kAD,EG=k∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AC=∴EGk=EFk又它們有同一公共點(diǎn)E,∴點(diǎn)E,F,G,H共面.(2)由(1)知EF=kAB,∴AB∥EF,即AB∥EF.又AB?平面∴AB與平面EFGH平行,即AB∥平面EFGH.1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系1.已知向量a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),則向量b等于()A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)答案B2.向量a=(1,2,x),b=(2,y,-1),若|a|=5,且a⊥b,則x+y的值為()A.-2 B.2C.-1 D.1答案C解析由題意得1即x=0,y=3.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),則k的值為()A.10 B.-10C.25 D.±10答案D解析CB=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k),則CB·CA=(-6)×(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,∴k=±4.若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),則△ABC的形狀是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形答案A解析AB=(3,4,2),AC=(5,1,3),BC=(2,-3,1).由AB·AC>0,得A為銳角;由CA·CB>0,得C為銳角;由BA·BC>0,得B為銳角5.(多選)如圖所示,設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成θθ≠π2角的兩條數(shù)軸,e1,e2分別是與x,y軸正方向同向的單位向量,則稱平面坐標(biāo)系xOy為θ反射坐標(biāo)系,若OM=xe1+ye2,則把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量OM的反射坐標(biāo),記為OM=(x,y),在θ=2π3的反射坐標(biāo)系中,a=(1,2),b=(2,-1)A.a-b=(-1,3) B.|a|=3C.a⊥b D.a∥b答案AB解析a-b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,則a-b=(-1,3),故A正確;|a|=(e1+2e2a·b=(e1+2e2)·(2e1-e2)=2e12+3e1·e2-2e22=-32D顯然錯(cuò)誤.6.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,則x+y的值為.

答案4解析由題意知a∥b,所以x1=x把①代入②得x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1.當(dāng)x=-2時(shí),y=-6;當(dāng)x=1時(shí),y=3.則當(dāng)x=-2,y=-6時(shí),b=(-2,向量a,b反向,不符合題意,故舍去.當(dāng)x=1,y=3時(shí),b=a與b同向,符合題意,此時(shí)x+y=4.7.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a與b的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

答案-∞,-65∪-65,52解析由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因?yàn)閍與b的夾角為鈍角,所以a·b<0,即3t-525<0,所以t<52若a與b的夾角為180°,則存在λ<0,使a=λb(λ<0),即(5,3,1)=λ-2,t,-25,所以5=-2故t的取值范圍是-∞,-65∪-65,52158.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)QA·QB取得最小值時(shí),求Q解設(shè)OQ=λOP,則QA=OA-OQ=OA-λOP=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=OB-OQ=OB-λOP=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA·QB=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)當(dāng)λ=43時(shí),QA·QB取得最小值,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為49.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長AB=2,AB1⊥BC1,點(diǎn)O,O1分別是棱AC,A1C1的中點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)求該三棱柱的側(cè)棱長;(2)若M為BC1的中點(diǎn),試用向量AA1,(3)求cos<AB1解(1)設(shè)該三棱柱的側(cè)棱長為h,由題意得A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),B1(3,0,h),C1(0,1,h),則AB1=(3,1,h),BC1=(-3,1,h),因?yàn)锳B1所以AB1·BC1=-3+1+h2(2)AM=AB+BM=AB+(3)由(1)可知AB1=(3,1,2),BC=(-所以AB1·BC=-3+1=-2,|AB1|=6,|BC|=2,所以cos<10.(多選)已知點(diǎn)P是△ABC所在的平面外一點(diǎn),若AB=(-2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),則()A.AP⊥AB B.AP⊥BPC.BC=53 D.AP∥BC答案AC解析AP·AB=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,即AP⊥AB,BP=BA+AP=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP·AP=3+6-3=6≠0,∴AP與BPBC=AC-AB=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC|=62假設(shè)AP=kBC,則1=6k,-2=k,1=-4k,無解,因此假設(shè)不成立11.已知點(diǎn)A(1,0,0),B(0,-1,1),若OA+λOB與OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的夾角為120°,則λ的值為(A.66 B.-66 C.±66 D答案B解析∵OB=(0,-1,1),OA+λOB=(1,-λ,λ),cos120°=(OA+λAB)·OB|OA+λOB||OB|12.已知點(diǎn)A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則AB在AC上的投影為答案-4解析∵AB=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),AC=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),∴cos<AB,AC=-205AB在AC上的投影為|AB|cos<=42+(-5)2×-13.已知空間向量a=(1,-2,3),則向量a在坐標(biāo)平面xOy上的投影向量是.

