華東師大版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題09一元二次方程的應(yīng)用8類模型(傳播,增長率,與圖形有關(guān),數(shù)字,營銷,動態(tài)幾何,工程,行程問題)(原卷版+解析)

專題09一元二次方程的應(yīng)用壓軸題八種模型全攻略(傳播,增長率,與圖形有關(guān),數(shù)字,營銷,動態(tài)幾何,工程,行程問題)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一一元二次方程的應(yīng)用--傳播問題】 1【題型二一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題】 3【題型三一元二次方程的應(yīng)用--與圖形有關(guān)的問題】 4【題型四一元二次方程的應(yīng)用--數(shù)字問題】 6【題型五一元二次方程的應(yīng)用--營銷問題】 8【題型六一元二次方程的應(yīng)用--動態(tài)幾何問題】 10【題型七一元二次方程的應(yīng)用--工程問題】 13【題型八一元二次方程的應(yīng)用--行程問題】 14【過關(guān)檢測】 17【典型例題】【題型一一元二次方程的應(yīng)用--傳播問題】例題：（2023春·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個(gè)人．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江綏化·八年級綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┠撤N植物的主干長出若干個(gè)數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是111，則每個(gè)支干長出個(gè)小分支．2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第一二六中學(xué)校考期末）一次會議上，每兩個(gè)參加會議的人都相互握了一次手，經(jīng)統(tǒng)計(jì)所有人一共握了10次手，則這次會議到會的人數(shù)是人．【題型二一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題】例題：（2023春·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習(xí)）某地2021年為做好“精準(zhǔn)扶貧”，投入資金1280萬元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2023年在2021年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元．從2021年到2023年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江溫州·八年級校考期中）由于換季，原售價(jià)為元的某種服裝連續(xù)兩次降價(jià)處理，現(xiàn)按元的價(jià)格銷售，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，則可列方程．2．（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？计谀闈M足師生閱讀需求，學(xué)校建立“閱讀公園”，并且不斷完善藏書數(shù)量，今月3月份閱讀公園中有藏書5000冊，到今月5月份其中藏書數(shù)量增長到7200冊．(1)求閱讀公園這兩個(gè)月藏書的平均增長率．(2)按照這樣的增長方式，請你估算出今月6月份閱讀公園的藏書量是多少？【題型三一元二次方程的應(yīng)用--與圖形有關(guān)的問題】例題：（2023春·北京石景山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形草地中，m，m，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，草地內(nèi)鋪了一條長和寬分別相等直角折線甬路（，），若草地總面積（兩部分陰影之和）為，求甬路的寬．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京昌平·八年級統(tǒng)考期末）某學(xué)校有一個(gè)矩形小花園，花園長20米，寬18米，現(xiàn)要在花園中修建人行通道，如圖所示，陰影部分為通道，其余部分種植花卉，同樣寬度的通道有3條，其中兩條與矩形的寬平行，另外一條與矩形的寬垂直，計(jì)劃花卉種植面積共為306平方米，設(shè)通道的寬為x米，根據(jù)題意可列方程為．

2．（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，為培養(yǎng)學(xué)生正確的勞動價(jià)值觀和良好的勞動品質(zhì)，某校為此規(guī)劃出矩形苗圃，苗圃的一面靠墻（墻最長可用長度為15米），另外三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開，分成面積相等的兩個(gè)區(qū)域，并在兩個(gè)區(qū)域中各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設(shè)矩形的一邊長為米．(1)求矩形的另一邊長是多少米？（用含的代數(shù)式表示）(2)矩矩形的面積能否為？若能，求出的長；若不能，請說明理由．【題型四一元二次方程的應(yīng)用--數(shù)字問題】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)等于它個(gè)位數(shù)字的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個(gè)兩位數(shù)是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積為323，設(shè)其中的一個(gè)奇數(shù)為，可得方程________．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個(gè)兩位數(shù)是_____．【題型五一元二次方程的應(yīng)用--營銷問題】例題：（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）某水果批發(fā)商店經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商店要保證每天盈利5000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）某商場一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，售價(jià)為每件40元，每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價(jià)促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價(jià)元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價(jià)多少元？2．（2023春·八年級單元測試）在國家積極政策的鼓勵下，環(huán)保意識日漸深入人心，新能源汽車的市場需求逐年上升．(1)某汽車企業(yè)2020年到2022年這兩年新能源汽車的銷售總量增長了96%．求該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率；(2)某汽車企業(yè)下屬的一個(gè)專賣店經(jīng)銷一款進(jìn)價(jià)為15萬元/輛的新能源汽車，經(jīng)銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該款汽車售價(jià)定為25萬元/輛時(shí)，平均每周售出8輛；售價(jià)每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛．若該店計(jì)劃下調(diào)售價(jià)使平均每周的銷售利潤為96萬元，并且盡量讓利于顧客，求下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)．【題型六一元二次方程的應(yīng)用--動態(tài)幾何問題】例題：（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學(xué)?？计谥校┰谥校?，動點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)開始移動，點(diǎn)M的速度為/秒，點(diǎn)N的速度為/秒，點(diǎn)M移動到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)N移動到點(diǎn)B后停止．問經(jīng)過幾秒鐘，的面積為？

