2025年高考數(shù)學復習解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題03利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性問題(含參討論問題)練習(學生版+解析)

專題03利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性問題（含參討論問題）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：導函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型） 2題型二：導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型 4題型三：導函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型 5三、專項訓練 6一、必備秘籍一、含參問題討論單調性第一步：求的定義域第二步：求（導函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導函數(shù)有效部分，記為對于進行求導得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負.第四步：確定導函數(shù)有效部分的類型：1、導函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）借助導函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①令，確定其零點，并在軸上標出②觀察的單調性，③根據(jù)①②畫出草圖2、導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型借助導函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①對因式分解，令，確定其零點，并在軸上標出這兩個零點②觀察的開口方向，③根據(jù)①②畫出草圖3、導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型①對，求②分類討論③對于，利用求根公式求的兩根，④判斷兩根，是否在定義域內：對稱軸+端點正負⑤畫出草圖二、含參問題討論單調性的原則1、最高項系數(shù)含參，從0開始討論2、兩根大小不確定，從兩根相等開始討論3、考慮根是否在定義域內二、典型題型題型一：導函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）1．（23-24高二下·山東濰坊·期中）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調性.2．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數(shù).(1)若的圖象在點處的切線與直線垂直，求的值;(2)討論的單調性與極值.3．（23-24高二下·山西長治·階段練習）已知函數(shù).(1)討論的單調性；4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；題型二：導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型1．（23-24高二下·山東·階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調性．2．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調性；3．（23-24高二下·四川南充·期中）已知函數(shù)．(1)當時，求的在上的最大值和最小值；(2)當時，求的單調區(qū)間．4．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，其中為自然對數(shù)底數(shù)(1)討論函數(shù)的單調性；題型三：導函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型1．（23-24高二下·四川內江·階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，討論函數(shù)的單調性；2．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)試討論的單調性；4．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調性.三、專項訓練1．（2024·浙江紹興·模擬預測）已知，.(1)討論的單調性.2．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)討論函數(shù)的單調性．6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，，討論的單調區(qū)間.7．（2024高三·全國·專題練習）已知．求的單調區(qū)間；8．（2023高二上·江蘇·專題練習）已知函數(shù)，，討論函數(shù)的單調性.9．（2023高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論的單調性．10．（22-23高二下·江西宜春·階段練習）已知函數(shù)，其中.(1)若在處取得極值，求a的值；(2)當時，討論的單調性．專題03利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性問題（含參討論問題）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：導函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型） 2題型二：導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型 5題型三：導函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型 8三、專項訓練 11一、必備秘籍一、含參問題討論單調性第一步：求的定義域第二步：求（導函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導函數(shù)有效部分，記為對于進行求導得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負.第四步：確定導函數(shù)有效部分的類型：1、導函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）借助導函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①令，確定其零點，并在軸上標出②觀察的單調性，③根據(jù)①②畫出草圖2、導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型借助導函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①對因式分解，令，確定其零點，并在軸上標出這兩個零點②觀察的開口方向，③根據(jù)①②畫出草圖3、導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型①對，求②分類討論③對于，利用求根公式求的兩根，④判斷兩根，是否在定義域內：對稱軸+端點正負⑤畫出草圖二、含參問題討論單調性的原則1、最高項系數(shù)含參，從0開始討論2、兩根大小不確定，從兩根相等開始討論3、考慮根是否在定義域內二、典型題型題型一：導函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）1．（23-24高二下·山東濰坊·期中）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調性.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調區(qū)間.【詳解】（1）當時，則，所以，因為，即切點為，所以切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域為，又，當時，恒成立，函數(shù)在上單調遞增；當時，則當時，當時，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；綜上可得：當時在上單調遞增；當時在上單調遞增，在上單調遞減.2．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數(shù).(1)若的圖象在點處的切線與直線垂直，求的值;(2)討論的單調性與極值.【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】（1）求導，根據(jù)直線垂直可得，即可求解，（2）求導，對進行討論，判斷導函數(shù)的正負，即可得函數(shù)的單調性和極值.【詳解】（1）由題得，的定義域為..

的圖象在點處的切線與直線l:垂直，，

解得.（2）由（1）知.①當時，恒成立.在上為減函數(shù)，此時無極值;

②當時，由，得，由，得，

在上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值為，無極大值.

