2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題03圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題（含定值、最值、范圍問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：三角形面積（定值問題） 3題型二：四邊形面積（定值問題） 6題型三：三角形面積（最值，范圍問題） 8題型四：四邊形面積（最值，范圍問題） 11三、專項訓(xùn)練 13一、必備秘籍1、弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）2、三角形面積問題直線方程：3、焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)4、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).5、范圍問題首選均值不等式，其實用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式變式：作用：當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時求出這兩個正數(shù)的和的最小值；當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時求出這兩個正數(shù)的積的最大值注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立（3）當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.（4）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立(5)當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.二、典型題型題型一：三角形面積（定值問題）1．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，上頂點為A，，長軸的長為4．過右焦點的直線l與橢圓交于M、N兩點（非長軸端點）．

(1)求橢圓的方程；(2)若直線l過橢圓的上頂點A，求的面積．2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點，為的中點，為坐標原點，．求的面積.3．（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點，為的中點，為坐標原點，．(1)求的值；(2)求的面積．4．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知雙曲線C：的上、下焦點分別為、，P為雙曲線C上一點，且滿足，求的面積．5．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實軸比虛軸長2，且焦點到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.6．（23-24高二下·安徽六安·期末）過拋物線焦點的直線交于兩點，特別地，當(dāng)直線的傾斜角為時，.(1)求拋物線的方程；(2)已知點，若，求的面積（為坐標原點）.題型二：四邊形面積（定值問題）1．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）已知為坐標原點，雙曲線的右焦點為，以為直徑的圓與的兩條漸近線分別交于與原點不重合的兩點，，若，則四邊形的面積為（

）A．6 B． C． D．42．（23-24高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）、是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，、是左、右焦點．若，則四邊形的面積是（

）A． B．3 C．4 D．63．（2024·湖北武漢·二模）已知拋物線的焦點為，過作直線交拋物線于兩點，過分別作準線的垂線，垂足分別為，若和的面積分別為8和4，則的面積為（

）A．32 B．16 C． D．84．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）已知拋物線：，：的焦點分別為，，一條平行于x軸的直線與，分別交于點A，B，若，則四邊形的面積為.5．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知，平面內(nèi)動點滿足直線的斜率之積為.(1)求動點的軌跡方程；(2)過點的直線交的軌跡于兩點，以為鄰邊作平行四邊形（為坐標原點），若恰為軌跡上一點，求四邊形的面積.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)已知為橢圓上三個點，為坐標原點，若四邊形為矩形，求四邊形的面積.7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知離心率為的雙曲線經(jīng)過點.(1)求的方程；(2)如圖，點為雙曲線上的任意一點，為原點，過點作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于、兩點，求證：平行四邊形的面積為定值.題型三：三角形面積（最值，范圍問題）1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知A，B是橢圓C：的左、右頂點，直線l交橢圓C于M，N兩點，記AM的斜率為，BN的斜率為，且．(1)求證：直線l過定點；(2)記的面積為，的面積為，求的最大值．2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知橢圓的左?右焦點分別為，短軸長為，點在上.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知點，點為橢圓上一點，求周長的最大值；(3)過的左焦點，且斜率不為零的直線交于兩點，求面積的最大值.3．（23-24高二上·遼寧沈陽·期末）雙曲線：，已知為坐標原點，為雙曲線上一動點，過作、分別垂直于兩條漸近線，垂足為、，設(shè)，，(1)求證：(2)若雙曲線實軸長為4，虛軸長為2，過分別作、平行于漸近線且與漸近線交于、兩點，設(shè)的面積為，的面積為，求的范圍．4．（23-24高二下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為e，點A的坐標是，O為坐標原點.(1)若雙曲線E的離心率，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時，設(shè)過點A的直線與雙曲線的左支交于P，Q兩個不同的點，線段的中點為M點，求的面積的取值范圍.5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線經(jīng)過點，直線與的交點為，且直線與傾斜角互補．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．6．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點為F，過F的直線交C于A，B兩點，過F與垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點.(1)若，求點M的橫坐標；(2)證明：直線過定點；(3)設(shè)G為直線與直線的交點，求面積的最小值.題型四：四邊形面積（最值，范圍問題）1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）已知雙曲線，過該曲線上的點作不平行于坐標軸的直線交雙曲線的右支于另一點，作直線交雙曲線的漸近線于兩點A，B（A在第一象限）,其漸近線方程為，且，(1)求雙曲線方程．(2)證明：直線過定點.(3)當(dāng)?shù)男甭蕿樨摂?shù)時，求四邊形的面積的取值范圍．2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點在直線上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過原點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓相交于，兩點和，兩點．求四邊形的面積的最小值．3．（2024·山東濟南·二模）已知點是雙曲線上一點，在點處的切線與軸交于點.(1)求雙曲線的方程及點的坐標；(2)過且斜率非負的直線與的左?右支分別交于.過做垂直于軸交于（當(dāng)位于左頂點時認為與重合）.為圓上任意一點，求四邊形的面積的最小值.4．（23-24高二上·湖南長沙·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上．(1)求的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與的右支分別交，兩點和，兩點，求四邊形面積的最小值．5．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知A，B是拋物線E：上不同的兩點，點P在x軸下方，PA，PB與拋物線E分別交于C，D兩點，C，D恰好為PA，PB的中點．設(shè)AB，CD的中點分別為點M，N．(1)證明：軸；(2)若點P為半橢圓上的動點，求四邊形ABDC面積的最大值．三、專項訓(xùn)練1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知O為坐標原點，直線與雙曲線相交且只有一個交點，與橢圓交于M，N兩點，則面積的最大值為（