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）等腰中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)移動，通過點(diǎn)引平行于、的直線與、分別交于點(diǎn)、，問：等于多少厘米時(shí)，平行四邊形的面積等于．2．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，動點(diǎn)P、Q分別以，的速度從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，沿規(guī)定路線移動．

(1)若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動，問經(jīng)過多長時(shí)間P，Q兩點(diǎn)之間的距離是？(2)若點(diǎn)P沿著移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動到點(diǎn)D停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時(shí)間的面積為？【題型七一元二次方程的應(yīng)用--工程問題】例題：（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時(shí)對長度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而使用時(shí)間增加了m小時(shí)，求m的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）全球疫情爆發(fā)時(shí)，口罩極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極地生產(chǎn)口罩以應(yīng)對疫情，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是78000個(gè)/天，每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線減少1625個(gè)/天，工廠的產(chǎn)線共x條（1）該工廠最大產(chǎn)能是_____個(gè)/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進(jìn)的生產(chǎn)線每天恰好能生產(chǎn)口702000個(gè)，該工廠引進(jìn)了多少條生產(chǎn)線？【題型八一元二次方程的應(yīng)用--行程問題】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數(shù)是__．2．（2023·四川成都·成都實(shí)外?？家荒＃榍袑?shí)推進(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運(yùn)動．學(xué)生堅(jiān)持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時(shí)從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達(dá)地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到地（整個(gè)過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·安徽淮北·八年級統(tǒng)考期末）要組織一次籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），計(jì)劃安排28場比賽，則應(yīng)邀請（

）個(gè)球隊(duì)參加比賽．A．6 B．7 C．8 D．92．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）電影《長津湖之水門橋》以抗美援朝戰(zhàn)爭第二次戰(zhàn)役中的長津湖戰(zhàn)役的一部分為背景，上演了一段可歌可泣的歷史，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約6億元，以后每天票房按相同的增長率增長；三天后累計(jì)票房收入達(dá)14.7億元，若設(shè)平均每天票房的增長率為，則可以列方程為（

）A． B．C． D．3．（2023春·河南駐馬店·七年級?？茧A段練習(xí)）小明在某書店購買數(shù)學(xué)課外讀物《幾何原本》，已知每本《幾何原本》的定價(jià)為40元，若按八折出售，該書店仍可獲利10元，則每本《幾何原本》的進(jìn)價(jià)為（

）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元4．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某景區(qū)計(jì)劃在一個(gè)長為，寬為40m的矩形空地上修建一個(gè)停車場，停車場中修建三塊相同的矩形停車區(qū)域，它們的面積之和為，三塊停車區(qū)域之間以及周邊留有寬度相等的行車通道，問行車通道的寬度是多少m？設(shè)行車通道的寬度是，則可列方程為（

