2024年高考數(shù)學(xué)學(xué)霸糾錯(cuò)筆記概率含解析

忽視概率加法公式的應(yīng)用前提致錯(cuò)某商店日收入(單位：元)在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示：日收入[1000,1500)[1500,2000)[2000,2500)[2500,3000)概率0.12ab0.14已知日收入在[1000,3000)(元)范圍內(nèi)的概率為0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范圍內(nèi)的概率.【錯(cuò)解】記這個(gè)商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000)(元)范圍內(nèi)的事務(wù)分別為A,B,C,D,則日收入在[1500,3000)(元)范圍內(nèi)的事務(wù)為B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.【錯(cuò)因分析】誤用P(B+C+D)=1-P(A).事實(shí)上,本題中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事務(wù)A與事務(wù)B+C+D并不是對(duì)立事務(wù).【試題解析】因?yàn)槭聞?wù)A,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.在應(yīng)用概率加法公式時(shí)，肯定要留意其應(yīng)用的前提是涉及的事務(wù)是互斥事務(wù).對(duì)于事務(wù)A，B，有，只有當(dāng)事務(wù)A，B互斥時(shí)，等號(hào)才成立.1．已知射手甲射擊一次，命中9環(huán)（含9環(huán)）以上的概率為0.56，命中8環(huán)的概率為0.22，命中7環(huán)的概率為0.12．（1）求甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率；（2）求甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率.【答案】（1）甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率是0.22．（2）甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率為0.9【解析】記“甲射擊一次，命中7環(huán)以下”為事務(wù)A，則P（A）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1，“甲射擊一次，命中7環(huán)”為事務(wù)B，則P（B）＝0.12，由于在一次射擊中，A與B不行能同時(shí)發(fā)生，故A與B是互斥事務(wù)，（1）“甲射擊一次，命中不足8環(huán)”的事務(wù)為A+B，由互斥事務(wù)的概率加法公式，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.1+0.12＝0.22．答：甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率是0.22．（2）方法1：記“甲射擊一次，命中8環(huán)”為事務(wù)C，“甲射擊一次，命中9環(huán)（含9環(huán)）以上”為事務(wù)D，則“甲射擊一次，至少命中7環(huán)”的事務(wù)為B+C+D，∴P（B+C+D）＝P（B）+P（C）+P（D）＝0.12+0.22+0.56＝0.9．答：甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率為0.9．方法2：∵“甲射擊一次，至少命中7環(huán)”為事務(wù)，∴1﹣0.1＝0.9．答：甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率為0.9．【名師點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要細(xì)致審題，細(xì)致解答，留意合理地運(yùn)用對(duì)立事務(wù)的概率的求法．混淆“等可能”與“非等可能”從5名男生和3名女生中任選1人去參與演講競(jìng)賽,求選中女生的概率.【錯(cuò)解】從8人中選出1人的結(jié)果有“男生”“女生”兩種,則選中女生的概率為12【錯(cuò)因分析】因?yàn)槟猩藬?shù)多于女生人數(shù),所以選中男生的機(jī)會(huì)大于選中女生的機(jī)會(huì),它們不是等可能的.【試題解析】選出1人的全部可能的結(jié)果有8種,即共有8個(gè)基本領(lǐng)件,其中選中女生的基本領(lǐng)件有3個(gè),故選中女生的概率為38利用古典概型的概率公式求解時(shí)，留意需滿(mǎn)意兩個(gè)條件：（1）全部的基本領(lǐng)件只有有限個(gè)；（2）試驗(yàn)的每個(gè)基本領(lǐng)件是等可能發(fā)生的.2．2024年中國(guó)北京世界園藝博覽會(huì)于4月29日至10月7日在北京市延慶區(qū)舉辦．假如小明從中國(guó)館、國(guó)際館、植物館、生活體驗(yàn)館四個(gè)展館中隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)行參觀(guān)，那么他選擇的展館恰為中國(guó)館的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】可能出現(xiàn)的選擇有種，滿(mǎn)意條件要求的種數(shù)為種，則，故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用古典概型完成隨機(jī)事務(wù)的概率的求解，難度較易.古典概型的概率計(jì)算公式：（目標(biāo)事務(wù)的數(shù)量）（基本領(lǐng)件的總數(shù)）.幾何概型中測(cè)度的選取不正確 在等腰直角三角形ABC中,直角頂點(diǎn)為C．（1）在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求AM<AC的概率;（2）在∠ACB的內(nèi)部,以C為端點(diǎn)任作一條射線(xiàn)CM,與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M,求AM<AC的概率.【錯(cuò)解】（1）如圖所示,在AB上取一點(diǎn)C',使AC'=AC,連接CC'.由題意,知AB=2AC．由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的,所以點(diǎn)M等可能分布在線(xiàn)段AB上,因此基本領(lǐng)件的區(qū)域應(yīng)是線(xiàn)段AB．所以.（2）在∠ACB的內(nèi)部作射線(xiàn)，則所求概率為.【錯(cuò)因分析】第（2）問(wèn)的解析中錯(cuò)誤的緣由在于選擇的視察角度不正確，因?yàn)樵凇螦CB的內(nèi)部作射線(xiàn)是勻稱(chēng)分布的，所以射線(xiàn)作在任何位置都是等可能的，則涉及的測(cè)度應(yīng)當(dāng)是角度而不是長(zhǎng)度.