）A．10 B．12 C．14 D．162．（23-24高三下·河北保定·開學(xué)考試）已知是左、右焦點分別為的橢圓上異于左、右頂點的一點，是線段的中點，是坐標原點，過作的平行線交直線于點，則四邊形的面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．3．（23-24高二下·安徽滁州·期末）雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為，右支上一點滿足，直線平分，過點作直線的垂線，垂足分別為.設(shè)為坐標原點，則的面積為（

）A． B． C．10 D．4．（2024·江西宜春·一模）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過右焦點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若的內(nèi)心分別為，則與面積之和的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，過點作C的兩條切線，切點為A，B，且Q為C上一動點，若的最小值為5，則△PAB的面積為（

）A．75 B． C． D．6．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知拋物線，過動點作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點，則面積的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．187．（23-24高三下·山西大同·階段練習(xí)）過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，以為直徑的圓分別與軸相切于點，則的面積為（

）A． B． C． D．8．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知橢圓，經(jīng)過坐標原點的兩條直線分別與橢圓相交于、、、四個點，若該兩條直線的斜率分別為、，且，則的面積為．9．（2024·湖南·模擬預(yù)測）過橢圓C：（）上的動點P向圓O：引兩條切線．設(shè)切點分別是A，B，若直線與x軸、y軸分別交于M，N兩點，則面積的最小值是.10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0，若，則的面積為．14．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實軸比虛軸長2，且焦點到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.15．（2024·陜西西安·二模）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且虛軸長為2．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值．16．（23-24高二下·甘肅天水·開學(xué)考試）已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若過點的直線交雙曲線同一支于兩點，設(shè)中點為，求面積的取值范圍．17．（23-24高二下·廣東·期末）已知拋物線的焦點到點的距離為，，為拋物線上兩個動點，且線段的中點在直線上．(1)求拋物線的方程；(2)求面積的取值范圍．18．（23-24高二下·安徽蕪湖·期末）拋物線的準線方程為，拋物線上的三個點構(gòu)成一個以為直角頂點的直角三角形．(1)求拋物線的標準方程；(2)若點坐標為，證明：直線過定點；(3)若，求面積的最小值．專題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題（含定值、最值、范圍問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：三角形面積（定值問題） 3題型二：四邊形面積（定值問題） 11題型三：三角形面積（最值，范圍問題） 19題型四：四邊形面積（最值，范圍問題） 29三、專項訓(xùn)練 37一、必備秘籍1、弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）2、三角形面積問題直線方程：3、焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)4、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).5、范圍問題首選均值不等式，其實用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式變式：作用：當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時求出這兩個正數(shù)的和的最小值；當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時求出這兩個正數(shù)的積的最大值注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立（3）當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.（4）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立(5)當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.二、典型題型題型一：三角形面積（定值問題）1．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，上頂點為A，，長軸的長為4．過右焦點的直線l與橢圓交于M、N兩點（非長軸端點）．

