2024-2025學(xué)年重慶市渝北區(qū)松樹橋中學(xué)高一（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年重慶市渝北區(qū)松樹橋中學(xué)高一（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列關(guān)系中，正確的是(

)A.?2∈N+ B.π?Q C.0?N 2.“a2=b2”是“aA.充分不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)A={x|1≤x≤3}，B={x|3a≤x≤a+1}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.a=12 B.a≥13 C.134.若a<b<0，則下列不等式一定成立的是(

)A.1a?b>1b B.a2<ab5.若1≤a≤2，?2<b≤1，則2a?b的取值范圍為(

)A.4≤2a?b≤7 B.4<2a?b≤7 C.1≤2a?b≤10 D.1≤2a?b<66.定義行列式abcd=ad?bc，若7x2A.{x|?1<x<52} B.{x|?12<x<5}7.若實數(shù)x+2y=4(x>1,y>12)，則1x?1A.12 B.1 C.43 8.定義集合運(yùn)算A?B={x|x∈A且x?B}；將AΔB=(A?B)∪(B?A)稱為集合A與集合B的對稱差，

命題甲：A∩(BΔC)=(A∩B)Δ(A∩C)；

命題乙：A∪(BΔC)=(A∪B)Δ(A∪C)．

則下列說法正確的是(

)A.甲乙都是真命題 B.只有甲是真命題 C.只有乙是真命題 D.甲乙都不是真命題二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添加m克糖(m>0)，則糖水變得更甜，對于b>a>0，m>0，下列不等式正確的是(

)A.ab<a+mb+m B.ab>10.下列命題的否定中，是全稱量詞命題且為真命題的有(

)A.?x∈R，x2?x+14<0 B.所有的正方形都是矩形

C.?x∈R，x211.已知有限集A={a1,a2,?,an}(n≥2，n∈N)，如果A中元素aiA.集合{?1,?3,?1+3}是“完美集”

B.若a1、a2是兩個不同的正數(shù)，且{a1,a2}是“完美集”，則a1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若不等式ax2?2x+3>0在R上恒成立，則a13.“a=14”是“對任意的正數(shù)x，均有x+a14.定義集合P={p|a≤p≤b)的“長度”是b?a，其中a，b∈R.已如集合M={x|m≤x≤m+12}，N={x|n?35≤x≤n}，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“長度”的最小值是

；若m=65，集合M∪N的“長度”大于四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)全集U=R，集合A={x|2x2+5x?3<0}，集合B={x|3?2a<x<a+1}，a∈R．

(1)當(dāng)a=2時，求圖中陰影部分表示的集合；

(2)若A∩B=A，求實數(shù)16.(本小題15分)

求下列不等式的解集．

(1)x2?4x?4≤0

(2)?2x17.(本小題15分)

解答下列各題．

(1)若x>3，求x+4x?3的最小值．

(2)若正數(shù)x，y滿足9x+y=xy，

①求xy的最小值．

②求2x+3y18.(本小題17分)

已知一元二次不等式x2?ax+b>0．

(1)若不等式的解集為{x|x<2或x>3}，求不等式ax2?bx+1<0的解集；

(2)當(dāng)b=a?1時，求不等式x2?ax+b>0的解集；

(3)19.(本小題17分)

已知集合A為非空數(shù)集，對于集合A，定義對A中任意兩個不同元素相加得到一個絕對值，將這些絕對值重新組成一個新的集合，對于這一過程，我們定義為“自相加”，重新組成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次進(jìn)行n?1次“自相加”操作，組成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若A集合A的任意k次自相加集合都不相等，則稱集合A為“完美自相加集合”，同理，我們可以定義出“A的1次自相減集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相減集合分別可表示為：A+={x|x=a+b,a、b∈A}，A?={x|x=|a?b|,a,b∈A}．

(1)已知有兩個集合，集合B={1,2,3,4}，集合C={k|k=2n+1,n∈Z}，判斷集合B和集合C是否是完美自相加集合并說明理由；

(2)對(1)中的集合B進(jìn)行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素個數(shù)；

