華東師大版九年級數(shù)學上冊壓軸題攻略專題12難點探究專題：相似三角形中動點問題壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專題12難點探究專題：相似三角形中動點問題壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】 1【考點二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】 6【考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】 14【考點四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】 24【考點五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】 31【考點六相似三角形中的動點探究應用問題】 38【典型例題】【考點一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】例題：如圖，在中，，，，若點是邊上的一個動點，以每秒3個單位的速度按照從運動，同時點從以每秒1個單位的速度運動，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，在運動過程中，設運動時間為，若△BPQ與相似，則的值為．【變式訓練】1．（2023秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在鈍角中，，，動點從點出發(fā)運動到點停止，動點從點出發(fā)運動到點停止．點運動的速度為，點運動的速度為．如果兩點同時運動，那么當以點，，為頂點的三角形與相似時，運動的時間是秒．

2．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，厘米，厘米，動點、分別以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同時開始運動，其中點從點出發(fā)沿邊一直移動到點為止，點從點出發(fā)沿邊一直移動到點為止．經(jīng)過多長時間后，與相似？3．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學九年級期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．(1)當t為何值時，△APQ與△AOB相似？(2)當t為何值時，△APQ的面積為？【考點二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）在矩形中，，，點在邊上．且，是射線ED上的一個動點．若是等腰直角三角形，則的長為．【變式訓練】1．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）矩形中，，，點E是的動點，若，則的長為．2．（2023春·江蘇無錫·八年級宜興市實驗中學?？茧A段練習）如圖，在矩形中，，，連接，點M，N分別是邊，上的動點，連接，將沿折疊，使點C的對應點P始終落在上，當為直角三角形時，線段的長為．3．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，點是邊上一動點，過點作交邊于點，將沿直線翻折，點落在線段上的處，連接，當為等腰三角形時，的長為．4．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點E在邊上，且，點P是直線上的一個動點．若是直角三角形，則的長為．【考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】例題：（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點P是邊上的動點，過點P作交于點H，則的最小值為．

【變式訓練】1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，點E是邊的中點，將沿翻折得，點F落在四邊形內(nèi)，點P是線段上的動點，過點P作，垂足為Q，連接，則的最小值為．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，矩形中，，，E是BC中點，CD上有一動點M，連接、，將沿著翻折得到，連接，，則的最小值為．

3．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，在正方形中，，E是上的一點，且，F(xiàn)，G是上的動點，且，，連接，當?shù)闹底钚r，的長為．

4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知，如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點關于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當?shù)闹底钚r，的長為．

【考點四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】例題：（2023春·河南安陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形一邊在直線l上，P是直線l上點A左側的一點，，E為邊上一動點，過點P，E的直線與正方形的邊交于點F，連接，若設，的面積為S，則能反映S與x之間函數(shù)關系的圖象是（）A． B．C． D．1．（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）如圖1，在中，，動點從點出發(fā)，沿折線勻速運動至點停止．點的運動速度為，設點的運動時間為（），的長度為（），與的函數(shù)圖像如圖2所示．當恰好平分時，的長為（

）A． B． C． D．2．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點P為邊上一動點，過點P作直線，交折線于點Q．設，則y關于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

3．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動點從點出發(fā)沿方向在和上勻速移動，連接交或的延長線于，記點移動的距離為，為，則關于的函數(shù)圖像大致是（

）A．B．C． D．4．（2023·黑龍江·模擬預測）如圖，已知直線是線段的中垂線，與相交于點C，D是位于直線下方的上的一動點（點D不與點C重合），連接，過點A作，過點B作于點E，若，設，，則y關于x的函數(shù)關系用圖像可以大致表示為（

）．

A．

B．

C．

D．

【考點五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】例題：（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，矩形的兩邊分別在x軸和y軸上，點B的坐標為，現(xiàn)有兩動點P，Q，點P以每秒3個單位的速度從點O出發(fā)向終點A運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)向終點B運動，連接，，．設運動時間為t秒．

(1)點P的坐標為______，點Q的坐標為______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)請判斷四邊形的面積是否會隨時間t的變化而變化，并說明理由；(3)若A，P，Q為頂點的三角形與相似時，請求出t的值．【變式訓練】1．（2019秋·廣東佛山·九年級佛山市禪城區(qū)瀾石中學校考期中）如圖1，，，，動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向定點運動，同時動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點運動，運動時間為t秒（），連接．