）

A． B．C． D．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10二、填空題6．（2023春·福建福州·八年級福建省福州楊橋中學(xué)校考期末）某公司5月份的營業(yè)額為100萬，7月份的營業(yè)額為121萬，已知6、7月的增長率相同，設(shè)增長率為，則根據(jù)題意可列方程為．7．（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）讀一讀下面的詩詞：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同．詩詞大意是周瑜三十歲當(dāng)上了東吳都督，去世時(shí)年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)小3，個(gè)位數(shù)的平方等于他去世時(shí)的年齡，若設(shè)他去世時(shí)年齡的個(gè)位數(shù)為x，則根據(jù)題意可列出方程．8．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）網(wǎng)課期間小夏寫了封保護(hù)眼睛的倡議書，用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播，設(shè)計(jì)了如下轉(zhuǎn)發(fā)規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，然后邀請x個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請x個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共157人參與了此次活動，則x為人．9．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客盡可能多得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，則該商品的銷售定價(jià)為元．10．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以4cm/s的速度移動．（1）；（2）如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問：經(jīng)過秒后的面積等于．三、解答題11．（2023春·安徽六安·八年級校聯(lián)考期中）某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？12．（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）2022年北京冬季奧運(yùn)會于2月4日至2月20日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，冬奧會吉祥物為“冰墩墩”．

(1)據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某工廠今年二月份共生產(chǎn)500個(gè)“冰墩墩”，該工廠連續(xù)兩個(gè)月增加生產(chǎn)量后四月份生產(chǎn)720個(gè)“冰墩墩”，求平均每月的增長率是多少？(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售20個(gè)，每個(gè)盈利20元，在每個(gè)降價(jià)幅度不超過8元的情況下，每下降2元，則每天可多售10件．如果每天要盈利700元，則每個(gè)“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)多少元？13．（2023春·浙江寧波·八年級?？茧A段練習(xí)）2022年冬奧會在北京順利召開，冬奧會吉祥物冰墩墩公仔爆紅．據(jù)統(tǒng)計(jì)冰墩墩公仔在某電商平臺3月份的銷售量是10萬件，5月份的銷售量是14.4萬件．(1)該平臺3月份到5月份的月平均增長率都相同，求月平均增長率是多少？(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某一間店鋪冰墩墩公仔的進(jìn)價(jià)為每件60元，若售價(jià)為80元，每天能銷售20件，售價(jià)每降價(jià)1元，每天可多售出5件．為了推廣宣傳，商家決定降價(jià)促銷，同時(shí)盡量減少庫存，若使銷售該公仔每天獲利700元，則售價(jià)應(yīng)降低多少元？14．（2023春·浙江杭州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度51米的櫥欄（圖中實(shí)線部分）圍成兩個(gè)大小相同的長方形圍欄，設(shè)長為x米．(1)___________米（用含x的代數(shù)式表示）；(2)若長方形圍欄面積為210平方米，求的長；(3)長方形圍欄面積是否有可能達(dá)到240平方米？若有可能，求出相應(yīng)x的值；若不可能，則說明理由．15．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在矩形中，，動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動（點(diǎn)P停止移動時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動）．設(shè)移動時(shí)間為t（s）．連接，．(1)用含t的式子表示線段的長：__________；__________．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離為？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出t的值；若不可能，請說明理由．16．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考一模）甲、乙兩工程隊(duì)共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工．計(jì)劃每天各施工5米，因地質(zhì)情況不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬．(1)若工程結(jié)算時(shí)，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米．(2)實(shí)際施工開始后，因地質(zhì)情況及實(shí)際條件比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時(shí)，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖米．若最終每天實(shí)際總成本在少于150萬的情況下比計(jì)劃多萬元．求a的值．