【試題解析】（1）如圖所示,在AB上取一點(diǎn)C',使AC'=AC,連接CC'.由題意,知AB=2AC．由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的,所以點(diǎn)M等可能分布在線(xiàn)段AB上,因此基本領(lǐng)件的區(qū)域應(yīng)是線(xiàn)段AB．所以.（2）由于在∠ACB內(nèi)作射線(xiàn)CM,等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示),因此基本領(lǐng)件的區(qū)域應(yīng)是∠ACB,又，，所以.對(duì)一個(gè)詳細(xì)問(wèn)題，可以將其幾何化，如建立坐標(biāo)系將試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對(duì)應(yīng)，然后利用幾何概型概率公式．(1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在坐標(biāo)軸上即可；(2)若一個(gè)隨機(jī)事務(wù)須要用兩個(gè)變量來(lái)描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示它的基本領(lǐng)件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順當(dāng)?shù)亟⑴c面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個(gè)隨機(jī)事務(wù)須要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本領(lǐng)件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型．3．如圖，在直角梯形中，，是的中點(diǎn)，若在直角梯形中投擲一點(diǎn)，則以，，2為三邊構(gòu)成的三角形為鈍角三角形的概率為A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，得，，故為三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，以，，2為三邊構(gòu)成的三角形為鈍角三角形，，即以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，，故選C.(1)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)；(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本領(lǐng)件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問(wèn)題；(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問(wèn)題．一、隨機(jī)事務(wù)與概率1．事務(wù)關(guān)系的推斷方法對(duì)互斥事務(wù)要把握住不能同時(shí)發(fā)生，而對(duì)于對(duì)立事務(wù)除不能同時(shí)發(fā)生外，其并事務(wù)應(yīng)為必定事務(wù)，這些也可類(lèi)比集合進(jìn)行理解，詳細(xì)應(yīng)用時(shí)，可把全部試驗(yàn)結(jié)果寫(xiě)出來(lái)，看所求事務(wù)包含哪些試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事務(wù)的關(guān)系．2．基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)的計(jì)算方法(1)列舉法；(2)列表法；(3)利用樹(shù)狀圖列舉.3．求互斥事務(wù)概率的兩種方法(1)干脆求法：將所求事務(wù)分解為一些彼此互斥的事務(wù)的和，運(yùn)用互斥事務(wù)概率的加法公式計(jì)算．(2)間接求法：先求此事務(wù)的對(duì)立事務(wù)，再用公式P(A)＝1－求得，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特殊是“至多”“至少”型題目，用間接求法往往會(huì)較簡(jiǎn)便.二、古典概型1．求古典概型的基本步驟(1)算出全部基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)n.(2)求出事務(wù)A包含的全部基本領(lǐng)件數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出P(A)．2．基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)的確定方法(1)列舉法：此法適用于基本領(lǐng)件較少的古典概型．(2)列表法：此法適用于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn)，也可看成是坐標(biāo)法．3．求與古典概型有關(guān)的交匯問(wèn)題的方法解決與古典概型交匯命題的問(wèn)題時(shí)，把相關(guān)的學(xué)問(wèn)轉(zhuǎn)化為事務(wù)，列舉基本領(lǐng)件，求出基本領(lǐng)件和隨機(jī)事務(wù)的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.三、幾何概型1.求解與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型的方法求與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度(角度)．然后求解，要特殊留意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同．解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事務(wù)的區(qū)域(長(zhǎng)度、角度)．2．求解與體積有關(guān)的幾何概型的方法對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事務(wù)的體積(事務(wù)空間)，對(duì)于某些較困難的也可利用其對(duì)立事務(wù)去求．3．求解與面積有關(guān)的幾何概型的方法求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事務(wù)對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可依據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．1．某學(xué)校為了解1000名新生的身體素養(yǎng)，將這些學(xué)生編號(hào)為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn)．若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是A．