(1)________；__________．(2)若與相似，求的值；(3)連接，如圖2，若，求的值．2．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側作正方形，連接，，則與的數(shù)量關系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是從點A運動D點，則點G的運動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

【考點六相似三角形中的動點探究應用問題】例題：（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）探究完成以下問題：【初步認識】(1)如圖1，在四邊形中，，連接，，過點作交的延長線于點．求證：；【特例研究】(2)如圖2，若四邊形中，，（1）中的其它條件不變，取，的中點M，F(xiàn)，連接．①求證：；②N為的中點，連接，猜想與的位置關系，并證明你的猜想；【拓展應用】(3)如圖3，在矩形中，對角線，相交于點O，E是射線上一動點，過點作交射線于點，當，，時，請直接寫出的長．

【變式訓練】1．（2023·湖北武漢·校考模擬預測）一次數(shù)學綜合實踐活動課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關于三角形角平分線的一個結論．如圖1，是的角平分線，可以證明【基礎鞏固】（1）參照小慧提供時思路，利用圖（2）請證明上述結論；（2）A、B、C、是同一直線l上從左到右順次的點，點P是直線外一動點，平分；【嘗試應用】①若，，延長至D，使，若的長為定值，請求出這個值；【拓展提高】②拓展：若，，，P點在l外運動時，使為定值，直接寫出的長為___________（用含m、n的式子表示）．2．（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形與正方形的頂B重合，、分別在、邊上，連接，則有：①______；②直線與直線所夾的銳角等于______度；（2）理解運用將圖1中的正方形繞點B逆時針旋轉，連接、，①如圖2，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若D、F、G三點在同一直線上，且過邊的中點O，，直接寫出的長等于______；（3）拓展延伸如圖4，點P是正方形的邊上一動點（不與A、B重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點F，連接，若，則的值是否是定值？請說明理由．

專題12難點探究專題：相似三角形中動點問題壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】 1【考點二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】 6【考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】 14【考點四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】 24【考點五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】 31【考點六相似三角形中的動點探究應用問題】 38【典型例題】【考點一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】例題：如圖，在中，，，，若點是邊上的一個動點，以每秒3個單位的速度按照從運動，同時點從以每秒1個單位的速度運動，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，在運動過程中，設運動時間為，若△BPQ與相似，則的值為．【答案】或或【分析】根據(jù)題意可知，分和兩種情形討論即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，∴，①當時，，，若，∴則，∴，解得：；若，∴則∴，解得：②當時，，，同理可得或解得：（舍去）或綜上所述，或或，故答案為：或或．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在鈍角中，，，動點從點出發(fā)運動到點停止，動點從點出發(fā)運動到點停止．點運動的速度為，點運動的速度為．如果兩點同時運動，那么當以點，，為頂點的三角形與相似時，運動的時間是秒．

