天津市南開中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁高三數(shù)學(xué)學(xué)科第一次月考考試時(shí)間：120分鐘本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和填涂卡號(hào)填寫或涂寫在答題紙上，答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題紙上，答在試卷上的無效，考試結(jié)束后，將答題紙交回.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（共45分）一.選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算求出，再由交集的運(yùn)算可得答案.【詳解】，則，所以.故選：.2.“”是“為第一象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件的定義判定選項(xiàng)即可.【詳解】易知，所以為第一象限角、第二象限角或終邊落在縱軸正半軸上的角，顯然不滿足充分性，滿足必要性.故選：B3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出y=fx為奇函數(shù)，排除CD；由排除B，得到答案.【詳解】定義域?yàn)镽，，函數(shù)y=fx為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除CD；又，排除B.故選：A4.5G技術(shù)在我國已經(jīng)進(jìn)入調(diào)整發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：時(shí)間x12345銷售量y（千只）0.50.81.01.21.5若x與y線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（）A.當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量y平均增加0.24個(gè)單位B.線性回歸方程中C.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)D.可以預(yù)測(cè)時(shí)，該商場(chǎng)5G手機(jī)銷量約為1.72（千只）【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)，分析總體單調(diào)性，結(jié)合增量的變化判斷C選項(xiàng)；根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到樣本中心點(diǎn)，代入回歸方程求解即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)回歸方程判斷AD選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線性回歸方程可得每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加0.24個(gè)單位，故A正確.由已知數(shù)據(jù)得，，代入中得到，故B錯(cuò)誤；從數(shù)據(jù)看隨的增加而增加，故變量與正相關(guān)，由于各增量并不相等，故相關(guān)系數(shù)，故C正確；將代入中得到，故D正確.故選：B.5.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】.

故選：C6.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值“1”、“”即可比較大小.【詳解】，，.綜上，．故選：B.7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A.直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸B.區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位長度得到【答案】C【解析】【分析】利用整體代入法判斷A，利用整體換元法判斷B，利用三角函數(shù)的單調(diào)性判斷C，利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，可得，結(jié)合，得，所以．對(duì)于A，，所以直線不是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D，左移個(gè)單位長度后得到，故D錯(cuò)誤．故選：C．8.已知是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)構(gòu)造方程組求出的解析式，再根據(jù)題意得到在單調(diào)遞增，分類討論即可求解．【詳解】由題意可得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，聯(lián)立，解得，又因?yàn)閷?duì)于任意的，都有成立，所以，即成立，構(gòu)造，所以由上述過程可得在單調(diào)遞增，若，則對(duì)稱軸，解得；若，則在單調(diào)遞增，滿足題意；若a>0，則對(duì)稱軸恒成立；綜上，．故選：B9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的，恒成立，當(dāng)時(shí)．若對(duì)任意，都有，則m的最大值是（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】先分析x∈0,2、、時(shí)解析式以及值域，然后作出的圖象，結(jié)合圖象確定出符合條件的的范圍，再根據(jù)與所求的取值范圍的關(guān)系求解出的最大值.【詳解】當(dāng)x∈0,2時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，結(jié)合為奇函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象如下圖所示：由圖象可知，若要恒成立，只需要分析內(nèi)圖象即可，因?yàn)閳D象的對(duì)稱性，不妨考慮時(shí)的情況，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以或，結(jié)合圖象，若成立，則有，所以，又因?yàn)槿魧?duì)任意，都有，則有，所以，所以，所以的最大值為，故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，以分段函數(shù)為媒介，采用數(shù)形結(jié)合思想能高效解答問題，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使問題轉(zhuǎn)化為更簡單的問題，難度較大.常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個(gè)數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質(zhì).第Ⅱ卷（共105分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.10.復(fù)數(shù)的模為__________．【答案】##【解析】公眾號(hào)：高中試卷君【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及模長公式計(jì)算即可.【詳解】．故答案為：11.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】【解析】【分析】寫出其展開式的通項(xiàng)，然后令指數(shù)部分為0，求解即可.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，其展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：12.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析可知：在上單調(diào)遞增，且gx>0，結(jié)合二次函數(shù)列式求解即可.【詳解】因?yàn)樵诙x域0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，由題意可得：在上單調(diào)遞增，且gx>0，則a2≥4g所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13.某射擊小組共有10名射手，其中一級(jí)射手3人，二級(jí)射手2人，三級(jí)射手5人，現(xiàn)選出2人參賽，在至少有一人是一級(jí)射手的條件下，另一人是三級(jí)射手的概率為__________；若一?二?三級(jí)射手獲勝概率分別是0.9，0.7，0.5，則任選一名射手能夠獲勝的概率為__________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】計(jì)算出至少有一人是一級(jí)射手的情況有幾種，再求出選出的2人中1人是一級(jí)射手另一人是三級(jí)射手的情況的種數(shù)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即得答案；求出任選一名射手，分別是一、二、三級(jí)射手的概率，根據(jù)全概率公式即可求得任選一名射手能夠獲勝的概率.