答案(1,-2,0)14.已知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP=12(AB-AC答案5解析∵CB=(6,3,-4),設(shè)P(a,b,c),則(a-2,b+1,c-2)=3,∴a=5,b=12,c=0,∴P515.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E為PD的中點(diǎn).建立空間直角坐標(biāo)系,(1)求cos<AC,PB(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N,使NE⊥平面PAC,求N點(diǎn)的坐標(biāo).解(1)由題意,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E0,12,1,從而AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2).則cos<AC,PB=327=3714.∴(2)由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi),故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0,z),則NE=-x,12,1-z,由NE⊥平面PAC可得,NE即(化簡(jiǎn)得z即N點(diǎn)的坐標(biāo)為36,0,1.16.已知點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以向量AB,AC(2)若|a|=3,且向量a分別與向量AB,AC垂直,求向量解(1)AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),設(shè)θ為AB,AC則cosθ=AB·AC|AB||AC|=-2+3+64+1+9·1+9+4=12,∴sinθ=∴以AB,AC為邊的平行四邊形面積為7(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意,得-解得x∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).17.P是平面ABC外的點(diǎn),四邊形ABCD是平行四邊形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).(1)求證:PA⊥平面ABCD;(2)對(duì)于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定義一種運(yùn)算:(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,試計(jì)算(AB×AD)·AP的絕對(duì)值;說明其與幾何體P-ABCD的體積關(guān)系,并由此猜想向量這種運(yùn)算(AB×AD)(1)證明AP·AB=(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4∴AP⊥AB,即AP⊥AB.同理,AP·AD=(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=即PA⊥AD.又AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,AB∩AD=A,∴PA⊥平面ABCD.(2)解|(AB×AD)·AP又cos<AB·AD>=|AB|=21,|AD|=25,|AP|=6,V=13|AB|·|AD|·sin<AB·AD>·|AP|=16,可得|(AB×AD)猜測(cè):|(AB×AD)·AP|在幾何上可表示以AB,AD,AP為棱的平行六面體的體積(或以AB,AD,AP為棱的四棱柱的體積18.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為4的正方形,A1C1與B1D1交于點(diǎn)N,BC1與B1C交于點(diǎn)M,且AM⊥BN,建立空間直角坐標(biāo)系.(1)求AA1的長;(2)求<BN,A(3)對(duì)于n個(gè)向量a1,a2,…,an,如果存在不全為零的n個(gè)實(shí)數(shù)λ1,λ2,…,λn,使得λ1a1+λ2a2+…+λnan=0成立,則這n個(gè)向量a1,a2,…,an叫做線性相關(guān),不是線性相關(guān)的向量叫線性無關(guān),判斷AM,BN,CD解(1)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AA1的長為a,則B(4,4,0),N(2,2,a),BN=(-2,-2,a),A(4,0,0),M2,4,a2,AM=-2,4,a2,由BN⊥AM(2)BN=(-2,-2,22),AD1=(-4,0,2cos<BN,AD<BN,AD1(3)由AM=(-2,4,2),BN=(-2,-2,22),CD=(0,-4,0),λ1(-2,4,2)+λ2(-2,-2,22)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,則AM,BN1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.1空間中的點(diǎn)、直線與空間向量1.已知l1的方向向量為v1=(1,2,3),l2的方向向量為v2=(λ,4,6),若l1∥l2,則λ等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由l1∥l2,得v1∥v2,得1λ=24=32.空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是()A.[0,π] B.(0,π)C.0,π2答案C解析根據(jù)異面直線所成角定義,空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是0,3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1的中點(diǎn),則直線CE垂直于()A.BD B.AC C.A1D D.A1A答案A解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為1.則C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E12,12∴CE=12,-12,1,AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1D=(-1,0,-1),A1A∵CE·BD=(-1)×12+(-1)×-12+0×1CE·AC=-1≠0,CE·A1D=-32∴CE⊥BD.4.直線l1與l2的方向向量分別為a1,a2,若a1⊥a2,則l1與l2的位置關(guān)系為.

答案垂直5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中點(diǎn),E是線段D1O上一點(diǎn),且D1E=EO.求異面直線DE與CD1所成角的余弦值.解不妨設(shè)正方體的棱長為1,以DA,DC,DD則A(1,0,0),O12,12,0,C(0,1,0),D1(0,0,1),E14,14,12,于是DE=14,14,12,CD1=則cos<DE,CD所以異面直線DE與CD1所成角的余弦值為366.已知圓柱的底面半徑為3,高為4,A,B兩點(diǎn)分別在兩底面圓周上,并且AB=5,求異面直線AB與軸OO'之間的距離.解如圖,直線AB與軸OO'之間的距離等于軸OO'與平面ABC的距離,由圖形可知,直線AB與軸OO'之間的距離等于點(diǎn)O'到BC的距離,∵AB=5,AC=4,且AC⊥BC,∴BC=52-42=3,∴△O'CB為等邊三角形,∴異面直線AB與軸7.已知直線l1的方向向量a=(2,-3,5),直線l2的方向向量b=(-4,x,y),若兩直線l1∥l2,則x,y的值分別是()A.6和-10 B.-6和10C.-6和-10 D.6和10答案A解析由兩直線l1∥l2,得兩向量a,b平行,即2-4=-3x=5y,所以8.如圖,S是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn),M,N分別是AB和SC的中點(diǎn),SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,則異面直線SM與BN所成角的余弦值為()A.105B.-C.-1010 D.答案A解析不妨設(shè)SA=SB=SC=1,以S為坐標(biāo)原點(diǎn),SA,SB,SC所在直線分別為x軸,y軸,z軸則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為B(0,1,0),S(0,0,0),M12,12,0,N0,0,12因?yàn)镾M=12,12,0,BN=0,-1,12所以|SM|=22,|BN|=52,cos<SM,BN>=SM·因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角,所以異面直線SM與BN所成角的余弦值為1059.如圖,在三棱錐S-ABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,且SA=AB=BC=1,則異面直線SB與AC之間的距離為.