專題09一元二次方程的應(yīng)用壓軸題八種模型全攻略(傳播,增長率,與圖形有關(guān),數(shù)字,營銷,動態(tài)幾何,工程,行程問題)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一一元二次方程的應(yīng)用--傳播問題】 1【題型二一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題】 3【題型三一元二次方程的應(yīng)用--與圖形有關(guān)的問題】 4【題型四一元二次方程的應(yīng)用--數(shù)字問題】 6【題型五一元二次方程的應(yīng)用--營銷問題】 8【題型六一元二次方程的應(yīng)用--動態(tài)幾何問題】 10【題型七一元二次方程的應(yīng)用--工程問題】 13【題型八一元二次方程的應(yīng)用--行程問題】 14【過關(guān)檢測】 17【典型例題】【題型一一元二次方程的應(yīng)用--傳播問題】例題：（2023春·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個(gè)人．【答案】15人【分析】有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，依題意，得，即，解方程，得，（舍去）．答：每輪傳染中平均每人傳染了15人，【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江綏化·八年級綏化市第八中學(xué)校校考期中）某種植物的主干長出若干個(gè)數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是111，則每個(gè)支干長出個(gè)小分支．【答案】【分析】設(shè)每個(gè)支干長出個(gè)小分支，利用主干、支干和小分支的總數(shù)是111，列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)每個(gè)支干長出個(gè)小分支，根據(jù)題意得，即，解得：（舍去）故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第一二六中學(xué)校考期末）一次會議上，每兩個(gè)參加會議的人都相互握了一次手，經(jīng)統(tǒng)計(jì)所有人一共握了10次手，則這次會議到會的人數(shù)是人．【答案】5【分析】設(shè)參加會議有x人，每個(gè)人都與其他人握手，共握手次數(shù)為，根據(jù)題意列方程．【詳解】解：設(shè)參加會議有x人，依題意得：，整理得：，解得，（舍去）．答：參加這次會議的有5人，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，計(jì)算握手次數(shù)時(shí)，每兩個(gè)人之間產(chǎn)生一次握手現(xiàn)象，故共握手次數(shù)為，此題難度不大．【題型二一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題】例題：（2023春·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習(xí)）某地2021年為做好“精準(zhǔn)扶貧”，投入資金1280萬元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2023年在2021年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元．從2021年到2023年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？【答案】從2021年到2023年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為．【分析】設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)2023年在2021年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元，列出方程求解可得．【詳解】解：設(shè)該地投入異地安置資金的年平均增長率為x．根據(jù)題意得：．解得(舍去)，答：從2021年到2023年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，由題意準(zhǔn)確找出相等關(guān)系并據(jù)此列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江溫州·八年級校考期中）由于換季，原售價(jià)為元的某種服裝連續(xù)兩次降價(jià)處理，現(xiàn)按元的價(jià)格銷售，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，則可列方程．【答案】【分析】利用經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格原價(jià)平均每次降價(jià)的百分率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校校考期末）為滿足師生閱讀需求，學(xué)校建立“閱讀公園”，并且不斷完善藏書數(shù)量，今月3月份閱讀公園中有藏書5000冊，到今月5月份其中藏書數(shù)量增長到7200冊．(1)求閱讀公園這兩個(gè)月藏書的平均增長率．(2)按照這樣的增長方式，請你估算出今月6月份閱讀公園的藏書量是多少？【答案】(1)閱讀公園這兩個(gè)月藏書的平均增長率20％(2)估算出今月6月份閱讀公園的藏書量是8740冊【分析】（1）設(shè)這兩個(gè)月藏書的月平均增長率為x，利用該?！伴喿x公園”5月底的藏書量=該?！伴喿x公園”3月的藏書量×，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用該?！伴喿x公園”6月的藏書量=該?！伴喿x公園”5月的藏書量×（1+藏書的月平均增長率），即可求出該?！伴喿x公園”6月的藏書量．【詳解】（1）解：設(shè)該校這兩個(gè)月藏書的月均增長率為x，根據(jù)題意，得解得，（不合題意，舍去）該校這兩個(gè)月藏書的月均增長率為20%；（2）（冊），所以，預(yù)測到6月該校“閱讀公園”的藏書量是冊．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【題型三一元二次方程的應(yīng)用--與圖形有關(guān)的問題】例題：（2023春·北京石景山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形草地中，m，m，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，草地內(nèi)鋪了一條長和寬分別相等直角折線甬路（，），若草地總面積（兩部分陰影之和）為，求甬路的寬．【答案】2m【分析】設(shè)甬路的寬為m，先得出，即，再據(jù)題意列一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)甬路的寬為m，∵矩形中，，，∴四邊形是正方形，∵點(diǎn)為邊中點(diǎn)，m，∴，∴，即，即據(jù)題意列方程，得：．整理，得．解得

，（不合題意，舍去）．答：甬路的寬為2m．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出以及找到等量關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京昌平·八年級統(tǒng)考期末）某學(xué)校有一個(gè)矩形小花園，花園長20米，寬18米，現(xiàn)要在花園中修建人行通道，如圖所示，陰影部分為通道，其余部分種植花卉，同樣寬度的通道有3條，其中兩條與矩形的寬平行，另外一條與矩形的寬垂直，計(jì)劃花卉種植面積共為306平方米，設(shè)通道的寬為x米，根據(jù)題意可列方程為．