(3)若0≤n≤2024且n∈N，集合A={x|n≤x≤2024,x∈N}，A+參考答案1.B

2.B

3.B

4.C

5.D

6.C

7.D

8.B

9.AC

10.AC

11.BCD

12.(113.充分不必要

14.11015.解：(1)因為A={x|2x2+5x?3<0}={x|?3<x<12}，

當(dāng)a=2時，集合B={x|?1<x<3}，?RB={x|x≥3或x≤?1}，

圖中陰影部分表示的集合A∩?RB={x|?3<x≤?1}；

(2)若A∩B=A，則A?B，

又A={x|?3<x<12}，B={x|3?2a<x<a+1}16.解：(1)x2?4x?4≤0，其中x2?4x?4=0的Δ=b2?4ac=32>0，

兩個根分別為2?22和2+22，

所以不等式的解集為{x|2?22≤x≤2+22}；

17.解：(1)由題x+4x?3=x?3+4x?3+3≥2(x?3)?4x?3+3=7．

當(dāng)且僅當(dāng)x?3=4x?3，即x=5時取等號；

(2)①由9x+y=xy結(jié)合基本不等式可得：

xy=9x+y≥29xy=6xy?xy(xy?6)≥0，又x，y為正數(shù)，

則xy≥6?xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)9x=y18.解：(1)若不等式的解集為{x|x<2或x>3}，

則x=2，x=3為x2?ax+b=0的解，

則4?2a+b=09?3a+b=0，

所以a=5，b=6，

所以不等式ax2?bx+1<0為5x2?6x+1<0，

解得，15<x<1，

所以解集為(15,1)；

(2)當(dāng)b=a?1時，不等式x2?ax+a?1>0可化為(x?1)[x?(a?1)]>0，

當(dāng)a=2時，不等式x2?ax+a?1>0的解集為(?∞,1)∪(1,+∞)；

當(dāng)a>2時，不等式x2?ax+a?1>0的解集為(?∞,1)∪(a?1,+∞)；

當(dāng)a<2時，不等式x2?ax+a?1>0的解集為(?∞,a?1)∪(1,+∞)；

(3)當(dāng)b=1時，不等式x2?ax+bx?1>0等價于x2?ax+1>0x>1，

令f(x)=x2?ax+1，

當(dāng)a2<1，即a<2時，f(x)=x2?ax+1在(1,+∞)上單調(diào)遞增，又f(1)=2?a>0，

所以x2?ax+1>0x>1的解集為(1,+∞)；

當(dāng)a2=1時，即a=2，f(x)=x2?ax+1在(1,+∞)19.解：(1)B是完美自相加集合，C不是完美自相加集合，理由如下：

集合B={1,2,3,4}?B+={3,4,5,6,7}，由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素為自相加之前的集合中的最小兩個元素之和，

所以顯然集合B={1,2,3,4}的最小兩個元素為1，2，所以B+的最小元素為1+2=3；

對集合B={1,2,3,4}進(jìn)行任意次自相加操作后，最小值在變大，

故不可能有相等集合，

所以B是完美自相加集合；

集合C={k|k=2n+1,n∈Z}表示所以奇數(shù)構(gòu)成的集合，任何兩個奇數(shù)相加都是偶數(shù)，

所以C+={k|k=2n,n∈Z}，為所有偶數(shù)構(gòu)成集合；

所以對C+={k|k=2n,n∈Z}再進(jìn)行一次自相加操作，所有偶數(shù)相加還是會是所有偶數(shù)，

故后面集合不管進(jìn)行多少次相加都是與C+={k|k=2n,n∈Z}相同；

故C不是完美自相加集合；

(2)由自相加性質(zhì)可知，對于集合B={1,2,3,4}，進(jìn)行一次自相加，

得到集合的最小值必然是原來集合的兩個最小元素值之和，

得到的最大值為原來集合的兩個最大元素值之和，且中間必然是連續(xù)的整數(shù)元素；

所以對集合B={1,2,3,4}進(jìn)行一次自相加之后，得到的集合最小兩個元素為3，4，最大的兩個元素為6，7；

進(jìn)行第二次自相加，得到的集合最小兩個元素為7，8，最大的兩個元素為12，13；

進(jìn)行第三次自相加，得到的集合最小兩個元素為15，16，最大的兩個元素為24，25；

進(jìn)行第四次自相加，得到的集合最小兩個元素為31，32，最大的兩個元素為18，49；

進(jìn)行第五次自相加，得到的集合最小兩個元素為63，64，最大的兩個元素為96，97；

進(jìn)行第六次自相加，得到的集合最小兩個元素為127，128，最大的兩個元素為192，193；

進(jìn)行第七次自相加，得到的集合最小兩個元素為255，256，最大的兩個元素為384，385；

進(jìn)行第八次自相加，得到的集合最小兩個元素為511，512，最大的兩個元素為768，769；

進(jìn)行第九次自相加，得到的集合最小兩個元素為1023，1024，最大的兩個元素為1536，1537；

進(jìn)行第十次自相加，得到的集合最小兩個元素為2047，2048，最大的兩個元素為3072，