(1)求橢圓的方程；(2)若直線l過橢圓的上頂點A，求的面積．【答案】(1)(2)．【分析】（1）運用待定系數(shù)法求出，，，即可得出方程.（2）將直線方程求出來，直線曲線聯(lián)立求出，運用點到直線距離公式求出到直線l的距離，即可求出面積【詳解】（1）因為，長軸的長為4，所以，，，所以橢圓的方程為．（2）因為，，若直線l過橢圓的上頂點A和右焦點.所以l：，則點到直線l的距離為，由得，所以，，則，所以．2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點，為的中點，為坐標原點，．求的面積.【答案】【分析】聯(lián)立橢圓與直線方程，利用韋達定理得，，由即可求出面積.【詳解】設(shè)兩點的坐標分別為，聯(lián)立方程，消去得．由，且，可得，則，可得點的坐標為，又因為，解得或（舍去），則，可得，由橢圓方程可知：，由直線與軸的交點為橢圓的右焦點，則，即，所以的面積為.3．（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點，為的中點，為坐標原點，．(1)求的值；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立方程，利用韋達定理求點的坐標，結(jié)合兩點間距離公式運算求解；（2）根據(jù)（1）中韋達定理可得，且直線與軸的交點為橢圓的右焦點，進而可求面積.【詳解】（1）設(shè)兩點的坐標分別為，聯(lián)立方程，消去得．由，且，可得，則，可得點的坐標為，又因為，解得或（舍去），所以的值為.（2）由（1）可知：，則，可得，由橢圓方程可知：，由直線與軸的交點為橢圓的右焦點，則，所以的面積為．【點睛】方法點睛：有關(guān)圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法（1）涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．（2）面積問題常采用底高，其中底往往是弦長，而高用點到直線距離求解即可，選擇底很重要，選擇容易坐標化的弦長為底．有時根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面積表達形式，若求多邊形的面積問題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進行求解．（3）在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題時，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．4．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知雙曲線C：的上、下焦點分別為、，P為雙曲線C上一點，且滿足，求的面積．【答案】【分析】記，，，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理可得，再利用三角形面積公式可推得，即可求得結(jié)論．【詳解】解：記，，，．∵，∴．在中，由余弦定理得，配方得：，即，∴，由三角形的面積公式得，∴，而，，∴，故答案為：．5．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實軸比虛軸長2，且焦點到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由點到直線的距離公式及實軸與虛軸定義計算即可得；（2）討論直線的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長公式求得，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.【詳解】（1）設(shè)雙曲線焦點為，一條漸近線方程為，所以該焦點到漸近線的距離為，又雙曲線實軸比虛軸長2，故，即，故雙曲線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，若動直線與雙曲線恰有1個公共點，則直線經(jīng)過雙曲線的頂點，不妨設(shè)，又漸近線方程為，將代入，得，將代入，得，則，；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線，且，聯(lián)立，消去并整理得，因為動直線與雙曲線恰有1個公共點，所以，得，設(shè)動直線與的交點為，與的交點為，聯(lián)立，得，同理得，則，因為原點到直線的距離，所以，又因為，所以，即，故的面積為定值，且定值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長公式求得，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，進而求出面積是解題關(guān)鍵.6．（23-24高二下·安徽六安·期末）過拋物線焦點的直線交于兩點，特別地，當(dāng)直線的傾斜角為時，.(1)求拋物線的方程；(2)已知點，若，求的面積（為坐標原點）.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合弦長公式即可列方程求得參數(shù)，進而得解；（2）由題意設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達定理、數(shù)量積的坐標公式列方程即可求得參數(shù)，進一步即可求解的面積.【詳解】（1）拋物線焦點的坐標為，當(dāng)直線的傾斜角為時，直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡并整理得，，顯然，設(shè)，則，則，解得，所以拋物線的方程為；（2）設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡并整理得，顯然，所以，又，所以，因為，所以，所以，則，設(shè)的面積為，則，所以的面積為.題型二：四邊形面積（定值問題）1．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）已知為坐標原點，雙曲線的右焦點為，以為直徑的圓與的兩條漸近線分別交于與原點不重合的兩點，，若，則四邊形的面積為（

）A．6 B． C． D．4【答案】B【分析】結(jié)合雙曲線圖像對稱性，可得軸，根據(jù)圓的性質(zhì)和雙曲線，，的關(guān)系可計算出，，，的長度，進而求出四邊形的面積.【詳解】設(shè)與軸交于點，由雙曲線的對稱性可知軸，，，又因為，所以，即，所以，因為點在以為直徑的圓上，所以，所在的漸近線方程為，點到漸近線距離為，所以，所以，，則，所以，故選：B2．（23-24高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）、是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，、是左、右焦點．若，則四邊形的面積是（

）A． B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】判斷四邊形為矩形，設(shè)，，可得，結(jié)合雙曲線定義可得，化簡得，即可求得四邊形的面積．【詳解】解：由可知，，所以，因為，是上關(guān)于原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，又因為，所以，所以，所以四邊形的面積．故選：D．3．（2024·湖北武漢·二模）已知拋物線的焦點為，過作直線交拋物線于兩點，過分別作準線的垂線，垂足分別為，若和的面積分別為8和4，則的面積為（

）A．32 B．16 C． D．8【答案】C【分析】設(shè)直線代入拋物線方程，利用韋達定理，計算，相乘化簡可得，由三角形面積公式可得.【詳解】設(shè)直線，

代入拋物線方程，消元可得，設(shè)，則，，，，于是，即，.故選：C.4．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）已知拋物線：，：的焦點分別為，，一條平行于x軸的直線與，分別交于點A，B，若，則四邊形的面積為.【答案】【分析】根據(jù)，結(jié)合焦半徑公式，求得，進而求得，再結(jié)合平行四邊形面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，根據(jù)題意可知，故，即，