【答案】【分析】由花園的長、寬及雨道的寬，可得出種植花卉的部分可合成長為米，寬為米的矩形，結(jié)合花卉種植面積共為306平方米，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵花園長20米，寬18米，且雨道的寬為x米，∴種植花卉的部分可合成長為米，寬為米的矩形．根據(jù)題意得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，為培養(yǎng)學(xué)生正確的勞動價(jià)值觀和良好的勞動品質(zhì)，某校為此規(guī)劃出矩形苗圃，苗圃的一面靠墻（墻最長可用長度為15米），另外三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開，分成面積相等的兩個(gè)區(qū)域，并在兩個(gè)區(qū)域中各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設(shè)矩形的一邊長為米．(1)求矩形的另一邊長是多少米？（用含的代數(shù)式表示）(2)矩矩形的面積能否為？若能，求出的長；若不能，請說明理由．【答案】(1)（30﹣3x）米(2)能，【分析】（1）根據(jù)題中條件即可求出的長；（2）根據(jù)矩形的面積為，列出一元二次方程，解方程，即可解決問題．【詳解】（1）修建所用木欄總長28米，且兩處各留1米寬的門（門不用木欄），米，即另一邊長是米；（2）矩形的面積能為，理由如下：由題意得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意；答：矩形的面積能為，的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【題型四一元二次方程的應(yīng)用--數(shù)字問題】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)等于它個(gè)位數(shù)字的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個(gè)兩位數(shù)是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【答案】C【分析】設(shè)十位數(shù)字為，表示出個(gè)位數(shù)字，根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為，則個(gè)位數(shù)字為．依題意得：，解得:.∴這個(gè)兩位數(shù)為25或36．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積為323，設(shè)其中的一個(gè)奇數(shù)為，可得方程________．【答案】或【分析】已知設(shè)其中的一個(gè)奇數(shù)為，且設(shè)其中的一個(gè)奇數(shù)為，分兩種情況討論：若為較小的奇數(shù)，則另一個(gè)奇數(shù)為，即可列出方程；若為較大的奇數(shù)，則另一個(gè)奇數(shù)為，即可列出方程，即可正確解答．【詳解】①若為較小的奇數(shù)，則另一個(gè)奇數(shù)為，∵兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積為323，∴；②若為較大的奇數(shù)，則另一個(gè)奇數(shù)為，∴；故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，正確的理解題意，找出題目中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個(gè)兩位數(shù)是_____．【答案】98【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為，根據(jù)“個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，”列出方程，即可求解．【詳解】解∶設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為，依題意，得：，整理，得：，解得：（不合題意，舍去），，∴．故答案為：98【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確表示出這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是解題的關(guān)鍵．【題型五一元二次方程的應(yīng)用--營銷問題】例題：（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）某水果批發(fā)商店經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商店要保證每天盈利5000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？【答案】每千克水果應(yīng)漲價(jià)5元【分析】設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)元，根據(jù)每千克盈利5元，每天可售出600千克，每天盈利5000元，列出方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)元，由題意列方程得：，解得：或，為了使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)5元；答：每千克水果應(yīng)漲價(jià)5元．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）某商場一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，售價(jià)為每件40元，每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價(jià)促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價(jià)元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)(2)2元【分析】（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為，由題意，得，（不符合題意，舍去）．答：該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件元，兩次下降的百分率為；（2）解：設(shè)每天要想獲得512元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價(jià)元，由題意，得，解得：．答：要使商場每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價(jià)2元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系，列出方程，解答即可．2．（2023春·八年級單元測試）在國家積極政策的鼓勵下，環(huán)保意識日漸深入人心，新能源汽車的市場需求逐年上升．(1)某汽車企業(yè)2020年到2022年這兩年新能源汽車的銷售總量增長了96%．求該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率；(2)某汽車企業(yè)下屬的一個(gè)專賣店經(jīng)銷一款進(jìn)價(jià)為15萬元/輛的新能源汽車，經(jīng)銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該款汽車售價(jià)定為25萬元/輛時(shí)，平均每周售出8輛；售價(jià)每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛．若該店計(jì)劃下調(diào)售價(jià)使平均每周的銷售利潤為96萬元，并且盡量讓利于顧客，求下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)．【答案】(1)該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為(2)下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)為21萬元【分析】（1）設(shè)該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為x，然后根據(jù)題意可得方程，進(jìn)而問題可求解；（2）設(shè)下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)為m萬元，則銷售量為輛，然后可得方程為，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：由題意可把2020年新能源汽車的銷售總量看作單位“1”，則設(shè)該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為x，則有：，解得：（不符合題意，舍去），答：該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為．（2）解：設(shè)下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)為m萬元，由題意得：解得：，∵盡量讓利于顧客，∴；答：下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)為21萬元．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【題型六一元二次方程的應(yīng)用--動態(tài)幾何問題】例題：（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學(xué)校考期中）在中，，動點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)開始移動，點(diǎn)M的速度為/秒，點(diǎn)N的速度為/秒，點(diǎn)M移動到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)N移動到點(diǎn)B后停止．問經(jīng)過幾秒鐘，的面積為？