答案3解析構(gòu)造如圖所示正方體.取AB的中點(diǎn)O,連接OD交AC于點(diǎn)E,連接OM交SB于點(diǎn)F,由平面幾何知識(shí)可知,OF=13OM,OE=13OD,所以EF∥13DM.又因?yàn)锳C⊥BD,AC所以AC⊥平面BDM,AC⊥DM,因?yàn)镋F∥13DM,所以AC⊥EF同理可證SB⊥DM,所以SB⊥EF.所以EF是異面直線AC和SB的公垂線段.所以EF=13DM=310.如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),在這個(gè)正四面體中,①GH與EF平行;②BD與MN為異面直線;③GH與MN成60°角;④DE與MN垂直.以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是.

答案②③④解析還原成正四面體知GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線,GH與MN成60°角,DE與MN為異面垂直.11.如圖,在四面體ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,設(shè)P為AC的中點(diǎn),Q在AB上且AB=3AQ,證明:PQ⊥OA.證明如圖,連接OP,OQ,PQ,取O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)O作OD⊥OA,以O(shè)A,OD,OC所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖所示).則A(1,0,0),C(0,0,1),B-12,32∵P為AC中點(diǎn),∴P12,0,12.∴AB=-32,32,0,又由已知,可得AQ=13AB=-12,36,0.∴PQ=OQ-OP=0,36,∵PQ·OA=0,∴PQ⊥OA,即12.如圖,直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別為A1B1,A1A的中點(diǎn).(1)求cos<BA1,(2)求證:BN⊥平面C1MN.解以C為原點(diǎn),CA,CB,CC1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系Cxyz.(1)依題意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2),∴BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),∴BA1·CB1=1×0+(-1)×1+2×2=3,∴cos<BA1,(2)證明:依題意得C1(0,0,2),N(1,0,1),∴M12,12,2,∴C1M=12,12,0,C1N=(1,0,-1),BNC1N·BN=1×1+0×(-1)+(-1)∴C1∴BN⊥C1M,BN⊥C1N,且C1M?平面C1MN,C1N?平面C1MN,C1M∩C1N=C1.∴BN⊥平面C1MN.13.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,求A1B與D1B1的距離.解在A1B上任取一點(diǎn)M,作MP⊥A1B1,PN⊥B1D1,則MN⊥B1D1,只要求出MN的最小值即可.設(shè)A1M=x,則MP=22x,A1P=22x.所以PB1=a-22x,PN=a-22xsin45°=12(=22當(dāng)x=23a時(shí),MNmin=33a.因此A1B與D1B1的距離為31.2.2空間中的平面與空間向量1.若a=(1,2,3)是平面γ的一個(gè)法向量,則下列向量中能作為平面γ的法向量的是()A.(0,1,2) B.(3,6,9)C.(-1,-2,3) D.(3,6,8)答案B解析向量(1,2,3)與向量(3,6,9)共線.2.設(shè)平面α的法向量為(1,-2,λ),平面β的法向量為(2,μ,4),若α∥β,則λ+μ=()A.2 B.4 C.-2 D.-4答案C解析∵α∥β,∴12=-2μ=λ4,解得λ=2,μ=-3.(多選)已知空間中三點(diǎn)A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),則下列說法不正確的是()A.AB與B.與AB同向的單位向量是2C.AB與BCD.平面ABC的一個(gè)法向量是(1,-2,5)答案ABC解析對(duì)于A,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),所以不存在實(shí)數(shù)λ,使得AB=λAC,則AB與AC不是共線向量,所以A對(duì)于B,因?yàn)锳B=(2,1,0),所以與AB同向的單位向量為255,55對(duì)于C,向量AB=(2,1,0),BC=(-3,1,1),所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||對(duì)于D,設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量是n=(x,y,z),AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),所以n·AB=0,n·AC=0,則2x+y=04.若平面α,β的法向量分別為a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且α⊥β,則x的值為()A.10 B.-10C.12 D.-答案B解析因?yàn)棣痢挺?所以它們的法向量也互相垂直,所以a·b=(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10.5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1C1的中點(diǎn),則下列與直線CE垂直的是()A.直線AC B.直線B1D1C.直線A1D1 D.直線A1A答案B解析如圖,連接AC,B1D1.則點(diǎn)E在B1D1上,∵點(diǎn)C在平面A1B1C1D1內(nèi)的射影是C1,∴CE在平面A1B1C1D1內(nèi)的射影是C1E,∵C1E⊥B1D1,由三垂線定理可得,CE⊥B1D1;在四邊形AA1C1C中,C1C⊥AC,易得AC不可能和CE垂直;∵A1D1∥BC,A1A∥C1C,而BC,C1C明顯與CE不垂直,∴A1D1,A1A不可能和CE垂直.綜上,選B.6.已知直線l與平面α垂直,直線l的一個(gè)方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)與平面α平行,則z=.