【答案】或【分析】如果以點、、為頂點的三角形與相似，由于與對應，那么分兩種情況：①與對應；②與對應．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別作答．【詳解】解：如果兩點同時運動，設運動秒時，以點、、為頂點的三角形與相似，則，，．①當與對應時，有．，，；②當與對應時，有．，，．當以點、、為頂點的三角形與相似時，運動的時間是秒或秒．故答案為：秒或秒．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定定理，相似三角形的對應邊成比例的性質(zhì)．本題分析出以點、、為頂點的三角形與相似，有兩種情況是解決問題的關鍵．2．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，厘米，厘米，動點、分別以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同時開始運動，其中點從點出發(fā)沿邊一直移動到點為止，點從點出發(fā)沿邊一直移動到點為止．經(jīng)過多長時間后，與相似？【答案】或【分析】分和兩種情況討論求解即可．【詳解】解：設兩動點運動時間為，則，，．當時，則有，即，解得：．當時，則有，即，解得：．故答案為：或【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決三角形相似問題時，一定要注意確立好對應關系，題目沒有明確說明的前提下，則需要進行分類討論，三角形比例關系不確定，且有相等夾角時，實際上只需要將相應比例關系順序變換一下即可．3．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學九年級期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．(1)當t為何值時，△APQ與△AOB相似？(2)當t為何值時，△APQ的面積為？【答案】(1)；(2)2或3．【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①當∠PAQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB．利用其對應邊成比例解t；②當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB，利用其對應邊成比例解得t．（2）過點Q作QE垂直AO于點E，利用QEBO證明△AEQ∽△AOB，從而得到，從而得出==，再利用三角形面積解得t即可．（1）解：由AO=6，BO=8，，所以，所以AP=t，AQ=，①當∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB所以，所以，解得(秒)②當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB所以，所以解得(秒)∴當t為或時，△AQP與△AOB相似．（2）過點Q作QE⊥AO于點E，∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QEBO，∴△AEQ∽△AOB，∴∴==，=解得：∴當t=2或3時，△APQ的面積為個平方單位．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)值，解直角三角形等知識點，有一定的拔高難度，屬于難題．【考點二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）在矩形中，，，點在邊上．且，是射線ED上的一個動點．若是等腰直角三角形，則的長為．【答案】或【分析】如圖1，當時，如圖2，當時，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，，過P作PQLBC于Q，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結論．【詳解】如圖1，當時，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，過作于，，在與中，，，，，，；如圖2，當時，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，過作于，，在與中，，，，，，；綜上所述，的長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）矩形中，，，點E是的動點，若，則的長為．【答案】2或8【分析】由矩形的性質(zhì)，垂直的定義推出，即可證明，得到，設，列出關于x的方程，求出x的值即可．【詳解】解：設，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，整理得，∴或8，∴的長是2或8．故答案為：2或8．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，關鍵是由條件證明，并注意有兩個答案．2．（2023春·江蘇無錫·八年級宜興市實驗中學?？茧A段練習）如圖，在矩形中，，，連接，點M，N分別是邊，上的動點，連接，將沿折疊，使點C的對應點P始終落在上，當為直角三角形時，線段的長為．【答案】或【分析】分兩種情形：如圖1中，當時，四邊形是正方形，設．證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可；如圖2中，當時，點N與D重合，設．利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖1中，當時，則四邊形是正方形，設．∵，∴，∴，∴，∴，∴；如圖2中，當時，則點N與D重合，設．∵，，，∴，由折疊的性質(zhì)得，∴，∵，∴，∴，∴，綜上所述，的值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形，翻折變換等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．3．（2023·江蘇鹽城·校考一模）如圖，在中，，，，點是邊上一動點，過點作交邊于點，將沿直線翻折，點落在線段上的處，連接，當為等腰三角形時，的長為．【答案】或或【分析】由翻折變換的性質(zhì)得：，設，則；分三種情況討論：①時，②當時，在的垂直平分線上，③當時，作于，得出，根據(jù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由翻折變換的性質(zhì)得：，，，，∴，設，則；分三種情況討論：①時，，解得：，；②當時，在的垂直平分線上，為的中點，，，解得：，；③當時，作于，如圖所示：則，，又，，，，即，解得：；綜上所述：當為等腰三角形時，的長為：或或；故答案為：或或．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關鍵．4．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點E在邊上，且，點P是直線上的一個動點．若是直角三角形，則的長為．【答案】或或6【分析】通過直角三角形未確定直角分三種情況進行討論，利用互余關系，得到三角形相似，得到邊長比例關系進行求解即可．【詳解】解：是直角三角形，有以下3種情況：①如圖1，，∴，∵矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②如圖2，，∵，同理得到，∴，∴，；③如圖3，，設，則，同理得：，∴，∴，∴；綜上的長是或或，故答案為或或．【點睛】本題考查直角三角形的相似問題，在不確定直角的情況下需要分類討論分類計算，靈活利用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．【考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】例題：（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點P是邊上的動點，過點P作交于點H，則的最小值為．

【答案】【分析】作點C關于的對稱點，與交于點D，則垂直平分，，由勾股定理可求得，根據(jù)三角形的面積可求得解得，，過點作，交于點H，交于點P，則，，可知此時有最小值，最小值為，再根據(jù)相似三角形的判定，可證得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖：作點C關于的對稱點，與交于點D，則垂直平分，，由勾股定理得：，，，，解得，，過點作，交于點H，交于點P，