【答案】2秒【分析】設(shè)經(jīng)過x秒鐘后，的面積為，則，據(jù)此利用三角形面積公式建立方程求解即可.【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x秒鐘后，的面積為，由題意得，，∴，∴．∵，即，∴舍去，即．答：經(jīng)過2秒，的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）等腰中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)移動，通過點(diǎn)引平行于、的直線與、分別交于點(diǎn)、，問：等于多少厘米時(shí)，平行四邊形的面積等于．【答案】【分析】設(shè)，則，由題意可知和均為等腰直角三角形，利用平行四邊形面積公式求解出的值即可．【詳解】設(shè)，則，由題意可知和均為等腰直角三角形，的面積等于，依題意可得，解得：，即長為．故長為時(shí)，平行四邊形的面積等于．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，動點(diǎn)問題的應(yīng)用求解，應(yīng)用平行四邊形面積公式求解出是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，動點(diǎn)P、Q分別以，的速度從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，沿規(guī)定路線移動．

(1)若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動，問經(jīng)過多長時(shí)間P，Q兩點(diǎn)之間的距離是？(2)若點(diǎn)P沿著移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動到點(diǎn)D停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時(shí)間的面積為？【答案】(1)或；(2)4秒或6秒．【分析】（1）過點(diǎn)P作于E，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求得；（2）根據(jù)點(diǎn)P的三個(gè)位置進(jìn)行分類討論，表示出的底和高，代入面積公式即可求得；【詳解】（1）解：過點(diǎn)P作于E，設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是．，∴，；∴經(jīng)過或，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是；（2）解：連接．設(shè)經(jīng)過后△PBQ的面積為．①當(dāng)時(shí)，，∴，即，解得；②當(dāng)時(shí)，，則，解得（舍去）；③時(shí)，，則，解得（舍去）．綜上所述，經(jīng)過4秒或6秒，的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題，相關(guān)知識點(diǎn)有：勾股定理求長度，解一元二次方程等知識點(diǎn)，分類討論是本題的解題關(guān)鍵．【題型七一元二次方程的應(yīng)用--工程問題】例題：（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時(shí)對長度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而使用時(shí)間增加了m小時(shí)，求m的值．【答案】(1)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度為90米(2)的值為10【分析】（1）設(shè)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)“型設(shè)備鋪設(shè)的路面長度型設(shè)備鋪設(shè)的路面長度”列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意得，，解得：，則，答：型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長度為90米；（2）根據(jù)題意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值為10．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并列出方程．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）全球疫情爆發(fā)時(shí)，口罩極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極地生產(chǎn)口罩以應(yīng)對疫情，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是78000個(gè)/天，每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線減少1625個(gè)/天，工廠的產(chǎn)線共x條（1）該工廠最大產(chǎn)能是_____個(gè)/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進(jìn)的生產(chǎn)線每天恰好能生產(chǎn)口702000個(gè)，該工廠引進(jìn)了多少條生產(chǎn)線？【答案】（1）；（2）12或36【分析】（1）根據(jù)題意，根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，得該工廠最大產(chǎn)能是：個(gè)/天故答案為：；（2）根據(jù)題意，得：或∴即該工廠引進(jìn)了12或36條生產(chǎn)線．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、代數(shù)式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．【題型八一元二次方程的應(yīng)用--行程問題】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t值，將其值代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去），∴．故乙走的步數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數(shù)是__．【答案】【分析】設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出值，將其正值代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，則依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），，即甲走的步數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川成都·成都實(shí)外?？家荒＃榍袑?shí)推進(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運(yùn)動．學(xué)生堅(jiān)持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時(shí)從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達(dá)地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到地（整個(gè)過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)480米(2)70分鐘【分析】（1）設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；（2）設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，再根據(jù)熱量的消耗規(guī)律建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，既是所列分式方程的解也符合題意，則，答：小明每分鐘跑480米．（2）解：設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：小明從地到地鍛煉共用70分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程和一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·安徽淮北·八年級統(tǒng)考期末）要組織一次籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），計(jì)劃安排28場比賽，則應(yīng)邀請（