【詳解】由題意得至少有一人是一級(jí)射手的情況共有種，選出的2人中1人是一級(jí)射手另一人是三級(jí)射手的情況種，故選出2人參賽，在至少有一人是一級(jí)射手的條件下，另一人是三級(jí)射手的概率為；任選一名射手，分別是一、二、三級(jí)射手概率分別為，而一、二、三級(jí)射手獲勝概率分別是0.9，0.7，0.5，則任選一名射手能夠獲勝的概率為，故答案為：，14.若，，且，，則的值是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式，解出相關(guān)角的三角函數(shù)值，繼而求得的余弦值，結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，且，所以，則，且，由，所以，又，所以，則，所以，又，所以.故答案為:.15.若有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】令，，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)問題，分類討論時(shí)，函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解.【詳解】由，得，即，令，，則函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，若，則，由，解得，僅有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；若，由，解得或，由，解得或，當(dāng)，即時(shí)，如圖①所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，如圖②所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，沒有交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，如圖③所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，沒有交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，可化為，即，因?yàn)榕袆e式，所以無解所以函數(shù)與的圖象在上沒有交點(diǎn)，如圖④所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)沒有交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；若，當(dāng)，即時(shí)，如圖⑤所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，如圖⑥所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故沒有交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，如圖⑦所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故沒有交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，可化為，即，因?yàn)榕袆e式，即無解所以函數(shù)與的圖象在上沒有交點(diǎn)，如圖⑧所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；在上，函數(shù)與函數(shù)沒有交點(diǎn)；同理，在上，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù).三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)公眾號(hào)：高中試卷君寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.設(shè)且，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）化簡不等式為，按照和分類討論，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可；（2）將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，則，利用函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，不等式可化為，若，則，解得，所以不等式的解集為；若，則，解得，所以不等式的解集為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；【小問2詳解】由題意可知，令，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，設(shè)，則，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以.17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和的正、余弦公式及誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，再由整體角范圍求解不等式可得單調(diào)區(qū)間；（2）由伸縮變換與平移變換得解析式，得，根據(jù)整體角范圍求余弦值，再由角的關(guān)系，利用兩角和的余弦公式求解可得.【小問1詳解】.由，解得即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），則得到函數(shù)的圖象，再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，所以.若，則，.由，得，又，所以，則，故.故的值為.18.如圖，垂直于梯形所在平面，為的中點(diǎn)，，四邊形為矩形．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)，由三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行判定推理即可.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法可得結(jié)果.（3）利用點(diǎn)到平面距離的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】令，連接，由四邊形為矩形，得為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由垂直于梯形所在平面，，得直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，由軸平面，得平面的法向量，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.【小問3詳解】由（2）知：，則，而平面的法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.19.已知橢圓：的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，，上?下頂點(diǎn)分別為，，且四邊形的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為M，N，若是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，則當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)及已知條件可得a，b，c的關(guān)系，從而可求出a，b，c的值，從而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示出|OP|2+|OQ|2，由|OP|2+|OQ|2是一個(gè)與m無關(guān)的常數(shù)，可求出k的值，表示出四邊形PQMN面積，求出當(dāng)四邊形PQMN面積最大時(shí)m的值，即可求解直線l的方程．【小問1詳解】，，所以，因?yàn)閍2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1，所以橢圓方程為．【小問2詳解】如圖，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），，聯(lián)立，消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2，所以，.，，因?yàn)閨OP|2+|OQ|2是一個(gè)與m無關(guān)的常數(shù)，所以32k2﹣24＝0，，，，，點(diǎn)O到直線l的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即m2＝3，因?yàn)閙＞0，所以時(shí)，取得最大值為，因?yàn)镾四邊形MNPQ＝4S△POQ，所以S△POQ最大時(shí)，S四邊形MNPQ最大，所以或．20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若對(duì)時(shí)，，求正實(shí)數(shù)的最大值；（3）若函數(shù)的最小值為，試判斷方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】（1）（2）（3）個(gè)實(shí)數(shù)根，理由見解析【解析】公眾號(hào)：高中試卷君【分析】（1）