又由拋物線的定義可知，，當(dāng)時，，故，，，所以，四邊形是平行四邊形，故四邊形的面積為.故答案為：.5．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知，平面內(nèi)動點滿足直線的斜率之積為.(1)求動點的軌跡方程；(2)過點的直線交的軌跡于兩點，以為鄰邊作平行四邊形（為坐標原點），若恰為軌跡上一點，求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得，化簡可得軌跡方程．（2）先設(shè)直線再聯(lián)立直線與軌跡方程，得關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達定理及點到直線距離公式計算面積即可.【詳解】（1）設(shè),則,化簡可得（2）以為鄰邊作平行四邊形,則直線與x軸不重合,設(shè)直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，聯(lián)立，消去x得，所以，則.求得O到直線的距離，因為平行四邊形的對角線互相平分所以所以在橢圓上，可得所以平行四邊形面積所以四邊形面積是.【點睛】方法點睛：利用平行四邊形對角線互相平分，對角線共中點求參進而求出面積.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)已知為橢圓上三個點，為坐標原點，若四邊形為矩形，求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓離心率和橢圓上的點，列方程組求出，可得橢圓的方程；（2）由四邊形為矩形，設(shè)出直線方程為，直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立解得兩點坐標，表示出點坐標，代入橢圓方程求出，得兩點坐標的數(shù)據(jù)，可求四邊形的面積.【詳解】（1）由題知解得所以橢圓的方程為.（2）由橢圓的圖形可知，當(dāng)直線的斜率為0或不存在時，矩形不存在，不符合題意.設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為.由橢圓的對稱性，只需考慮的情況.不妨設(shè)點在第一象限，則點在第四象限.由消去整理得，解得，所以.由消去整理得，解得，所以.因為四邊形是矩形，線段的中點坐標為，所以線段的中點坐標為，所以.又因為點在橢圓上，所以，即.又，所以.將的值代入，得，即，整理得，解得，又，所以，此時，，，，，所以四邊形的面積.【點睛】方法點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，解出方程或借助根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．要強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知離心率為的雙曲線經(jīng)過點.(1)求的方程；(2)如圖，點為雙曲線上的任意一點，為原點，過點作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于、兩點，求證：平行四邊形的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出的值，結(jié)合雙曲線的離心率可求得的值，進而可求得的值，由此可得出雙曲線的方程；（2）設(shè)點，則，求出以及點到直線的距離，利用平行四邊形的面積公式可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因為，則，因為雙曲線經(jīng)過點，則，則，所以，，故雙曲線的方程為.（2）證明：設(shè)點，則，由圖可知，直線的方程為，直線的方程為，因為，則直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，點到直線的距離為，所以，平行四邊形的面積為為定值.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．題型三：三角形面積（最值，范圍問題）1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知A，B是橢圓C：的左、右頂點，直線l交橢圓C于M，N兩點，記AM的斜率為，BN的斜率為，且．(1)求證：直線l過定點；(2)記的面積為，的面積為，求的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）求出直線交點的橫坐標，進而求出交點的極線，求出點坐標即可得證.（2）設(shè)出直線的方程，現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立，求出的函數(shù)關(guān)系，進而求出最大值.【詳解】（1）設(shè)AM與BN交于點P，AB與MN交于點G，則點G對應(yīng)的極線過點P，由題意知直線AM的方程為，直線BN的方程為．由，解得，點G對應(yīng)的極線為．設(shè)，則對應(yīng)的極線方程為，即，所以，直線l過定點．（2）設(shè)直線l：，代入橢圓C：，得，即，設(shè)，則．令，則，故時，取得最大值為．2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知橢圓的左?右焦點分別為，短軸長為，點在上.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知點，點為橢圓上一點，求周長的最大值；(3)過的左焦點，且斜率不為零的直線交于兩點，求面積的最大值.【答案】(1)；(2)；(3)3.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即得橢圓的標準方程.（2）由橢圓的定義可求出的最大值，從而可得周長最大值.（3）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，借助根與系數(shù)的關(guān)系列出三角形面積的關(guān)系式，利用對勾函數(shù)性質(zhì)求出最大值．【詳解】（1）依題意，，且，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，，而，則，周長，當(dāng)且僅當(dāng)點是線段的延長線與橢圓的交點時取等號，所以周長的最大值為.（3）設(shè)直線的方程為，，由消去得：，顯然，，，因此面積，令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，即時，取得最小值，所以當(dāng)時，面積取得最大值3.【點睛】結(jié)論點睛：過定點的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點，，則面積；過定點直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點，，則面積.3．（23-24高二上·遼寧沈陽·期末）雙曲線：，已知為坐標原點，為雙曲線上一動點，過作、分別垂直于兩條漸近線，垂足為、，設(shè)，，(1)求證：(2)若雙曲線實軸長為4，虛軸長為2，過分別作、平行于漸近線且與漸近線交于、兩點，設(shè)的面積為，的面積為，求的范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)出點坐標，根據(jù)點到直線的距離公式表示出，由此可求并完成證明；（2）設(shè)，在直角三角形中利用角度關(guān)系表示出，然后根據(jù)表示出，結(jié)合（1）的結(jié)論和基本不等式求解出取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，漸近線方程為，且，則，∴．（2）由題意可知，雙曲線方程為，設(shè)，則，∴，由題可知：，，∴，，∴，由（1）知，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，綜上所述，．4．（23-24高二下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為e，點A的坐標是，O為坐標原點.(1)若雙曲線E的離心率，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時，設(shè)過點A的直線與雙曲線的左支交于P，Q兩個不同的點，線段的中點為M點，求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由離心率公式得出，進而解得實數(shù)m的取值范圍；（2）先得出雙曲線E的方程，再聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達定理得出，再由的范圍得出的取值范圍.【詳解】（1），，，解得（2）由（1）可知，，雙曲線E的方程為設(shè)，過點A的直線方程為由可得，由，解得故5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線經(jīng)過點，直線與的交點為，且直線與傾斜角互補．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由點在拋物線上，得，聯(lián)立直線與拋物線方程得，再通過計算即可；（2）先求弦長，再求到直線的距離，可表示出，再結(jié)合基本不等式可求面積的最大值.【詳解】（1）由題意可知，，所以，所以拋物線的方程為；