）個(gè)球隊(duì)參加比賽．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】設(shè)應(yīng)邀請個(gè)球隊(duì)參加比賽，則總共需安排場比賽，根據(jù)計(jì)劃安排28場比賽建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設(shè)應(yīng)邀請個(gè)球隊(duì)參加比賽，則總共需安排場比賽，由題意得：，解得或（不符合題意，舍去），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）電影《長津湖之水門橋》以抗美援朝戰(zhàn)爭第二次戰(zhàn)役中的長津湖戰(zhàn)役的一部分為背景，上演了一段可歌可泣的歷史，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約6億元，以后每天票房按相同的增長率增長；三天后累計(jì)票房收入達(dá)14.7億元，若設(shè)平均每天票房的增長率為，則可以列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)平均每天票房的增長率為，根據(jù)一元二次方程增長率問題，列出方程即可求解．【詳解】設(shè)平均每天票房的增長率為，則可以列方程為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河南駐馬店·七年級?？茧A段練習(xí)）小明在某書店購買數(shù)學(xué)課外讀物《幾何原本》，已知每本《幾何原本》的定價(jià)為40元，若按八折出售，該書店仍可獲利10元，則每本《幾何原本》的進(jìn)價(jià)為（

）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元【答案】A【分析】根據(jù)題意可知：標(biāo)價(jià)（折數(shù)10）－成本=利潤，可以列出相應(yīng)方程，然后求解即可；【詳解】設(shè)每本《幾何原本》的進(jìn)價(jià)為元，則：由題意可得：，解得：；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程；對于本題運(yùn)用到的公式：標(biāo)價(jià)（折數(shù)10）－成本=利潤，一定要熟記并能夠在題目中合理運(yùn)用．4．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某景區(qū)計(jì)劃在一個(gè)長為，寬為40m的矩形空地上修建一個(gè)停車場，停車場中修建三塊相同的矩形停車區(qū)域，它們的面積之和為，三塊停車區(qū)域之間以及周邊留有寬度相等的行車通道，問行車通道的寬度是多少m？設(shè)行車通道的寬度是，則可列方程為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)行車通道的寬度為，再根據(jù)停車區(qū)域面積之和為列出一元二次方程，然后求解即可．【詳解】解：設(shè)行車通道的寬度為．根據(jù)題意，得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t值，將其值代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去），∴．故乙走的步數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·福建福州·八年級福建省福州楊橋中學(xué)?？计谀┠彻?月份的營業(yè)額為100萬，7月份的營業(yè)額為121萬，已知6、7月的增長率相同，設(shè)增長率為，則根據(jù)題意可列方程為．【答案】【分析】根據(jù)該公司6、7兩個(gè)月營業(yè)額的月均增長率為x，結(jié)合5月、7月營業(yè)額即可得出關(guān)于x的一元二次方程．【詳解】解：設(shè)該公司6、7兩個(gè)月營業(yè)額的月均增長率為x，根據(jù)題意得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）讀一讀下面的詩詞：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同．詩詞大意是周瑜三十歲當(dāng)上了東吳都督，去世時(shí)年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)小3，個(gè)位數(shù)的平方等于他去世時(shí)的年齡，若設(shè)他去世時(shí)年齡的個(gè)位數(shù)為x，則根據(jù)題意可列出方程．【答案】【分析】設(shè)他去世時(shí)年齡的個(gè)位數(shù)為x，則設(shè)他去世時(shí)年齡的十位數(shù)為，然后根據(jù)個(gè)位數(shù)的平方等于他去世時(shí)的年齡列出方程即可．【詳解】解：設(shè)他去世時(shí)年齡的個(gè)位數(shù)為x，則設(shè)他去世時(shí)年齡的十位數(shù)為，由題意得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）網(wǎng)課期間小夏寫了封保護(hù)眼睛的倡議書，用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播，設(shè)計(jì)了如下轉(zhuǎn)發(fā)規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，然后邀請x個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請x個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共157人參與了此次活動，則x為人．【答案】12【分析】根據(jù)傳播規(guī)則結(jié)合經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后共有157個(gè)人參與了此活動，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：依題意，得：，解得：(不合題意，舍去)．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客盡可能多得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，則該商品的銷售定價(jià)為元．【答案】56【分析】將銷售單價(jià)定為x元/件，則每星期可賣出件，根據(jù)總利潤=每件的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：將銷售單價(jià)定為x元/件，則每星期可賣出件，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：．∵要使顧客獲得實(shí)惠，∴．即該商品的銷售定價(jià)為56元．故答案為：56．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以4cm/s的速度移動．（1）；（2）如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問：經(jīng)過秒后的面積等于．【答案】；1或7或．【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；（2）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，則，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，，，，，根據(jù)的面積等于，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，則，如圖所示，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，，，，，依題意得：．當(dāng)時(shí)，，解得：，；當(dāng)時(shí)，，解得：（不符合題意，舍去），．∴經(jīng)過1或7或秒后，的面積等于．故答案為：1或7或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023春·安徽六安·八年級校聯(lián)考期中）某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？【答案】若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．【分析】本題可設(shè)每輪感染中平均一臺會感染x臺電腦，則第一輪后共有臺被感染，第二輪后共有即臺被感染，利用方程即可求出x的值，并且3輪后共有臺被感染，比較該數(shù)同700的大小，即可作出判斷．【詳解】解：設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，則經(jīng)過1輪后有臺被染上病毒，2輪后就有臺被感染病毒，依題意，得，解得，（舍去）．所以每輪感染中平均一臺電腦會感染8臺電腦．由此規(guī)律，經(jīng)過3輪后，有臺電腦被感染．由于，所以若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．【點(diǎn)睛】本題只需仔細(xì)分析題意，利用方程即可解決問題．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．12．（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）2022年北京冬季奧運(yùn)會于2月4日至2月20日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，冬奧會吉祥物為“冰墩墩”．

