2024-2025學年北京市朝陽區(qū)日壇中學高三（上）調(diào)研數(shù)學試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市朝陽區(qū)日壇中學高三（上）調(diào)研數(shù)學試卷（10月份）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x>2}，那么A∪B=(

)A.(2,4) B.(2,4] C.[1,+∞) D.(2,+∞)2.復數(shù)1?2+i+11?2iA.15i B.15 C.?3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(

)A.y=?ln|x| B.y=x3 C.4.函數(shù)y=3sin(2x+π4)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是A.2π B.π C.π2 D.5.在△ABC中，若b=3，c=6，C=π4，則角BA.π6 B.π3 C.2π3 D.6.聲音的等級f(x)(單位：dB)與聲音強度x(單位：W/m2)滿足f(x)=10×lgx1×10?12A.106倍 B.108倍 C.1010倍 7.已知f(x)是R上的奇函數(shù)，則“x1+x2=0”是“A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}，前n項和為Sn，滿足S3?S1=10，且aA.2 B.6 C.5或6 D.129.已知函數(shù)f(x)=x2+5x,x≥0?ex+1,x<0.若A.(?∞,0] B.(?∞,5] C.(0,5] D.[0,5]10.已知定義域為R的函數(shù)f(x)，對x0∈R，若存在δ>0，對任意的x∈(x0?δ,x0)∪(x0,x0+δ)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知等差數(shù)列{an}中，其前n項和為Sn，若a3+12.已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，c2=2ab且sinA=12sinC，則13.已知平面內(nèi)四個不同的點A，B，C，D滿足BA=2DB?2DC，則|14.古希臘數(shù)學家托勒密對三角學的發(fā)展做出了重要貢獻，他的《天文學大成》包含一張弦表(即不同圓心角的弦長表)，這張表本質(zhì)上相當于正弦三角函數(shù)表.托勒密把圓的半徑60等分，用圓的半徑長的160作為單位來度量弦長.將圓心角α所對的弦長記為crdα.如圖，在圓O中，60°的圓心角所對的弦長恰好等于圓O的半徑，因此60°的圓心角所對的弦長為60個單位，即crd60°=60.若θ為圓心角，cosθ=14(0°<θ<180°)，則crdθ=15.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=AD=2，O為線段AC，BD交點，T為線段BP上的動點，則以下結論正確的是______．

①當PT=BT時，PD//平面ACT；

②當PT=2BT時，PO⊥平面ACT；

③線段OT的最小值為63；

④直線AP，CT所成角取值范圍為[π4三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

已知函數(shù)f(x)=3cosωx，g(x)=sin(ωx?π3)ω>0)，且g(x)的最小正周期為π．

(Ⅰ)若f(α)=62，α∈[?π,π]，求17.(本小題15分)

在①BD=CD且AD=2，②AD平分∠BAC且AD=32，③AD⊥BC且AD=2這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并加以解答．

是否存在△ABC，其中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若A=π3，a=318.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD//BC，CD⊥AP，△PCD為等腰直角三角形，PD=CD=2，平面PBC交平面PAD于直線l，E，F(xiàn)分別為棱PD，PB的中點．

(Ⅰ)求證：BC//l；

(Ⅱ)設PA=AD=2BC=2，則：

①求平面AEF與平面PAD夾角的余弦值；

②在棱PC上是否存在點G，使得DG/?/平面AEF？若存在，求PGPC的值，若不存在，說明理由．19.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=(x+a)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當a<1時，試確定函數(shù)g(x)=f(x?a)?20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+1x?ax．

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若f(x)存在極大值M和極小值N，且M+N>a?1，求21.(本小題15分)

[理科]定義：如果數(shù)列{an}的任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{an}為“三角形”數(shù)列.對于“三角形”數(shù)列{an}，如果函數(shù)y=f(x)使得bn=f(an)仍為一個“三角形”數(shù)列，則稱y=f(x)是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”，(n∈N?).