如圖：設(shè)，將直線的方程代入，得，

所以，

因為直線與傾斜角互補，所以，

即，所以，即，所以.（2）由（1）可知，所以，則，

因為，所以，即，

又點到直線的距離為，

所以，

因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以面積最大值為．6．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點為F，過F的直線交C于A，B兩點，過F與垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點.(1)若，求點M的橫坐標；(2)證明：直線過定點；(3)設(shè)G為直線與直線的交點，求面積的最小值.【答案】(1)2(2)證明見解析(3)8【分析】（1）由拋物線焦半徑公式可得；（2）思路一設(shè)出兩直線、方程，直曲聯(lián)立，用韋達定理表示坐標，點斜式寫出直線方程，再由兩直線垂直得到，找到定點；思路二設(shè)出兩點坐標，直曲聯(lián)立，用韋達定理得到坐標，再得到直線方程，找到定點；（3）法一表示出，用基本不等式得到，用直線過定點得到，最后得到面積的最小值；法二由圖形的幾何關(guān)系得到，再由（2）中的法2可得，最后由基本不等式得到面積的最小值.【詳解】（1）由題意知（2）思路一：由：，故，由直線與直線垂直，故兩只直線斜率都存在且不為0，設(shè)直線、分別為，，有，、、、，聯(lián)立：與直線，即有，消去x可得，，故、，則，故，，即，同理可得，當(dāng)時，則：，即，由，即，故時，有，此時過定點，且該定點為，當(dāng)時，即時，由，即時，有：，亦過定點，故直線過定點，且該定點為；思路二：設(shè)，，不妨設(shè).設(shè)：，則.由，得，故，，，.所以.同理可得.若，則直線：，過點.若，則直線：，過點.綜上，直線過定點.（3）思路一：由、、、，則：，由、，故，同理可得：，聯(lián)立兩直線，即，有，即，有，由，同理，故，故，過點作軸，交直線于點，則，由、，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，下證；由拋物線的對稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)時，有，則點G在x軸上方，點Q亦在x軸上方，有，由直線過定點，此時，同理，當(dāng)時，有點G在x軸下方，點Q亦在x軸下方，有，故此時，當(dāng)且僅當(dāng)時，，故恒成立，且時，等號成立，故.思路二：設(shè)為的中點，為直線與的交點.由，分別為，的中點知，所以，故.設(shè)為直線與的交點，同理可得.所以.由（2）中的法2可得，同理可得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.因此的面積的最小值為8.題型四：四邊形面積（最值，范圍問題）1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）已知雙曲線，過該曲線上的點作不平行于坐標軸的直線交雙曲線的右支于另一點，作直線交雙曲線的漸近線于兩點A，B（A在第一象限）,其漸近線方程為，且，(1)求雙曲線方程．(2)證明：直線過定點.(3)當(dāng)?shù)男甭蕿樨摂?shù)時，求四邊形的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可得，結(jié)合雙曲線所過的點可求，故可得雙曲線方程.（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，結(jié)合判別式可得的斜率的范圍，再由漸近線方程可得的坐標，由平行四邊形可求出的方程，故可得定點.（3）利用（2）的結(jié)果結(jié)合弦長公式可用的斜率表示面積，結(jié)合斜率的范圍可求面積的范圍.【詳解】（1）因為漸近線，則，代入點可得，故，即雙曲線方程為：．（2）設(shè)，由可得，故且，故或且，又，故，由解得，則，同理可得，故，而，可得，故，故，故，，設(shè)直線的斜率為，則，直線的方程為，即，所以過定點．（3）由（2）可得直線與的距離為，故，由題意可得四邊形是平行四邊形，而，故四邊形的面積為，，結(jié)合（2）中的取值范圍可得．故，故.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要聯(lián)立不同類型的方程，用合適的變量變式目標函數(shù)，而后者的最值往往可以通過函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式來處理.2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點在直線上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過原點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓相交于，兩點和，兩點．求四邊形的面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)易得，結(jié)合橢圓定義及兩點距離公式求得，進而可得橢圓方程；（2）討論直線斜率，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓求相交弦長，進而得到四邊形的面積關(guān)于直線斜率的表達式，即可得求最小值.【詳解】（1）由題意，橢圓的左、右焦點分別為，，即，所以，即，，所以橢圓的方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率不存在或為0時，，，，分別為橢圓的四個頂點，所以．②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)，則，設(shè)，，，，聯(lián)立，解得，即，所以，同理，所以．令，則，，所以，，當(dāng)時，又，所以四邊形的面積的最小值為．3．（2024·山東濟南·二模）已知點是雙曲線上一點，在點處的切線與軸交于點.(1)求雙曲線的方程及點的坐標；(2)過且斜率非負的直線與的左?右支分別交于.過做垂直于軸交于（當(dāng)位于左頂點時認為與重合）.為圓上任意一點，求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求雙曲線方程，利用導(dǎo)數(shù)法來求切線方程即可得A點坐標；（2）先設(shè)直線的方程，再利用三點共線，可求出直線過定點，從而把面積問題轉(zhuǎn)化到兩定點上去研究，最后發(fā)現(xiàn)為實軸兩頂點時取到最小值，再去研究另一個圓上動點的最小值.【詳解】（1）由題意可知，，即，故的方程為：.因為在第一象限，不妨設(shè)，則可變形為，則，代入得：，所以切線方程為，令得,所以點坐標為.（2）