則，，，此時，，有最小值，最小值為，，，又，，，得，解得，故的最小值為．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，點E是邊的中點，將沿翻折得，點F落在四邊形內(nèi)，點P是線段上的動點，過點P作，垂足為Q，連接，則的最小值為．【答案】【分析】過點B作于點，交于，過F作于N，交于M，連接，利用矩形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)，結合相似三角形的判定證明，得到，設，，可得，求解可得，由可知，當B，P，Q共線時，最小，即最小，此時Q與重合，P與重合，最小值為的長度，證明得到即可求解．【詳解】解：過點B作于點，交于，過F作于N，交于M，連接，如圖：∵，點E是邊的中點，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵沿翻折得，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∴，，設，，則，，∵，，∴，解得，∴，∵，∴當B，P，Q共線時，最小，即最小，此時Q與重合，P與重合，最小值為的長度，∵，，，∴，∴，∴最小值為的長度，故答案為：．【點睛】本題考查矩形中的翻折問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解二元一次方程組、最短路徑等知識，解題的關鍵是掌握翻折的性質(zhì)，作出輔助線，構造相似三角形．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，矩形中，，，E是BC中點，CD上有一動點M，連接、，將沿著翻折得到，連接，，則的最小值為．

【答案】【分析】取的中點，連接和，沿著翻折得到，，為的中點，，可得到，可證明，可得，故，從而得到，當點三點共線時，有最小值為．【詳解】解：取的中點，連接和，如圖所示：

∵沿著翻折得到，∴，∵，E是BC中點，∴，∴，∵為的中點，∴，∵，,∴，∵，∴，∴，∴，∴，當點三點共線時，有最小值為，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，在中，，∴，則的最小值為．故填：．【點睛】本題考查了矩形和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關鍵．3．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，在正方形中，，E是上的一點，且，F(xiàn)，G是上的動點，且，，連接，當?shù)闹底钚r，的長為．

【答案】3【分析】由勾股定理得，，可知當最小時，的值最小，如圖，以為鄰邊作平行四邊形，則，，，則當三點共線時，最短，證明，則，證明，則，解得，由，可得，設，則，，證明，則，即，計算求解即可．【詳解】解：∵正方形，，，∴，，∵，∴，當最小時，的值最小，如圖，以為鄰邊作平行四邊形，則，，

∴，∴當三點共線時，最短，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，∵，∴，設，則，，∵，，∴，∴，即，解得，故答案為：3．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知，如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點關于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當?shù)闹底钚r，的長為．

【答案】【分析】如圖所示，作點A關于的對稱點F，連接，過點Q作交于G，過點D作且，連接，先證明是等腰直角三角形，得到，由軸對稱的性質(zhì)可得，則，由此可得，，是等腰直角三角形，則；設與y軸交于N，過點E作軸于M，證明，得到，則，，證明四邊形是平行四邊形，得到；證明是等腰直角三角形，得到，則；由軸對稱的性質(zhì)可得，則，，故當最小時，最小，即最小，即當E、F、G三點共線時，最小，求出直線解析式為，同理可得直線的解析式為，則當最小時點P的坐標為，利用勾股定理求出，，則．【詳解】解：如圖所示，作點A關于的對稱點F，連接，過點Q作交于G，過點D作且，連接，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵點F與點A關于直線對稱，∴，∴，∴，，是等腰直角三角形，∴，設與y軸交于N，過點E作軸于M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；由軸對稱的性質(zhì)可得，∴，∴，∵要使最小，即要使最小，∴當最小時，最小，即最小，∴當E、F、G三點共線時，最小，設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立，解得，∴當最小時點P的坐標為，∴，，∴，∴，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判斷，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線確定最小的情形是解題的關鍵．【考點四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】例題：（2023春·河南安陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形一邊在直線l上，P是直線l上點A左側的一點，，E為邊上一動點，過點P，E的直線與正方形的邊交于點F，連接，若設，的面積為S，則能反映S與x之間函數(shù)關系的圖象是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別求出點F在邊上時，點F與點C重合時時，點F在邊上時，S與x之間的函數(shù)關系式，即可求解．【詳解】解：，∴∵四邊形是正方形，∴點F在邊上時，，∴，點F與點C重合時時，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，解得x＝，點F在邊上時，∵，∴，即，∴，∴，∴當時，，當時，，當時，，∴能反映S與x之間函數(shù)關系的圖象是B，故選：B．【點睛】本題考查的是動點圖象問題，涉及到一次函數(shù)、平行線分線段成比例定理，正方形的性質(zhì)，分類思想的利用是解題的關鍵．1．（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）如圖1，在中，，動點從點出發(fā)，沿折線勻速運動至點停止．點的運動速度為，設點的運動時間為（），的長度為（），與的函數(shù)圖像如圖2所示．當恰好平分時，的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作的平分線交于點，先證，再證，利用相似三角形的性質(zhì)得出，即可求得．【詳解】解：如圖1，作的平分線交于點，由題意中的函數(shù)圖像知，，，，平分，，，，，，，，，，，解得：或（舍），，故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關鍵是證明．2．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點P為邊上一動點，過點P作直線，交折線于點Q．設，則y關于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分兩種情況：當點Q在時，當點Q在時，結合相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，當點Q在時，∵直線，∴，∵，∴，∴，即，解得：；當點Q在時，如圖，