綜上可得，當時，在上為減函數(shù)，無極值;當時，在上單調遞減，在上單調遞增.的極小值為，無極大值.3．（23-24高二下·山西長治·階段練習）已知函數(shù).(1)討論的單調性；【答案】(1)當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【分析】（1）求導，分類討論導函數(shù)的正負即可求解單調性，【詳解】（1）的定義域為，當時，在上恒成立，所以在上單調遞減，當時，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；【答案】(1)答案見解析；【詳解】（1）的定義域為，．若，則，在上單調遞減：若，則由得，當時，；當時，；故在上單調遞減，在上單調遞增；故當時，在上單調遞減：當時，在上單調遞減，在上單調遞增；題型二：導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型1．（23-24高二下·山東·階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調性．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合，的值，即可求得結果；（2）求得，對參數(shù)分類討論，利用導數(shù)研究的根的大小，結合與函數(shù)單調性的關系，即可求得函數(shù)單調性.【詳解】（1）當時，，，，，故在處的切線方程為：，即.（2）由題意可知：的定義域為，且，（?。┤簦瑒t在上恒成立，當，則；當，則；可知在上單調遞增，在上單調遞減；（ⅱ）若，令，則或，①當，即，則在上恒成立，當，則；當，則；可知在上單調遞減，在上單調遞增；②當，即時，當或，則；當，則；可知在上單調遞增，在上單調遞減；③當，即時，則在上恒成立，可知在上單調遞增；④當，即時，當或，則；當，則；可知在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述：若，在上單調遞增，在上單調遞減；若，在上單調遞減，在上單調遞增；若，在上單調遞增，在上單調遞減；若，在上單調遞增；若時，在上單調遞增，在上單調遞減.2．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）對函數(shù)求導，根據(jù)的不同范圍，分別求出函數(shù)的單調性；【詳解】（1），①當時，令，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減；②當時，令，解得或，當和時，，單調遞減；當時，，單調遞增；③當時，令，解得或，i)當時，即時，當和時，，單調遞增；當時，，單調遞減；ii)當時，即時，當和時，，單調遞增；當時，，單調遞減；iii)當時，即時，，在上單調遞增；綜上所述，當時，在和單調遞減，在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在和單調遞增，在單調遞減；當時，在和時單調遞增；在單調遞減．3．（23-24高二下·四川南充·期中）已知函數(shù)．(1)當時，求的在上的最大值和最小值；(2)當時，求的單調區(qū)間．【答案】(1)最大值為9，最小值為；(2)單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.【分析】（1）求導可得，令即可得出單調區(qū)間，進而求出最大、小值.（2）求導可得，按確定的零點大小求出單調區(qū)間.【詳解】（1）當時，函數(shù)，求導得，由，得；由，得或，因此函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以在上的最大值為9，最小值為.（2）函數(shù)的定義域為R，求導得，令，解得或，當時，，則；，所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.4．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，其中為自然對數(shù)底數(shù)(1)討論函數(shù)的單調性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求導可得，分和兩種情況，利用導數(shù)判斷原函數(shù)單調性；【詳解】（1）由題意可得：，因為，則，①當時，則在內恒成立，可知，則在上單調遞增；②當時，令，解得；令，解得；則在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.題型三：導函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型1．（23-24高二下·四川內江·階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，討論函數(shù)的單調性；【答案】(1)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，結合二次函數(shù)的性質求出函數(shù)的單調區(qū)間；【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，又，二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為，當時，所以關于的方程異號的兩個實數(shù)根，解得或，所以當時，當時，所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.2．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）討論的正負，從而根據(jù)導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性即可；【詳解】（1）因為，所以，當時，，故恒成立，所以；當時，令，解得（舍去負根），令，得，此時單調遞增；令，得，此時單調遞減．綜上所述：當時，在上單調遞減;當時，在上單調遞減，在上單調遞增．3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)試討論的單調性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求導數(shù)，分類討論，根據(jù)導數(shù)的符號判斷單調性；【詳解】（1）.當時，，則在上單調遞減．當時，令，得(負值舍去)，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增．綜上，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．4．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調性.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）借助導數(shù)的幾何意義計算即可得；（2）結合二次函數(shù)的性質，對分類討論計算即可得.【詳解】（1）時，，，所求切線方程為，整理得：；（2），因為，故時，在上單調遞增，當時，對于，若，則，此時在上單調遞增，若，令，得，時，單調遞增；時，單調遞增；時，單調遞減；綜上所述：時，在上單調遞增；時，在、上單調遞增，在上單調遞減.三、專項訓練1．（2024·浙江紹興·模擬預測）已知，.(1)討論的單調性.【答案】(1)當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【分析】（1）對求導數(shù)，然后分類討論即可；【詳解】（1）由，知.當時，有，所以在上單調遞減；當時，對有，對有，所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.2．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)討論函數(shù)的單調性．【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)答案見解析.【分析】（1）求導，利用導數(shù)研究函數(shù)在的單調性，求極值和區(qū)間端點函數(shù)值，即可求解；（2）對函數(shù)求導，根據(jù)未知數(shù)的不同范圍，分別求出函數(shù)單調性.【詳解】（1）當時，，則，令，得或，由于，所以當，，在單調遞減，所以當，，在單調遞增，所以在時取到極小值，且，又因為，，綜上，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.（2）因為，所以，當，即時，，在單調遞增，當，即時，令，則，所以當，，在單調遞增，當，，在單調遞減，當，，在單調遞增.綜上所述，當時，在單調遞增，當時，在，單調遞增，在單調遞減.3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論的單調性.【答案】答案見解析【分析】求導得，分、、、討論可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，①當，即時，由，得，由，得，因此在上單調遞增，在上單調遞減；②當，即時，由，得或，由，得，因此在，上單調遞增，在上單調遞減；③當，即時，恒成立，因此在上單調遞增；④當，即時，由，得或，由，得，因此在，上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減．4．（23-24高二下·全國·課前預習）已知函數(shù)，,討論的單調性.【答案】答案見解析【分析】對函數(shù)求導后，將導函數(shù)中含參數(shù)的二次函數(shù)的分子取為，結合其圖象，對其對應方程的判別式分別討論，得到不同區(qū)間上導函數(shù)的符號，即得函數(shù)單調性.【詳解】由題得，其中，令，，其圖象對稱軸為直線，．①若，則，此時，則，所以在上單調遞增；②若，則，此時在R上有兩個根，，且，當時，，則，單調遞增；當時，，則，單調遞減；當時，，則，單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，，討論的單調性.【答案】答案見解析.【分析】求函數(shù)的導數(shù)，討論參數(shù)a，結合導數(shù)的符號判斷函數(shù)單調性即可.【詳解】依題意，若，則，當時，當時.若，令，，令，解得或.若，則；若，則；若且，令，得，.若，則，當時，當時，當時；若，則，當時，當時，當時.綜上所述：時在R上單調遞增；時在和上單調遞增，在上單調遞減；時在上