2024-2025學(xué)年重慶市渝北區(qū)松樹(shù)橋中學(xué)高一（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年重慶市渝北區(qū)松樹(shù)橋中學(xué)高一（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列關(guān)系中，正確的是(

)A.?2∈N+ B.π?Q C.0?N 2.“a2=b2”是“aA.充分不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)A={x|1≤x≤3}，B={x|3a≤x≤a+1}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.a=12 B.a≥13 C.134.若a<b<0，則下列不等式一定成立的是(

)A.1a?b>1b B.a2<ab5.若1≤a≤2，?2<b≤1，則2a?b的取值范圍為(

)A.4≤2a?b≤7 B.4<2a?b≤7 C.1≤2a?b≤10 D.1≤2a?b<66.定義行列式abcd=ad?bc，若7x2A.{x|?1<x<52} B.{x|?12<x<5}7.若實(shí)數(shù)x+2y=4(x>1,y>12)，則1x?1A.12 B.1 C.43 8.定義集合運(yùn)算A?B={x|x∈A且x?B}；將AΔB=(A?B)∪(B?A)稱(chēng)為集合A與集合B的對(duì)稱(chēng)差，

命題甲：A∩(BΔC)=(A∩B)Δ(A∩C)；

命題乙：A∪(BΔC)=(A∪B)Δ(A∪C)．

則下列說(shuō)法正確的是(

)A.甲乙都是真命題 B.只有甲是真命題 C.只有乙是真命題 D.甲乙都不是真命題二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添加m克糖(m>0)，則糖水變得更甜，對(duì)于b>a>0，m>0，下列不等式正確的是(

)A.ab<a+mb+m B.ab>10.下列命題的否定中，是全稱(chēng)量詞命題且為真命題的有(

)A.?x∈R，x2?x+14<0 B.所有的正方形都是矩形

C.?x∈R，x211.已知有限集A={a1,a2,?,an}(n≥2，n∈N)，如果A中元素aiA.集合{?1,?3,?1+3}是“完美集”

B.若a1、a2是兩個(gè)不同的正數(shù)，且{a1,a2}是“完美集”，則a1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若不等式ax2?2x+3>0在R上恒成立，則a13.“a=14”是“對(duì)任意的正數(shù)x，均有x+a14.定義集合P={p|a≤p≤b)的“長(zhǎng)度”是b?a，其中a，b∈R.已如集合M={x|m≤x≤m+12}，N={x|n?35≤x≤n}，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“長(zhǎng)度”的最小值是

；若m=65，集合M∪N的“長(zhǎng)度”大于四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)全集U=R，集合A={x|2x2+5x?3<0}，集合B={x|3?2a<x<a+1}，a∈R．

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求圖中陰影部分表示的集合；

(2)若A∩B=A，求實(shí)數(shù)16.(本小題15分)

求下列不等式的解集．

(1)x2?4x?4≤0

(2)?2x17.(本小題15分)

解答下列各題．

(1)若x>3，求x+4x?3的最小值．

(2)若正數(shù)x，y滿足9x+y=xy，

①求xy的最小值．

②求2x+3y18.(本小題17分)

已知一元二次不等式x2?ax+b>0．

(1)若不等式的解集為{x|x<2或x>3}，求不等式ax2?bx+1<0的解集；

(2)當(dāng)b=a?1時(shí)，求不等式x2?ax+b>0的解集；

(3)19.(本小題17分)

已知集合A為非空數(shù)集，對(duì)于集合A，定義對(duì)A中任意兩個(gè)不同元素相加得到一個(gè)絕對(duì)值，將這些絕對(duì)值重新組成一個(gè)新的集合，對(duì)于這一過(guò)程，我們定義為“自相加”，重新組成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次進(jìn)行n?1次“自相加”操作，組成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若A集合A的任意k次自相加集合都不相等，則稱(chēng)集合A為“完美自相加集合”，同理，我們可以定義出“A的1次自相減集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相減集合分別可表示為：A+={x|x=a+b,a、b∈A}，A?={x|x=|a?b|,a,b∈A}．

(1)已知有兩個(gè)集合，集合B={1,2,3,4}，集合C={k|k=2n+1,n∈Z}，判斷集合B和集合C是否是完美自相加集合并說(shuō)明理由；

(2)對(duì)(1)中的集合B進(jìn)行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素個(gè)數(shù)；