∵直線，∴，∵，∴，∴，即，解得：；綜上所述，y關于x的函數(shù)圖象大致是：

故選：B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．3．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動點從點出發(fā)沿方向在和上勻速移動，連接交或的延長線于，記點移動的距離為，為，則關于的函數(shù)圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分三種情況討論得出關于的函數(shù)關系式即可得出答案．【詳解】解：①當點與點重合時，在正方形中，，∴與或的延長線沒有交點，不符合題意；②當點在線段之間（點不與點、點重合），∵四邊形是正方形，，∴，，∴，，∴，∴，∵點移動的距離為，為，∴，，，∴，∴，它的圖像是反比例函數(shù)圖像的一部分；②當點在線段之間（點可與點、點重合），此時點與點重合，∵，，又∵，∴，它的圖像是一條線段；∴動點從點出發(fā)沿方向在和上勻速移動時所對應函數(shù)關系式為：，故選：C．【點睛】本題考查動點問題函數(shù)圖像，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖像．解題的關鍵和難點在于根據(jù)點的位置分情況討論．4．（2023·黑龍江·模擬預測）如圖，已知直線是線段的中垂線，與相交于點C，D是位于直線下方的上的一動點（點D不與點C重合），連接，過點A作，過點B作于點E，若，設，，則y關于x的函數(shù)關系用圖像可以大致表示為（

）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)得，根據(jù)直線是線段的中垂線可得，，再證，然后根據(jù)相似三角形列比例式化簡可得，再結合確定函數(shù)圖像即可即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵直線是線段的中垂線，∴，，，∵，∴，∴，∴∴，即，可得，即函數(shù)圖像為B選項．故選B．【點睛】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖像，證得得到是解答本題的關鍵．【考點五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】例題：（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，矩形的兩邊分別在x軸和y軸上，點B的坐標為，現(xiàn)有兩動點P，Q，點P以每秒3個單位的速度從點O出發(fā)向終點A運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)向終點B運動，連接，，．設運動時間為t秒．

(1)點P的坐標為______，點Q的坐標為______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)請判斷四邊形的面積是否會隨時間t的變化而變化，并說明理由；(3)若A，P，Q為頂點的三角形與相似時，請求出t的值．【答案】(1)，(2)四邊形的面積不會隨時間t的變化而變化，理由見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)題意和坐標與圖形性質(zhì)直接求解即可；（2）根據(jù)求解即可；（3）分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，又點B的坐標為，則點P坐標為，點Q坐標為，故答案為：，；（2）解：四邊形的面積不會隨時間t的變化而變化，理由：∵點B坐標為，四邊形是矩形，∴，，則四邊形的面積；（3）解：當時，∴，即，解得：，當時，∴，即，解得：或（不合題意，舍去），綜上所述：或．【點睛】本題考查坐標與圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，分類討論是解答的關鍵．【變式訓練】1．（2019秋·廣東佛山·九年級佛山市禪城區(qū)瀾石中學校考期中）如圖1，，，，動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向定點運動，同時動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點運動，運動時間為t秒（），連接．

