2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題01數(shù)列求通項(數(shù)列前n項和Sn法、數(shù)列前n項積Tn法)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題01數(shù)列求通項（法、法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：法：角度1：用，得到 2題型二：法：角度2：將題意中的用替換 3題型三：法：角度3：已知等式中左側(cè)含有： 4題型四：法：角度1：已知和的關(guān)系 5題型五：法：角度2：已知和的關(guān)系 7三、數(shù)列求通項（法、法）專項訓(xùn)練 8一、必備秘籍1對于數(shù)列，前項和記為；①；②②：法歸類角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系用，得到例子：已知，求角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系替換題目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左側(cè)含有：作差法（類似）例子：已知求2對于數(shù)列，前項積記為；①；②①②：法歸類角度1：已知和的關(guān)系角度1：用，得到例子：的前項之積.角度2：已知和的關(guān)系角度1：用替換題目中例子：已知數(shù)列的前n項積為，且.二、典型題型題型一：法：角度1：用，得到1．（23-24高二下·河南南陽·期中）已知數(shù)列的前項和為，且為等差數(shù)列．(1)證明：為等差數(shù)列；2．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知為正項數(shù)列的前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；4．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為(1)求數(shù)列的通項公式；題型二：法：角度2：將題意中的用替換1．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，且當(dāng)時，，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前項和為，，且當(dāng)時．(1)求數(shù)列的通項公式；3．（2023·云南昭通·模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，其前項和為，從①；②，；③中任選一個條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項公式；（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.4．（2023·江西南昌·三模）已知是數(shù)列的前項和，滿足，且.(1)求；題型三：法：角度3：已知等式中左側(cè)含有：1．（2024·河北滄州·一模）在數(shù)列中，已知．(1)求數(shù)列的通項公式；2．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；3．（2024·浙江溫州·二模）數(shù)列滿足：是等比數(shù)列，，且．(1)求；4．（2024·廣西柳州·三模）已知數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項公式；5．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；題型四：法：角度1：已知和的關(guān)系1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是等比數(shù)列，其前項之積，(1)求的通項公式，并求的解集；2．（2023·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為,且滿足,數(shù)列的前項積.(1)求數(shù)列和的通項公式;3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，(2)若數(shù)列的前項積滿足，記，求數(shù)列的前20項和.4．（2023·遼寧·三模）已知數(shù)列的前項的積(1)求數(shù)列的通項公式；5．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列前項和，的前項之積.(1)求與的通項公式.題型五：法：角度2：已知和的關(guān)系1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項的積記為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；2．（23-24高三上·福建寧德·期末）已知為數(shù)列的前項積，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；3．（23-24高一下·貴州遵義·期末）設(shè)是數(shù)列的前項之積，并滿足：.（1）求；（2）證明數(shù)列等差數(shù)列；三、數(shù)列求通項（法、法）專項訓(xùn)練1．（23-24高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）記為數(shù)列的前n項積，已知(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列；2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，滿足．(1)若是數(shù)列的前n項積，求的最大值；3．（2023·福建南平·模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前n項積．已知．(1)求的通項公式；7．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項和為且滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；8．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，，，且當(dāng)時，.(1)求；9．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；10．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，其前項和為，從①；②，且；③中任選一個條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項公式；（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）11．（23-24高三下·山東菏澤·開學(xué)考試）已知正項數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；12．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；13．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；專題01數(shù)列求通項（法、法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：法：角度1：用，得到 2題型二：法：角度2：將題意中的用替換 4題型三：法：角度3：已知等式中左側(cè)含有： 6題型四：法：角度1：已知和的關(guān)系 8題型五：法：角度2：已知和的關(guān)系 12三、數(shù)列求通項（法、法）專項訓(xùn)練 13一、必備秘籍1對于數(shù)列，前項和記為；①；②②：法歸類角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系用，得到例子：已知，求角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系替換題目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左側(cè)含有：作差法（類似）例子：已知求2對于數(shù)列，前項積記為；①；②①②：法歸類角度1：已知和的關(guān)系角度1：用，得到例子：的前項之積.