顯然直線的斜率存在且不為，設(shè)，則，聯(lián)立方程，整理得：，，由三點共線得：，即，整理得：，所以，整理得，滿足，所以直線過定點，則且線段垂直于x軸，令分別表示到的距離，結(jié)合圖，顯然，僅當(dāng)為右頂點時兩式中等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)思想來研究某點處的切線方程；對于面積問題，本題是要轉(zhuǎn)移到一邊已知，從而把面積問題轉(zhuǎn)化為點到這邊距離的最小值問題.4．（23-24高二上·湖南長沙·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上．(1)求的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與的右支分別交，兩點和，兩點，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)雙曲線，依題意可得，解得即可；（2）設(shè)直線，，求得，聯(lián)立方程組，利用弦長公式，求得，，得到，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線，，其中，雙曲線的漸近線為，因為，均與的右支有兩個交點，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當(dāng)，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為．【點睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.5．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知A，B是拋物線E：上不同的兩點，點P在x軸下方，PA，PB與拋物線E分別交于C，D兩點，C，D恰好為PA，PB的中點．設(shè)AB，CD的中點分別為點M，N．(1)證明：軸；(2)若點P為半橢圓上的動點，求四邊形ABDC面積的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合斜率分析可得，即可得軸；（2）根據(jù)題意利用韋達定理求長度，可得面積，結(jié)合二次函數(shù)分析運算即可.【詳解】（1）由C，D分別為PA，PB的中點，則，所以直線AB和直線CD的斜率相等，即，設(shè)，，，，則點M的橫坐標，點N的橫坐標，由，得，因式分解得，約分得，所以，即，所以軸．（2）設(shè)，則，且，由，，所以，整理得，同理得，所以，是方程的兩個根，，得，，有，得軸，又，所以，因為，所以，，，當(dāng)時，取得最大值，所以四邊形ABDC面積的最大值為．【點睛】方法點睛：解決圓錐曲線中范圍最值問題的方法：一般題目中沒有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點的坐標確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標函數(shù)，把原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉(zhuǎn)化．三、專項訓(xùn)練1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知O為坐標原點，直線與雙曲線相交且只有一個交點，與橢圓交于M，N兩點，則面積的最大值為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】A【分析】根據(jù)題意確定，聯(lián)立方程組，利用弦長公式和面積公式，最后求最值.【詳解】由題意知與雙曲線的漸近線平行，故，設(shè)，，將代入，得，故，，，所以，點O到l的距離,所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)（滿足）時等號成立．故選：A．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；（5）代入韋達定理求解.2．（23-24高三下·河北保定·開學(xué)考試）已知是左、右焦點分別為的橢圓上異于左、右頂點的一點，是線段的中點，是坐標原點，過作的平行線交直線于點，則四邊形的面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形，由幾何關(guān)系易判斷，求出，進而得解.【詳解】如圖，因為為線段的中點，為中點，所以為中位線，，又因為，所以四邊形為平行四邊形，，由幾何關(guān)系易得，設(shè)，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以.故選：D3．（23-24高二下·安徽滁州·期末）雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為，右支上一點滿足，直線平分，過點作直線的垂線，垂足分別為.設(shè)為坐標原點，則的面積為（