(3)若0≤n≤2024且n∈N，集合A={x|n≤x≤2024,x∈N}，A+參考答案1.B

2.B

3.B

4.C

5.D

6.C

7.D

8.B

9.AC

10.AC

11.BCD

12.(113.充分不必要

14.11015.解：(1)因?yàn)锳={x|2x2+5x?3<0}={x|?3<x<12}，

當(dāng)a=2時(shí)，集合B={x|?1<x<3}，?RB={x|x≥3或x≤?1}，

圖中陰影部分表示的集合A∩?RB={x|?3<x≤?1}；

(2)若A∩B=A，則A?B，

又A={x|?3<x<12}，B={x|3?2a<x<a+1}16.解：(1)x2?4x?4≤0，其中x2?4x?4=0的Δ=b2?4ac=32>0，

兩個(gè)根分別為2?22和2+22，

所以不等式的解集為{x|2?22≤x≤2+22}；

17.解：(1)由題x+4x?3=x?3+4x?3+3≥2(x?3)?4x?3+3=7．

當(dāng)且僅當(dāng)x?3=4x?3，即x=5時(shí)取等號(hào)；

(2)①由9x+y=xy結(jié)合基本不等式可得：

xy=9x+y≥29xy=6xy?xy(xy?6)≥0，又x，y為正數(shù)，

則xy≥6?xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)9x=y18.解：(1)若不等式的解集為{x|x<2或x>3}，

則x=2，x=3為x2?ax+b=0的解，

則4?2a+b=09?3a+b=0，

所以a=5，b=6，

所以不等式ax2?bx+1<0為5x2?6x+1<0，

解得，15<x<1，

所以解集為(15,1)；

(2)當(dāng)b=a?1時(shí)，不等式x2?ax+a?1>0可化為(x?1)[x?(a?1)]>0，

當(dāng)a=2時(shí)，不等式x2?ax+a?1>0的解集為(?∞,1)∪(1,+∞)；

當(dāng)a>2時(shí)，不等式x2?ax+a?1>0的解集為(?∞,1)∪(a?1,+∞)；

當(dāng)a<2時(shí)，不等式x2?ax+a?1>0的解集為(?∞,a?1)∪(1,+∞)；

(3)當(dāng)b=1時(shí)，不等式x2?ax+bx?1>0等價(jià)于x2?ax+1>0x>1，

令f(x)=x2?ax+1，

當(dāng)a2<1，即a<2時(shí)，f(x)=x2?ax+1在(1,+∞)上單調(diào)遞增，又f(1)=2?a>0，

所以x2?ax+1>0x>1的解集為(1,+∞)；

當(dāng)a2=1時(shí)，即a=2，f(x)=x2?ax+1在(1,+∞)19.解：(1)B是完美自相加集合，C不是完美自相加集合，理由如下：

集合B={1,2,3,4}?B+={3,4,5,6,7}，由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素為自相加之前的集合中的最小兩個(gè)元素之和，

所以顯然集合B={1,2,3,4}的最小兩個(gè)元素為1，2，所以B+的最小元素為1+2=3；

對(duì)集合B={1,2,3,4}進(jìn)行任意次自相加操作后，最小值在變大，

故不可能有相等集合，

所以B是完美自相加集合；

集合C={k|k=2n+1,n∈Z}表示所以奇數(shù)構(gòu)成的集合，任何兩個(gè)奇數(shù)相加都是偶數(shù)，

所以C+={k|k=2n,n∈Z}，為所有偶數(shù)構(gòu)成集合；

所以對(duì)C+={k|k=2n,n∈Z}再進(jìn)行一次自相加操作，所有偶數(shù)相加還是會(huì)是所有偶數(shù)，

故后面集合不管進(jìn)行多少次相加都是與C+={k|k=2n,n∈Z}相同；

故C不是完美自相加集合；

(2)由自相加性質(zhì)可知，對(duì)于集合B={1,2,3,4}，進(jìn)行一次自相加，

得到集合的最小值必然是原來(lái)集合的兩個(gè)最小元素值之和，

得到的最大值為原來(lái)集合的兩個(gè)最大元素值之和，且中間必然是連續(xù)的整數(shù)元素；

所以對(duì)集合B={1,2,3,4}進(jìn)行一次自相加之后，得到的集合最小兩個(gè)元素為3，4，最大的兩個(gè)元素為6，7；

進(jìn)行第二次自相加，得到的集合最小兩個(gè)元素為7，8，最大的兩個(gè)元素為12，13；

進(jìn)行第三次自相加，得到的集合最小兩個(gè)元素為15，16，最大的兩個(gè)元素為24，25；

進(jìn)行第四次自相加，得到的集合最小兩個(gè)元素為31，32，最大的兩個(gè)元素為18，49；

進(jìn)行第五次自相加，得到的集合最小兩個(gè)元素為63，64，最大的兩個(gè)元素為96，97；

進(jìn)行第六次自相加，得到的集合最小兩個(gè)元素為127，128，最大的兩個(gè)元素為192，193；

進(jìn)行第七次自相加，得到的集合最小兩個(gè)元素為255，256，最大的兩個(gè)元素為384，385；

進(jìn)行第八次自相加，得到的集合最小兩個(gè)元素為511，512，最大的兩個(gè)元素為768，769；

進(jìn)行第九次自相加，得到的集合最小兩個(gè)元素為1023，1024，最大的兩個(gè)元素為1536，1537；

進(jìn)行第十次自相加，得到的集合最小兩個(gè)元素為2047，2048，最大的兩個(gè)元素為3072，