答案-9解析由題知,u⊥v,∴u·v=3+6+z=0,∴z=-9.7.若AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是.

答案AB∥平面CDE或AB?平面CDE8.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面α內(nèi)三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量為a=(x,y,z),則x∶y∶z=.

答案2∶3∶(-4)解析由已知得,AB=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,∵a是平面α的一個(gè)法向量,∴a·AB=0,a·AC=0,即x-3∴x∶y∶z=23y∶y∶-43y=2∶3∶(-4).9.在如圖所示的坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱長為1的正方體,給出下列結(jié)論:①直線DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1);②直線BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1);③平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0);④平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1).其中正確的是.(填序號(hào))

答案①②③解析DD1∥AA1,AA1=(0,0,1),故①正確;BC1∥AD1,AD1=(0,1,1),故②正確;直線AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0),故③正確;點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(1,1,1),AC1與平面B1CD10.如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=12,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求平面SCD與平面SBA的一個(gè)法向量解以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AS所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),則DC=12,1,0,DS=-12,0,1,向量AD=12,0,0是平面SBA的一個(gè)法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面SCD的一個(gè)法向量,則n取x=2,得y=-1,z=1,故平面SCD的一個(gè)法向量為(2,-1,1).11.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.證法一∵M(jìn)N=12(D1∴MN∥DA1,∴MN∥平面證法二如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則可求得M0,1,12,N12,1,1,D(0,0,0),A1設(shè)平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),則n·DA1=0,且n·DB=0,取x=1,得y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).又MN·n=12,0,12·(1,∴MN⊥n,且MN?平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.證法三∵M(jìn)N=12(DB+=1=12=12即MN可以用DA1∴MN與D∴MN∥平面A1BD,即MN∥平面A1BD.12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).求證:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.證明(1)∵AB,AD,AP兩兩垂直,∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=AB=BC=1,則P(0,0,1).∵∠ABC=60°,∴△ABC為正三角形.∴C12E14,34設(shè)D(0,y,0),AC=12,32,0,CD=-12,y-32由AC⊥CD,得AC·CD即y=233,則D∴CD=-12∴AE·CD=-1∴AE⊥CD,即AE⊥(2)證法一:∵AB=(1,0,0),AE=∴設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則x令y=2,則z=-3,∴n=(0,2,-3).∵PD=0,23∴PD∥n,∴PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.證法二:∵P(0,0,1),∴PD=又AE·PD=34×∴PD⊥AE,即PD⊥又∵AB=(1,0,0),∴PD·AB∴PD⊥AB.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.13.已知平面α內(nèi)兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面α的法向量,則m,n的值分別為()A.-1,2 B.1,-2C.1,2 D.-1,-2答案A解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c為平面α的法向量,得c解得m14.已知直線l的方向向量為a,且直線l不在平面α內(nèi),平面α內(nèi)兩共點(diǎn)向量OA,OB,下列關(guān)系中一定能表示l∥α的是(A.a=OA B.a=kOBC.a=pOA+λOB D.以上均不能答案D解析A,B,C中均能推出l∥α,或l?α,但不能確定一定能表示為l∥α.15.如圖,AO⊥平面α,垂足為點(diǎn)O,BC?平面α,BC⊥OB,若∠ABO=45°,∠COB=30°,則∠BAC的余弦值為()A.77 B.427 C.66答案B解析∵AO⊥平面α,BC?平面α,BC⊥OB,由三垂線定理可得,AB⊥BC,設(shè)OB=2.∵∠ABO=45°,∠COB=30°,∴AO=2,AB=22,BC=23在Rt△ABC中,AB=22,BC=233,∠ABC=90°,∴AC=∴cos∠BAC=ABAC=2216.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則以下結(jié)論不正確的有(A.EF至多與A1D,AC中的一個(gè)垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面答案ACD解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體的棱長為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D∴A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=13,13,-13,BD∴EF=-13BD1,從而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.17.如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,E是CD的中點(diǎn),F是AD上一點(diǎn),當(dāng)BF⊥PE時(shí),AF∶FD的比值為()A.1∶2 B.1∶1C.3∶1 D.2∶1答案B解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)正方形邊長為1,PA=a,則B(1,0,0),E12,1,0,P(0,0,a).設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,y,0),則BF=(-1,y,0),PE=12,1,-a.因?yàn)锽F⊥PE,所以BF·PE解得y=12,即點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,12,0,所以F為AD的中點(diǎn),所以AF∶FD=1∶1.18.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則平面D1EF的一個(gè)法向量是.