8號(hào)學(xué)生 B．200號(hào)學(xué)生C．616號(hào)學(xué)生 D．815號(hào)學(xué)生【答案】C【解析】由已知將1000名學(xué)生分成100個(gè)組，每組10名學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣，46號(hào)學(xué)生被抽到，所以第一組抽到6號(hào)，且每組抽到的學(xué)生號(hào)構(gòu)成等差數(shù)列，公差，所以，若，解得，不合題意；若，解得，不合題意；若，則，符合題意；若，則，不合題意．故選C．2．生物試驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．【答案】B【分析】首先用列舉法寫(xiě)出全部基本領(lǐng)件，從中確定符合條件的基本領(lǐng)件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計(jì)算公式即可求解．【解析】設(shè)其中做過(guò)測(cè)試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的全部取法有，，共10種．其中恰有2只做過(guò)測(cè)試的取法有，共6種，所以恰有2只做過(guò)測(cè)試的概率為，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，留意了基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、基本計(jì)算實(shí)力的考查．應(yīng)用列舉法寫(xiě)出全部基本領(lǐng)件過(guò)程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用“樹(shù)圖法”，可最大限度的避開(kāi)出錯(cuò)．3．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B．C． D．【答案】C【解析】不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，因?yàn)?，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為.故選C.【名師點(diǎn)睛】先確定不超過(guò)30的素?cái)?shù)，再確定兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的取法，最終依據(jù)古典概型概率公式求概率.古典概型中基本領(lǐng)件數(shù)的探求方法：(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為困難的問(wèn)題中的基本領(lǐng)件的探求.對(duì)于基本領(lǐng)件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)分的題目，常采納樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本領(lǐng)件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把困難的題目簡(jiǎn)潔化、抽象的題目詳細(xì)化.4．一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個(gè)，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75【答案】D【解析】因?yàn)閺闹忻?個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因?yàn)閺暮凶又忻?個(gè)球?yàn)楹谇蚧蚣t球?yàn)榛コ馐聞?wù)，所以摸出黑球或紅球的概率，故選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了兩個(gè)互斥事務(wù)的和事務(wù)，其概率公式，屬于中檔題.5．在一項(xiàng)自“一帶一路”沿線(xiàn)20國(guó)青年參與的評(píng)比中“高鐵”、“支付寶”、“共享單車(chē)”和“網(wǎng)購(gòu)”被稱(chēng)作中國(guó)“新四大獨(dú)創(chuàng)”，曾以古代“四大獨(dú)創(chuàng)”推動(dòng)世界進(jìn)步的中國(guó)，正再次以科技創(chuàng)新向世界展示自己的發(fā)展理念．某班假期分為四個(gè)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組，分別對(duì)“新四大獨(dú)創(chuàng)”對(duì)人們生活的影響進(jìn)行調(diào)查．于開(kāi)學(xué)進(jìn)行溝通報(bào)告,四個(gè)小組隨機(jī)排序，則“支付寶”小組和“網(wǎng)購(gòu)”小組不相鄰的概率為A． B． C． D．【答案】D【解析】將“支付寶”小組，“網(wǎng)購(gòu)”小組，“高鐵”小組，“共享單車(chē)”小組分別記為，，，．則四個(gè)小組隨機(jī)排序的全部狀況有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共24種，其中“支付寶”小組與“網(wǎng)購(gòu)”小組不相鄰的有12種，由古典概型的概率公式得所求概率為．故選：D．6．已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%，現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計(jì)小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率，先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定2，4，6，8表示命中十環(huán)，0，1，3，5，7，9表示未命中十環(huán)，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965據(jù)此估計(jì)，小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率為A．0.25 B．0.30 C．0.35 D．0.40【答案】B【解析】由題意知模擬三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三次射擊恰有兩次命中的有：421、292、274、632、478、663，共6組隨機(jī)數(shù)，∴所求概率為，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查模擬方法估計(jì)概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解這種題目的主要依據(jù)是等可能事務(wù)的概率，留意列舉法在本題的應(yīng)用．7．傳聞戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,齊王與田忌各有上等,中等,下等三匹馬,且同等級(jí)的馬中,齊王的馬比田忌的馬強(qiáng),但田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強(qiáng).