角度2：已知和的關(guān)系角度1：用替換題目中例子：已知數(shù)列的前n項積為，且.二、典型題型題型一：法：角度1：用，得到1．（23-24高二下·河南南陽·期中）已知數(shù)列的前項和為，且為等差數(shù)列．(1)證明：為等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）因為為等差數(shù)列，可設(shè)出的通項公式，然后由前項和求數(shù)列的通項公式，再由等差數(shù)列的概念判斷數(shù)列是等差數(shù)列.【詳解】（1）因為為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，所以，又因為，所以．當(dāng)時，，又因為適合上式，所以．所以，所以為等差數(shù)列．2．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知為正項數(shù)列的前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）已知與的關(guān)系求通項公式，用退位作差，再利用平方差公式進(jìn)行化簡，最后對時進(jìn)行檢驗，得到數(shù)列是等差數(shù)列，從而寫出通項公式；【詳解】（1）由題意知：，即，當(dāng)時，，兩式相減，可得，因為，可得．又因為，當(dāng)時，，即，解得或（舍去），所以（符合），從而，所以數(shù)列表示首項為3，公差為2的等差數(shù)列．所以數(shù)列的通項公式為．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合與之間的關(guān)系可得，利用等差中項可得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求；【詳解】（1）因為，即，則，兩式相減并整理得，則，兩式相減整理得，所以數(shù)列為等差數(shù)列．當(dāng)時，，所以．設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，解得，所以．4．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）由與的關(guān)系，求數(shù)列的通項公式；【詳解】（1）數(shù)列的前n項和為，時，，時，，不符合，所以.題型二：法：角度2：將題意中的用替換1．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，且當(dāng)時，，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）由題意可得，兩邊同時除以（），得，從而得證；【詳解】（1）因為，所以，則，因為，易知，所以，又，所以數(shù)列是首項與公差都為2的等差數(shù)列；2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前項和為，，且當(dāng)時．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）由時，，及條件可得，再由累加法可求出，再由求出.【詳解】（1）因為時，數(shù)列為正項數(shù)列，所以．由累加法得，又，所以，即，故當(dāng)時，，因此．3．（2023·云南昭通·模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，其前項和為，從①；②，；③中任選一個條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項公式；（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.【答案】(1)條件選擇見解析，【分析】（1）選擇條件①②③，利用給定條件并作變形，再結(jié)合求解作答.【詳解】（1）選擇①：因為，則，兩式相減得，即，而，，則，因此數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.選擇②：因為，則，于是當(dāng)時，，即，由，得，即有，因此，，即數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.選擇③：因為，又，則，即，顯然，于是，即是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而，即，因此，而滿足上式，所以.4．（2023·江西南昌·三模）已知是數(shù)列的前項和，滿足，且.(1)求；【答案】(1)【分析】（1）利用化簡式子得到，利用累加法即可求解；【詳解】（1）因為，顯然，所以，即，所以，所以，又當(dāng)時，也滿足，所以.題型三：法：角度3：已知等式中左側(cè)含有：1．（2024·河北滄州·一模）在數(shù)列中，已知．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的前項和求數(shù)列的通項公式，一定要分和討論.【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，.當(dāng)時，上式亦成立，所以：.2．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）由已知求得數(shù)列首項，再根據(jù)數(shù)列遞推式，采用兩式相減的方法，即可求得答案；【詳解】（1）當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，則，也適合該式，故；3．（2024·浙江溫州·二模）數(shù)列滿足：是等比數(shù)列，，且．(1)求；【答案】(1)，【分析】（1）根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義求出的通項公式，由已知和求通項可得的通項公式，【詳解】（1），又，，解得：因為是等比數(shù)列，所以的公比，又當(dāng)時，，作差得：將代入，化簡：，得：是公差的等差數(shù)列，4．（2024·廣西柳州·三模）已知數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系，作差即可求解，【詳解】（1）當(dāng)時，由，得當(dāng)時，兩式相減，得當(dāng)時，綜上可知，5．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）作差法，計算得到，驗證是否成立，進(jìn)而得到數(shù)列的通項公式；【詳解】（1）因為，①當(dāng)時，，②①②得，即．當(dāng)時，也符合上式，所以．題型四：法：角度1：已知和的關(guān)系1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是等比數(shù)列，其前項之積，(1)求的通項公式，并求的解集；【答案】(1)，，【分析】（1）分和兩種情況，結(jié)合題意分析求的通項公式，代入運(yùn)算求解即可；【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)時，也符合上式，綜上，，．令，即，整理得，解得或4，所以的解集為．2．（2023·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為,且滿足,數(shù)列的前項積.(1)求數(shù)列和的通項公式;【答案】(1),【分析】（1）對于數(shù)列,根據(jù),利用和的關(guān)系求解;對于數(shù)列,因為其前項積,根據(jù)即可求解;【詳解】（1）當(dāng)時,,∴,當(dāng)時,,化簡得,∵,∴,∴數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,∴.