答案(-6,3,2)解析∵在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,3),E(1,4,0),F(0,2,0),D1E=(1,4,-3),D1F=(0,2,-3),設(shè)平面D1EF的一個(gè)法向量是n=(x,y,取y=3,得n=(-6,3,2),則平面D1EF的一個(gè)法向量是(-6,3,2).19.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n與平面ABC垂直,且|n|=21,則n的坐標(biāo)為.

答案(-2,4,1)或(2,-4,-1)解析據(jù)題意,得AB=(-1,-1,2),AC=(1,0,2).設(shè)n=(x,y,z),∵n與平面ABC垂直,∴n即-x-∵|n|=21,∴x2解得y=4或y=-4.當(dāng)y=4時(shí),x=-2,z=1;當(dāng)y=-4時(shí),x=2,z=-1.∴n的坐標(biāo)為(-2,4,1)或(2,-4,-1).20.如圖所示,ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分別是PC,AB,CD的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面QMN∥平面PAD.證明(1)如圖,以A為原點(diǎn),以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),則C(b,d,0),因?yàn)镸,N,Q分別是PC,AB,CD的中點(diǎn),所以Mb2,d2,d2,Nb2,0,0,Qb2,所以MN=0,-d2,-d2.因?yàn)槠矫鍼AD的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),且MN·m=0,即MN⊥m.又MN不在平面PAD內(nèi),故MN∥平面PAD.(2)因?yàn)镼N=(0,-d,0),所以QN·m=0,即QN⊥m,又QN不在平面PAD內(nèi),所以QN∥平面PAD.又因?yàn)镸N∩QN=N,所以平面MNQ∥平面PAD.21.如圖所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=2.證明:A1C⊥平面BB1D1D.證明由題設(shè)易知OA,OB,OA1兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,∵AB=AA1=2,∴OA=OB=OA1=1,∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).∴A1C=(-1,0,-1),BD=(0,-2,0),BB1∴A1C·BD=∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,又BD∩BB1=B,∴A1C⊥平面BB1D1D.22.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量,在平面直角坐標(biāo)系中,過動(dòng)點(diǎn)P(1,2),法向量為n=(-2,3)的直線的點(diǎn)法式方程為-2(x-1)+3(y-2)=0,化簡(jiǎn)得2x-3y+4=0,類比上述方法,在空間直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)P(1,2,-1),且法向量為n=(-2,3,1)的平面的點(diǎn)法式方程應(yīng)為()A.2x-3y+z+5=0 B.2x-3y-z+3=0C.2x+3y+z-7=0 D.2x+3y-z-9=0答案B解析通過類比,易得點(diǎn)法式方程為-2(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0,整理可得2x-3y-z+3=0,故選B.23.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱BB1和DD1的中點(diǎn).(1)求證:平面B1FC1∥平面ADE;(2)試在棱DC上求一點(diǎn)M,使D1M⊥平面ADE.(1)證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2,則A(2,0,0),D(0,0,0),E(2,2,1),F(0,0,1),C1(0,2,2),B1(2,2,2).則AE=(0,2,1),DA=(2,0,0),FC1=(0,2,1),C1B1∴可得AD∥平面FB1C1,AE∥平面FB1C1.又AD∩AE=A,∴平面ADE∥平面FB1C1.(2)解M應(yīng)為DC的中點(diǎn).M(0,1,0),D1(0,0,2),則D1M=(0,1,-2),DE=(2,2,1),AD=(-2,0,0).∵D1M·∴D1M⊥DE,D1M⊥AD.∵AD,DE?平面ADE,AD∩DE=D,∴D1M⊥平面ADE.1.2.3直線與平面的夾角1.設(shè)直線l與平面α相交,且l的方向向量為a,α的法向量為n,若<a,n>=2π3,則l與α的夾角為(A.2π3 B.π3 C.π答案C解析線面角的范圍是0,π2.∵<a,n>=2π3,∴l(xiāng)與法向量所在直線所成角為∴l(xiāng)與α的夾角為π62.直線l的方向向量s=(1,1,2),平面α的法向量n=(1,-3,0),則直線l與平面α的夾角的余弦值為()A.-1515 B.1515 C.-21015答案D解析設(shè)直線l與平面α的夾角為θ0≤θ≤π2,則sinθ=|cos<s,n>|=1×1+1×(-3)∴直線l與平面α的夾角的余弦值為210153.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點(diǎn),則直線A1B與平面BDE所成的角為()A.π6B.π3 C.π2答案B解析以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則DB=(1,1,0),DE=0,1,12,設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),∴DB·n=0,DE·n=0,可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而BA1=(0,-1,1),∴cos<BA1,∴<BA1,n>=30∴直線A1B與平面BDE的夾角為60°.4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為94,底面是邊長為3的正三角形.若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC的夾角的大小為(A.5π12 B.π3 C.π答案B解析如圖所示,由棱柱體積為94,底面正三角形的邊長為3,可求得棱柱的高為3.設(shè)P在平面ABC上射影為O,則可求得AO長為1,故AP長為12+(3)2=2.故∠PAO=π35.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,6),則向量AB與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為.