(1)________；__________．(2)若與相似，求的值；(3)連接，如圖2，若，求的值．【答案】(1)，(2)的值為或(3)的值【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出的值，根據(jù)點的運動，即可求解；（2）根據(jù)點的運動，分類討論，①當；②當；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，圖形結合分析即可求解；（3）如圖所示，過點作于點，根據(jù)三角形函數(shù)值的計算分別求出的值，再證，根相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：在，，，∴，∵動點從點到點的速度為每秒，動點從點到點的速度為每秒，運動時間為t秒（），∴，，∴，故答案為：，．（2）解：①當，∴，即，垂足為點，由（1）可知，，，，，∵，∴，即，解得，，符合題意；②當，∴，即，垂足為點，∴，即，解得，，符合題意；綜上所述，與相似，的值為或．（3）解：如圖所示，過點作于點，

在中，，，∵，，，∴在中，，即，，即，∴，∵，，∴，，∴，且，∴，∴，即，解得，或，∵運動時間為t秒（），∴．【點睛】本題主要考查動點與直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的計算方法等知識的綜合，掌握以上知識的靈活運用是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側作正方形，連接，，則與的數(shù)量關系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是從點A運動D點，則點G的運動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

【答案】（1）；（2）．理由見解析；（3）2；（4）【分析】（1）通過證明全等，得到；（2）通過證明得到，，延長相交于點H．可以證明；（3）作于點N，交的延長線于點M，交的延長線于點J，證明，得出，求出，得出點G的運動軌跡是直線，當點E從點A運動到點D的過程中，點G從點J運動到點M，求出結果即可；（4）作點D關于直線的對稱點，連接交于G，根據(jù)兩點之間線段最短，得出此時的值最小，最小值為，根據(jù)，得出，即，從而得出的最小值就是的最小值．【詳解】（1）解：∵正方形，∴，∵正方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；故答案為：；（2）解：．理由如下：延長相交于點H．

∵矩形、矩形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵矩形，∴，∴，，∴，∴；（3）解：作于點N，交的延長線于點M，交的延長線于點J，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴點G的運動軌跡是直線，當點E從點A運動到點D的過程中，點G從點J運動到點M，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴點G的運動路徑長度為2，故答案為：2．（4）解：作點D關于直線的對稱點，連接交于G，如圖所示：

根據(jù)解析（3）可知，點G的運動軌跡是直線，∵，∴，∵兩點之間線段最短，∴此時的值最小，最小值為，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關系來轉化線段的數(shù)量關系求出最小值．【考點六相似三角形中的動點探究應用問題】例題：（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）探究完成以下問題：【初步認識】(1)如圖1，在四邊形中，，連接，，過點作交的延長線于點．求證：；【特例研究】(2)如圖2，若四邊形中，，（1）中的其它條件不變，取，的中點M，F(xiàn)，連接．①求證：；②N為的中點，連接，猜想與的位置關系，并證明你的猜想；【拓展應用】(3)如圖3，在矩形中，對角線，相交于點O，E是射線上一動點，過點作交射線于點，當，，時，請直接寫出的長．

【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②，理由見解析；(3)或4．【分析】（1）根據(jù)題可得、，然后根據(jù)同角的余角相等即可證明結論；（2）①先證明可得，再說明是的中位線可得，再結合即可證明結論；②先說明和都是等腰直角三角形，進而得到，再說明可得可得、，即可得，進而得到即可證明結論；（3）當點E在線段的延長線上時，過點O作于點F，于點H，與交于點K，證明，由相似三角形的性質(zhì)得即可求出的長，進而求得的長；當點E在線段上時，過點O作于點F，于點H，同理解答即可【詳解】（1）證明：，．．，．．

（2）①．，即．，由（1）知，．．∵M，F(xiàn)分別是，的中點，是的中位線．．．②，理由如下：連接，，由①知，，．，，∴和都是等腰直角三角形．，．．又為中點，M為中點，，．．．，．，．．．．．．

（3）解：①如圖：當點E在線段的延長線上時，過點O作于點F，于點H，與交于點K，

,∴∵四邊形是矩形，∴，∴∴四邊形是矩形，,∵，O為的中點，∴，同理：，，，又，∴，∴，即，解得：∴；②如圖：當點E在線段上時，過點O作于點F，于點H，

同理可得，即，解得：，∴．綜上，的長為或4．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，靈活應用相關判定和性質(zhì)定理是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·湖北武漢·?？寄M預測）一次數(shù)學綜合實踐活動課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關于三角形角平分線的一個結論．如圖1，是的角平分線，可以證明【基礎鞏固】（1）參照