(1)據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某工廠今年二月份共生產(chǎn)500個(gè)“冰墩墩”，該工廠連續(xù)兩個(gè)月增加生產(chǎn)量后四月份生產(chǎn)720個(gè)“冰墩墩”，求平均每月的增長率是多少？(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售20個(gè)，每個(gè)盈利20元，在每個(gè)降價(jià)幅度不超過8元的情況下，每下降2元，則每天可多售10件．如果每天要盈利700元，則每個(gè)“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)(2)6元【分析】（1）設(shè)該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率為x，利用該工廠四月份生產(chǎn)“冰墩墩”的數(shù)量該工廠二月份生產(chǎn)“冰墩墩”的數(shù)量（該工廠平均每月生產(chǎn)量的增長率）的平方，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每個(gè)“冰墩墩”降價(jià)y元，則每個(gè)盈利元，平均每天可售出個(gè)，利用該商店每天銷售“冰墩墩”獲得的利潤每個(gè)的銷售利潤平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)平均每月的增長率是，（個(gè)），解得，（舍）答：平均每月的增長率是．（2）設(shè)每個(gè)“冰墩墩”降價(jià)元，則每個(gè)盈利元，平均每天可售出個(gè)，依題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去）答：每個(gè)“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)6元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·浙江寧波·八年級?？茧A段練習(xí)）2022年冬奧會在北京順利召開，冬奧會吉祥物冰墩墩公仔爆紅．據(jù)統(tǒng)計(jì)冰墩墩公仔在某電商平臺3月份的銷售量是10萬件，5月份的銷售量是14.4萬件．(1)該平臺3月份到5月份的月平均增長率都相同，求月平均增長率是多少？(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某一間店鋪冰墩墩公仔的進(jìn)價(jià)為每件60元，若售價(jià)為80元，每天能銷售20件，售價(jià)每降價(jià)1元，每天可多售出5件．為了推廣宣傳，商家決定降價(jià)促銷，同時(shí)盡量減少庫存，若使銷售該公仔每天