答案7解析設(shè)平面xOz的法向量為n=(0,t,0)(t≠0),AB=(1,3,6),所以cos<n,AB>=n·AB|n||AB|=3t4|t|,因?yàn)?lt;n,AB6.正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的正弦值為.

答案3解析設(shè)正方體的棱長為1,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一個(gè)法向量為DB1=(1,1,1).又B則sin<DB1,BB=|D7.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,則AC1與平面BB1C1C的夾角的余弦值為.

答案10解析設(shè)三棱柱的棱長為1,以B為原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則C1(0,1,1),A32又平面BB1C1C的一個(gè)法向量n=(1,0,0),設(shè)AC1與平面BB1C1C的夾角為θ.sinθ=|cos<n,AC1>|=∴cosθ=1-8.如圖所示,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BC,A1D1的中點(diǎn).(1)求直線A1C與DE所成角的余弦值;(2)求直線AD與平面B1EDF的夾角的余弦值.解以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.(1)A1(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),Ea,a2,0,∴A1C=(a,a,DE=a,-a2,0,∴cos<A1C,故A1C與DE所成角的余弦值為1515(2)連接DB1,∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B1EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上.又B1EDF為菱形,∴DB1為∠EDF的平分線,故直線AD與平面B1EDF所成的角為∠ADB1.由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),得DA=(0,-a,0),DB1=(a,-a,∴cos<DA,DB又直線與平面所成角的范圍是0,π2,故直線AD與平面B1EDF的夾角的余弦值為339.如圖,已知四棱錐P-ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).(1)證明:CE∥平面PAB;(2)求直線CE與平面PBC的夾角的正弦值.解(1)如圖,設(shè)PA中點(diǎn)為F,連接EF,FB.因?yàn)镋,F分別為PD,PA中點(diǎn),所以EF∥AD且EF=12AD又因?yàn)锽C∥AD,BC=12AD所以EF∥BC且EF=BC,即四邊形BCEF為平行四邊形,所以CE∥BF.∵BF?平面PAB,CE?平面PAB,因此CE∥平面PAB.(2)分別取BC,AD的中點(diǎn)為M,N,連接PN交EF于點(diǎn)Q,連接MQ,因?yàn)镋,F,N分別是PD,PA,AD的中點(diǎn),所以Q為EF中點(diǎn).在平行四邊形BCEF中,MQ∥CE.由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD,N是AD的中點(diǎn)得BN⊥AD.所以AD⊥平面PBN.由BC∥AD得BC⊥平面PBN,那么平面PBC⊥平面PBN.過點(diǎn)Q作PB的垂線,垂足為H,連接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.設(shè)CD=1.在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在△PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14在Rt△MQH中,QH=14,MQ=2所以sin∠QMH=28所以,直線CE與平面PBC的夾角的正弦值是2810.已知向量a=(2,-3,3)是直線l的方向向量,向量n=(1,0,0)是平面α的法向量,則直線l與平面α的夾角為()A.30° B.45° C.60° D.90°答案A解析cos<a,n>=a·n|a||n|=24×1=12,故向量夾角為60°,則直線11.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ABB1⊥BC,且A1C與底面成45°角,AB=BC=2,則該棱柱體積的最小值為()A.43 B.33C.4 D.3答案C解析由已知得BC⊥AB,平面A1ABB1⊥平面ABC且交線為AB,故點(diǎn)A1在平面ABC上的射影D在AB上.由A1C與底面成45°角得A1D=DC,當(dāng)CD最小即CD=BC時(shí)A1D最小,此時(shí)Vmin=12·AB·BC·A1D=12×2×2×2=12.AB∥α,AA'⊥α,A'是垂足,BB'是α的一條斜線段,B'為斜足,若AA'=9,BB'=63,則直線BB'與平面α的夾角的大小為.

答案60°13.如圖,圓錐的高PO=2,底面☉O的直徑AB=2,C是圓上一點(diǎn),且∠CAB=30°,D為AC的中點(diǎn),則直線OC和平面PAC的夾角的余弦值為.