(1)已知{an}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若f(x)=kx，(k>1)是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍；

(2)已知數(shù)列{參考答案1.C

2.B

3.A

4.C

5.D

6.B

7.A

8.B

9.D

10.A

11.98

12.7813.3

14.3015.①③④

16.解：(Ⅰ)解：因為g(x)=sin(ωx?π3)的最小正周期π，

∴2π|ω|=π，解得ω=2，

由f(α)=62，得3cos2α=62，

即cos2α=22，

∴2α=2kπ±π4，k∈Z，

∵α∈[?π,π]，

∴α∈{?7π8,?π8,π8,7π817.解：因為A=π3，a=3，

所以由余弦定理a2=c2+b2?2bccosA，可得c2+b2?bc=3，

若選①，因為BD=CD，且AD=2，

可得AD=12(AB+AC)，兩邊平方，可得c2+b2+bc=8，

所以c2+b2=112，bc=52，

所以b+c=c2+b2+2bc=422，

所以a+b+c=422+3；

若選②，因為AD18.證明：(1)因為AD//BC，AD?平面PAD，BC?平面PAD，

所以BC/?/平面PAD，又因為BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD=直線1，

所以BC/?/l；

解：(2)①如圖，取AD的中點O，連接OP，OB，

由題意可得，BC/?/OD，且BC=OD，

則OBCD為平行四邊形，

所以OB/?/CD，又CD⊥AP，CD⊥PD，AP，PD?平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，

則OB⊥平面PAD，又OP，OD?平面PAD，

則OP⊥OB，OD⊥OB，又因為PA=PD，O為AD的中點，

所以OP⊥AD，OA，OB，OP兩兩垂直，

以O為坐標原點，直線OA，OB，OP所在方向分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(?1,2,0)，D(?1,0,0)，P(0,0,3)，E(?12,0,32)，F(xiàn)(0,1,32)，

所以AE=(?32,0,32)，EF=(12,1,0)，

設平面AEF的法向量n=(x,y,z)，

則n⊥AEEF⊥n，即n?AE=?32x+32z=0n?EF=12x+y=0，

令x=2，則y=?1，z=23，即n=(2,?1,23)，

易知平面PAD的一個法向量為m=(0,1,0)，

設平面AEF與平面PAD所成角為θ，

則cosθ=|cos?n,m?|=|n19.解：(Ⅰ)因為f(x)=(x+a)ex，x∈R，

所以f′(x)=(x+a+1)ex.

令f′(x)=0，得x=?a?1.

當x變化時，x(?∞,?a?1)?a?1(?a?1,+∞)f′(x)?0+f(x)↘極小值↗故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(?∞,?a?1)；單調(diào)增區(qū)間為(?a?1,+∞)．

(Ⅱ)結論：函數(shù)g(x)有且僅有一個零點．

理由如下：

由g(x)=f(x?a)?x2，得方程xex?a=x2，

顯然x=0為此方程的一個實數(shù)解．

所以x=0是函數(shù)g(x)的一個零點．

當x≠0時，方程可化簡為ex?a=x．

設函數(shù)F(x)=ex?a?x，則F′(x)=ex?a?1，x(?∞,a)a(a,+∞)F′(x)?0+F(x)↘極小值↗即F(x)的單調(diào)增區(qū)間為(a,+∞)；單調(diào)減區(qū)間為(?∞,a)．

所以F(x)的最小值F(x)min=F(a)=1?a．

因為

a<1，

所以F(x)min=F(a)=1?a>0，

所以對于任意x∈R，F(xiàn)(x)>0，

因此方程ex?a=x無實數(shù)解．

所以當x≠020.解：(Ⅰ)∵f(x)=(a+1)lnx+1x?ax(x>0)，

∴f′(x)=a+1x?1x2?a=?(x?1)(ax?1)x2，

當a≤0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增；

當0<a<1時，f(x)在(0,1)，(1a,+∞)上單調(diào)遞減，在(1,1a)上單調(diào)遞增；

當a=1時，f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當a>1時，f(x)在(0,1a)，(1,+∞)上單調(diào)遞減，在(1a,1)上單調(diào)遞增；

綜上所述，當a≤0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞)；

當0<a<1時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)，(1a,+∞)，單調(diào)增區(qū)間為(1,1a)；

當a=1時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞)，無增區(qū)間；

當a>1時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1a)，(1,+∞)，單調(diào)增區(qū)間為(1a,1)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，若f(x)存在極大值21.解：(1)顯然an=n+1，an+an+