）A． B． C．10 D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出，結(jié)合幾何圖形及雙曲線定義可得的面積得解.，【詳解】由雙曲線的離心率為，得，解得，令直線交的延長線交于，直線交于，則，由平分，且，得，則，，顯然分別為線段的中點，而是的中點，于是，，即，，所以的面積.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求出面積的關(guān)鍵是作出點，借助幾何圖形的特征，結(jié)合雙曲線定義求得.4．（2024·江西宜春·一模）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過右焦點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若的內(nèi)心分別為，則與面積之和的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的切線長相等的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線定義可求得兩內(nèi)切圓與軸均相切于點，由∽可求得，結(jié)合雙曲線漸近線斜率可確定直線傾斜角的范圍，結(jié)合可求得的范圍；由對勾函數(shù)單調(diào)性可確定所求面積之和的取值范圍.【詳解】由雙曲線方程得：，，則，設(shè)內(nèi)切圓與三邊相切于點，，，，，又，，，設(shè)，則，解得：，即；同理可知：內(nèi)切圓與軸相切于點；分別為的角平分線，，又，∽，則，設(shè)內(nèi)切圓半徑分別為，，，即，，雙曲線的漸近線斜率，直線的傾斜角，，則，，解得：，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與雙曲線中三角形面積相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用相似三角形的知識求得兩內(nèi)切圓半徑之間滿足的等量關(guān)系，從而將所求面積之和轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)單調(diào)性求得結(jié)果.5．（23-24高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，過點作C的兩條切線，切點為A，B，且Q為C上一動點，若的最小值為5，則△PAB的面積為（

）A．75 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線定義得到，再利用導(dǎo)數(shù)得到切點弦所在直線方程，再求出直線的長和點到直線的距離，最后利用三角形面積公式即可.【詳解】當(dāng)F，Q，P三點共線時，取得最小值，且，所以，解得，所以．由，得．設(shè)，，則曲線在處的切線方程為，即．因為切線過點，所以．同理可得，所以直線AB的方程為，即．聯(lián)立方程組得，，則．因為直線AB過焦點F，所以，點P到直線的距離，所以．故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵之一是利用拋物線定義和三點共線得到，再然后是利用導(dǎo)數(shù)得到切點弦所在直線方程，最后再求出和點到直線的距離.6．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知拋物線，過動點作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點，則面積的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】設(shè)直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式化簡計算可得，，同理可得，，有，設(shè)直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式計算可得，而在直線,上，建立等式計算可得，根據(jù)三角形面積公式計算即可.【詳解】設(shè)，因為點作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點，所以直線,斜率均存在，故設(shè)直線，則，所以，因為，代入化簡得，得，所以直線，整理得，設(shè)直線，同理可得，所以，即，設(shè)直線，，所以，，得，因為拋物線的焦點為，所以設(shè)直線恒過拋物線焦點，而在直線,上，所以，即是方程是方程的兩實數(shù)根，所以，解得，即所以，設(shè)到直線的距離為，則，所以，當(dāng)時，面積的最小為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵根據(jù)切線方程與拋物線建立等式計算可得，直線與拋物線建立等式可得直線經(jīng)過拋物線的焦點；在直線,上，得是方程方程的兩相異實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式求得，最后根據(jù)三角形面積公式計算可得.7．（23-24高三下·山西大同·階段練習(xí)）過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，以為直徑的圓分別與軸相切于點，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，直線：，聯(lián)立方程得到，計算，得到答案.【詳解】如圖所示：，連接，，過點作于，直線：，故，故，.故，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中的面積問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.8．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知橢圓，經(jīng)過坐標原點的兩條直線分別與橢圓相交于、、、四個點，若該兩條直線的斜率分別為、，且，則的面積為．【答案】【分析】設(shè)出點的坐標，將△的面積用坐標表示，再利用已知條件及點在橢圓上進行坐標運算求解即可.【詳解】設(shè)，因為，所以的斜率存在且不為，即，直線方程：，即，所以點到的距離為，因此△的面積為，而點在橢圓上，且所以，化簡得，所以，所以.故答案為：.【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線相交，一般先設(shè)出點的坐標并進行坐標運算，關(guān)鍵是利用已知條件將所求的式子進行化簡，本題中主要利用點在橢圓上滿足橢圓的方程以及斜率之積這兩個條件進行化簡.9．（2024·湖南·模擬預(yù)測）過橢圓C：（）上的動點P向圓O：引兩條切線．設(shè)切點分別是A，B，若直線與x軸、y軸分別交于M，N兩點，則面積的最小值是.【答案】【分析】設(shè)點，首先求出直線方程，然后求得坐標，由兩點間距離公式得，由點到直線距離公式表示出原點到直線（即直線的距離），從而表示出面積，結(jié)合點在橢圓上，即它的坐標滿足條件等式，進一步結(jié)合基本不等式求得即可得解.【詳解】