答案7解析設(shè)點(diǎn)O到平面PAC的距離為d,設(shè)直線OC和平面PAC所成角為α,則由等體積法得,VO-PAC=VP-OAC,即13S△PAC·d=13|PO|·S△OAC,∴d=∴sinα=d|CO|=23,14.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn).求EB與底面ABCD的夾角的正弦值.解由向量加法知EB=EC+CB=12PC+CB=12(PD+DC)+CB,設(shè)|PD|=1,則|∴EB·DP=-∴cos<EB,DP>=EB·DP|EB||DP|=-15.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,在側(cè)棱CC1上求一點(diǎn)P,使得直線AP與平面BDD1B1的夾角的正切值為32.解如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)CP=m(m>0),則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),所以BD=(-1,-1,0),BB1=(0,0,1),AP=(-1,1,m),AC=(-因?yàn)锳C·BD=0,AC所以AC為平面BDD1B1的一個(gè)法向量.設(shè)AP與平面BDD1B1所成的角為θ,則sinθ=cosπ2所以cosθ=1-因?yàn)閠anθ=sinθcosθ=所以m=13故當(dāng)CP=13CC1時(shí),直線AP與平面BDD11.2.4二面角1.已知二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α與β的法向量分別為a,b,且<a,b>=π6,則二面角α-l-β的大小為(A.π6 B.C.π6或5答案C2.如圖,設(shè)AB為圓錐PO的底面直徑,PA為母線,點(diǎn)C在底面圓周上,若△PAB是邊長為2的正三角形,且CO⊥AB,則二面角P-AC-B的正弦值是()A.6 B.427 C.77 D答案B解析如圖,取AC的中點(diǎn)D,連接OD,PD,∵PO⊥底面,∴PO⊥AC,∵OA=OC,D為AC的中點(diǎn),∴OD⊥AC,又PO∩OD=O,∴AC⊥平面POD,則AC⊥PD,∴∠PDO為二面角P-AC-B的平面角.∵△PAB是邊長為2的正三角形,∴PO=3,OA=OC=1,OD=22則PD=(3∴sin∠PDO=POPD=3143.正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB與平面PCD所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90°答案B解析如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=AB=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是AD=(0,1,0),取PD的中點(diǎn)E,則E0,12,1∴AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的法向量,AE是平面PCD∴cos<AD,AE>=∴平面PAB與平面PCD所成的角為45°.4.請(qǐng)根據(jù)所給的圖形,把空白之處填寫完整.(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理(請(qǐng)用符號(hào)語言作答).如圖①,已知:a∥α,,

求證:.

(2)平面與平面垂直的性質(zhì)定理的證明.如圖②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,,,

求證:AB⊥β.證明:在β內(nèi)引直線,垂足為B,則是二面角的平面角,由α⊥β,知,又AB⊥CD,BE和CD是β內(nèi)的兩條直線,所以AB⊥β.

解(1)已知:a∥α,a?β,α∩β=b,求證:a∥b.故答案為a?β,α∩β=b;a∥b.(2)如圖②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,AB?α,AB⊥CD,求證:AB⊥β.證明:在β內(nèi)引直線BE⊥CD,垂足為B,則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,由α⊥β,知AB⊥BE,又AB⊥CD,BE和CD是β內(nèi)的兩條相交直線,所以AB⊥β.故答案為AB?α,AB⊥CD,BE⊥CD,∠ABE,α-CD-β,AB⊥BE,相交.5.已知點(diǎn)O在二面角α-AB-β的棱上,點(diǎn)P在平面α內(nèi),且∠POB=60°.若直線PO與平面β所成的角為45°,則二面角α-AB-β的正弦值為.

答案6解析如圖,過點(diǎn)P作PE⊥β,垂足為E,過點(diǎn)E作EF⊥AB,垂足為F,連接OE,PF,則∠POE為直線PO與平面β所成的角,∠PFE為二面角α-AB-β的平面角.設(shè)OP=2a,則在Rt△PEO中,由∠POE=45°,可得PE=a;在Rt△PFO中,由∠POF=60°,可得PF=2a·sin60°=62a;在Rt△PEF中,sin∠PFE=PEPF=a62a=6.在空間中,已知平面α過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a>0),如果平面α與平面xOy所成的角為45°,則a=.