當(dāng)時,,當(dāng)時,，當(dāng)時也滿足，所以.3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，(2)若數(shù)列的前項積滿足，記，求數(shù)列的前20項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義法判斷即可.（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20項和即可得出答案.【詳解】（1）由題知，是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由，可得：當(dāng)時，，兩式相減得，，故數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由知：當(dāng)時，，又，所以，由（1）設(shè)的公差為，則，由，則，，所以.即數(shù)列的前20項和為.4．（2023·遼寧·三模）已知數(shù)列的前項的積(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）當(dāng)時，，即可求出答案；【詳解】（1），當(dāng)時，.當(dāng)時，，滿足上式，.5．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列前項和，的前項之積.(1)求與的通項公式.【答案】(1)，【分析】（1）根據(jù)，，即可得出答案；【詳解】（1）解：（1）由，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，所以，由，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，所以；題型五：法：角度2：已知和的關(guān)系1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項的積記為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）分類討論與兩種情況，利用遞推式求得與，從而得證；【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，即，易知，則，當(dāng)時，，所以，即，故數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列.2．（23-24高三上·福建寧德·期末）已知為數(shù)列的前項積，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）利用將條件整理變形可得，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列；【詳解】（1）為數(shù)列的前項積，當(dāng)時，，，等式兩邊同時乘以可得，即，又當(dāng)時，，得，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；3．（23-24高一下·貴州遵義·期末）設(shè)是數(shù)列的前項之積，并滿足：.（1）求；（2）證明數(shù)列等差數(shù)列；【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析，（3）證明見解析【分析】（1）由題意結(jié)合遞推關(guān)系可得，；（2）根據(jù)題意利用等差數(shù)列的定義證明即可【詳解】（1）由，且，得，當(dāng)時，，即，，得，當(dāng)時，，即，，得（2）證明：因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以因為所以數(shù)列是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列三、數(shù)列求通項（法、法）專項訓(xùn)練1．（23-24高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）記為數(shù)列的前n項積，已知(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件先確定，得出為等差數(shù)列，進(jìn)而求出通項公式，進(jìn)而求出，由定義法即可判斷數(shù)列是等差數(shù)列；【詳解】（1）因為，時，有，為數(shù)列的前n項積，所以，代入上式有；又由，有，所以，即，，所以，所以為首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，，代入，解得：，，所以數(shù)列是等差數(shù)列.2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，滿足．(1)若是數(shù)列的前n項積，求的最大值；【答案】(1)【分析】（1）先根據(jù)前n項和與通項的關(guān)系求出的通項公式，表示出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案；【詳解】（1）當(dāng)時，．當(dāng)時，，解得①．因為滿足①式，所以，則，所以為等比數(shù)列，公比為，所以．又因為當(dāng)或時，取最大值55，所以的最大值為．3．（2023·福建南平·模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前n項積．已知．(1)求的通項公式；【答案】(1)；【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合前n項積的意義求解作答.【詳解】（1）依題意，是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時，有，兩式相除得，，顯然，即，因此當(dāng)時，，即，所以數(shù)列的通項公式.4．（22-23高二上·山東威海·期末）設(shè)為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．(1)求，；(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)；(2)證明見解析(3)【分析】（1）直接令中的，可得答案；（2）通過得到，兩式相除整理后可證明數(shù)列為等差數(shù)列；（3）當(dāng)時，通過可得數(shù)列的通項公式，注意驗證時是否符合.【詳解】（1）由，且，當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，得；（2）對于①，當(dāng)時，②，①②得，即，，又，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；（3）由（2）得，，當(dāng)時，，又時，，不符合，.5．（22-23高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）為數(shù)列的前n項積，且．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由與的關(guān)系，把已知式中換成的關(guān)系式，然后可配出等比數(shù)列的比值；（2）由（1）求得后，代入已知可得或由與的關(guān)系求解．【詳解】（1）證明：由已知條件知

①,于是．

②,由①②得．

③

，又

④，由③④得，所以，令，由，得，，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．，法1：時，，又符合上式，所以；法2：將代回得：．6．（22-23高三上·河北邢臺·開學(xué)考試）數(shù)列的前n項積.數(shù)列的前n項和.(1)求數(shù)列、的通項公式.【答案】(1)，，【分析】（1）利用求，利用求，注意的求法；【詳解】（1）前n項積為，①n＝1時，，②時，，，符合上式，∴，，.的前n項和為，①n＝1時，，②時，，，符合上式，∴，；7．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前