設(shè)點，則以為直徑的圓的方程為，與圓O的方程相減得，即是過切點的直線方程，，令，得，所以，令，得，所以，所以，所以點到直線的距離，所以，因為點在橢圓C：（）上，所以，即，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，面積的最小值是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是表示出面積，即，由此即可順利得解.10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0，若，則的面積為．【答案】【分析】設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，依題意，即可求出與的關(guān)系，不妨設(shè)直線的傾斜角為，依題意可得，再由及二倍角公式求出，從而得到直線、的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，求出、坐標，即可求出方程，再求出面積即可.【詳解】法一：因為易知直線的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，由，可得且．所以，所以由可得，即，即，所以，化簡得，即，所以或，當(dāng)時，直線過點，與題意不符，舍去，故．不妨設(shè)直線的傾斜角為，因為，所以，，當(dāng)均在雙曲線左支時，，所以，即，解得（負值舍去），此時PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時，因為，所以，即，即，解得（負值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，因為方程有一個根為，所以，，同理可得，，．所以，且直線，整理得：，所以點到直線的距離，故的面積為．法二：設(shè)直線的傾斜角為，，，，由，則，解得（負值已舍去），由，即，得，即，聯(lián)立及得，，同理，，，故，，而，，由，即，解得（負值已舍去），故故答案為：11．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點，O為坐標原點，過作漸近線的垂線，垂足為P，且，過雙曲線C上一點Q作兩漸近線的平行線分別交漸近線于M，N兩點，則四邊形OMQN的面積為.【答案】【分析】先求得雙曲線方程為，設(shè)到兩漸近線的距離之積，結(jié)合雙曲線的方程，求得，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】過作漸近線的垂線，垂足為，如圖所示，因為，，所以，因為，所以，在直角在中，，所以，所以，又因為，所以，所以雙曲線方程為，因為，所以，設(shè)到兩漸近線的距離為，則，又因為，所以，所以.故答案為：.

12．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知橢圓的長軸長為4，離心率．(1)求橢圓的標準方程；(2)若橢圓的左、右頂點分別為，過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點，求與的面積之比的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率列式求，即可得橢圓方程；（2）設(shè)線，聯(lián)立方程，利用韋達定理可得，再根據(jù)面積關(guān)系運算求解即可.【詳解】（1）由題意可知：，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）可知：，因為直線的斜率可以不存在，但不為0，且直線與橢圓必相交，

設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，整理可得，因為，可得令，則，解得，即，由題意可知：，因為，所以與的面積之比的取值范圍為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.13．（23-24高二下·湖南永州·階段練習(xí)）已知橢圓過點，離心率為.不過原點的直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.(1)證明：直線的斜率為定值；(2)求面積的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出橢圓方程，設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，再根據(jù)化簡即可得出結(jié)論；（2）由（1）得，根據(jù)求出的范圍，利用弦長公式求出，利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，列出面積的的表達式，進而可得出答案.【詳解】（1）由題意，解得，所以橢圓的標準方程為，設(shè)，由得，，，解得，所以直線的斜率為定值；（2）由（1）得，與橢圓方程聯(lián)立得，則，，點到直線的距離，的面積，令，則，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，解得或，即在和上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，取到最大值，所以的面積得最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．14．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實軸比虛軸長2，且焦點到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由點到直線的距離公式及實軸與虛軸定義計算即可得；（2）討論直線的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長公式求得，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.【詳解】（1）設(shè)雙曲線焦點為，一條漸近線方程為，所以該焦點到漸近線的距離為，又雙曲線實軸比虛軸長2，故，即，故雙曲線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，若動直線與雙曲線恰有1個公共點，則直線經(jīng)過雙曲線的頂點，不妨設(shè)，又漸近線方程為，將代入，得，將代入，得