答案12解析平面xOy的法向量n=(0,0,1),設(shè)平面α的法向量為u=(x,y,z),則-即3x=4y=az,取z=1,則u=a3,a4而cos<n,u>=1a又∵a>0,∴a=1257.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,點(diǎn)F為PC的中點(diǎn),求二面角C-BF-D的正切值.解如圖所示,設(shè)AC與BD交于O,連接OF,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=3,所以O(shè)(0,0,0),B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,OC=0,12,0,易知OC為平面BDF的一個(gè)法向量.由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可得平面BCF的一個(gè)法向量為n=(1,3,3),所以cos<n,OC>=217,sin<n,OC>=277,所以tan8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)證明:PA⊥BD;(2)設(shè)PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.(1)證明因?yàn)椤螪AB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD.從而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),AD的長為單位長,射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,3,0),P(0,0,1).AB=(-1,3,0),PB=(0,3,-1),BC=(-1,0,0).設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=0,n·PB=0,設(shè)平面PBC的法向量為m=(a,b,c),則m·PB=0,m·BC=0,即3b-c=0,-a由圖形知二面角A-PB-C大小為鈍角,故二面角A-PB-C的余弦值為-279.正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長等于2,E,F分別是B'D',AC的中點(diǎn).求:(1)直線AB'和平面ACD'所成角的正弦值;(2)二面角B'-CD'-A的余弦值.解如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,∵正方體的棱長等于2,E,F分別是B'D',AC的中點(diǎn),∴A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D'(0,0,2),B'(2,2,2),E(1,1,2),F(1,1,0).(1)AD'=(-2,0,2),AC=(-2,2,0),AB'=(0,2,2),設(shè)n=(x',y',z')是平面ACD'則由nz取x'=1,得平面ACD'的一個(gè)法向量n=(1,1,1),設(shè)直線AB'和平面ACD'所成角的大小為θ,則sinθ=|n∴直線AB'和平面ACD'所成角的正弦值是63(2)D'B'=(2,2,0),D'設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面B'CD'的一個(gè)法向量,則由m·D'B'=0,m·D'C=0由cosθ=n·由圖形知二面角B'-CD'-A的大小為銳角.故二面角B'-CD'-A的余弦值是1310.二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,則該二面角的大小為()A.150° B.45° C.60° D.120°答案C解析由條件知,CA·AB=0,ABCD=∴|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·=62+42+82+2×6×8cos<CA,BD>=(217)∴cos<CA,BD>=-12,即<CA,∴二面角的大小為60°,故選C.11.設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)棱長均相等,P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).記直線PB與直線AC所成的角為α,直線PB與平面ABC所成的角為β,二面角P-AC-B的平面角為γ,則()A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γC.β<α,γ<α D.α<β,γ<β答案B解析如圖G為AC中點(diǎn),點(diǎn)V在底面ABC上的投影為點(diǎn)O,則點(diǎn)P在底面ABC上的投影點(diǎn)D在線段AO上,過點(diǎn)D作DE垂直AE,易得PE∥VG,過點(diǎn)P作PF∥AC交VG于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DH∥AC,交BG于點(diǎn)H,則α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cosα=PFPB=EGPB所以α>β,因?yàn)閠anγ=PDED>PDBD所以γ>β.故選B.12.如圖,將菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使得C點(diǎn)至C',E點(diǎn)在線段AC'上,若二面角A-BD-E與二面角E-BD-C'的大小分別為30°和45°,則AEEC'=(A.12 B.66 C.22答案C解析取BD的中點(diǎn)O,連接AO,EO,C'O,∵菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使得C點(diǎn)至C',E點(diǎn)在線段AC'上,∴C'O⊥BD,AO⊥BD,OC'=OA,∴BD⊥平面AOC',∴EO⊥BD.∵二面角A-BD-E與二面角E-BD-C'的大小分別為30°和45°,∴∠AOE=30°,∠EOC'=45°,∵OC'=OA,∴∠OC'E=∠OAE,由正弦定理得OEsin∠OEsin∠∴EC'∴AEEC'=sin3013.如圖所示,將邊長為a的正三角形ABC,沿BC邊上的高線AD將△ABC折起.若折起后B,C'間距離為a2,則二面角B-AD-C'的大小為.答案60°14.如圖,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)將△ABE沿AE折起得到△AB'E,當(dāng)二面角B'-AE-D的平面角為120°,點(diǎn)B'在平面ABC上的投影為K,當(dāng)E從B運(yùn)動(dòng)到C,則點(diǎn)K所形成軌跡是.

答案一段圓弧解析過K作KO⊥AE,連接OB',∵二面角B'-AE-D的平面角為120°,∴∠B'OK=60°,∴KO=12B'O從而原問題就轉(zhuǎn)化為B'O⊥AE,K為B'O中點(diǎn),求K的軌跡長度,如右圖,∵B'O⊥AE,∴O在以AB'為直徑的圓上,取AB'中點(diǎn)J,則JK⊥B'K,所以K點(diǎn)的軌跡是以B'J為直徑的圓上的一段弧.15.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,四邊形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點(diǎn).若二面角P-AC-E的余弦值為33,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值解如圖,作CF∥DA,交AB于點(diǎn)F,以C為原點(diǎn),CF,CD,CP分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).設(shè)P(0,0,a)(a>