有一天,齊王要與田忌賽馬,雙方約定:競(jìng)賽三局,每局各出一匹馬,每匹馬賽一次,贏得兩局者為勝.假如齊王將馬按上,中,下等馬的依次出陣,而田忌的馬隨機(jī)出陣競(jìng)賽,則田忌獲勝的概率是A．12 B．1C．16 D．【答案】C【解析】由題可得,賽馬的對(duì)陣方式有A33=6種,其中滿(mǎn)意條件的有1種,故選C．8．有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為圓柱下底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于l的概率為A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，得P1＝＝，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－＝.故選B.9．某學(xué)生用隨機(jī)模擬的方法推算圓周率的近似值，在邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，向正方形內(nèi)隨機(jī)投入粒芝麻，（假定這些芝麻全部落入該正方形中）發(fā)覺(jué)有粒芝麻落入圓內(nèi)，則該學(xué)生得到圓周率的近似值為A． B． C． D．【答案】B【解析】邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓的半徑為，圓的面積為，正方形的面積為，由幾何概型的概率公式可得，得，因此，該學(xué)生得到圓周率的近似值為，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查利用隨機(jī)模擬思想求圓周率的近似值，解題的關(guān)鍵就是利用概率相等結(jié)合幾何概型的概率公式列等式求解，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.10．《易經(jīng)》是我國(guó)古代預(yù)料將來(lái)的著作，其中同時(shí)拋擲三枚古錢(qián)幣視察正反面進(jìn)行預(yù)料未知，則拋擲一次時(shí)出現(xiàn)兩枚正面、一枚反面的概率為A． B．C． D．【答案】C【解析】拋擲三枚古錢(qián)幣出現(xiàn)的基本領(lǐng)件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8種，其中出現(xiàn)兩正一反的共有3種，故所求概率為．故選C．11．運(yùn)行如圖所示的程序框圖,設(shè)輸出數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為A,從集合A中任取一個(gè)元素a,則函數(shù)y=A．37 B．4C．35 D．【答案】C【解析】該程序的運(yùn)行過(guò)程如下:x=-3,輸出y=3;x=-2,輸出y=0;x=-1,輸出y=-1;x=0,輸出y=0;x=1,輸出y=3;x=2,輸出y=8;x=3,輸出y=15,程序結(jié)束,故A={3,0,-1,8,15},其中有3個(gè)正元素,可使得函數(shù)y=xa,x∈0,+故選C.12．設(shè)函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0，e]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是A． B．1﹣ C． D．【答案】B【解析】由題意可得，因?yàn)?，且f(x)=，所以有，所以由幾何概型可得，f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是.故選B．13．下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則A．p1=p2 B．p1=p3C．p2=p3 D．p1=p2+p3【答案】A【解析】設(shè)，則有，從而可以求得的面積為，黑色部分的面積為，其余部分的面積為，所以有，依據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到.故選A.【名師點(diǎn)睛】該題考查的是面積型幾何概型的有關(guān)問(wèn)題，題中須要解決的是概率的大小，依據(jù)面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關(guān)圖形的面積公式求得結(jié)果.首先設(shè)出直角三角形三條邊的長(zhǎng)度，依據(jù)其為直角三角形，從而得到三邊的關(guān)系，之后應(yīng)用相應(yīng)的面積公式求得各個(gè)區(qū)域的面積，依據(jù)其數(shù)值大小，確定其關(guān)系，再利用面積型幾何概型的概率公式確定出p1，p2，p3的關(guān)系，從而求得結(jié)果.14．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，實(shí)行七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)成功時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．依據(jù)前期競(jìng)賽成果，甲隊(duì)的主客場(chǎng)支配依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是______________．【答案】【分析】本題應(yīng)留意分狀況探討，即前五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝的兩種狀況，應(yīng)用獨(dú)立事務(wù)的概率的計(jì)算公式求解．題目有肯定的難度，留意了基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、基本計(jì)算實(shí)力及分類(lèi)探討思想的考查．【解析】前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是綜上所述，甲隊(duì)以獲勝的概率是【名師點(diǎn)睛】由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊(duì)以獲勝的兩種狀況；易錯(cuò)點(diǎn)之三是是否能夠精確計(jì)算．15．我國(guó)高鐵發(fā)展快速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)全部車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為_(kāi)_____________．【答案】【分析】本題考查通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，實(shí)行估算法，利用概率思想解題．【解析】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車(chē)正點(diǎn)數(shù)約為，其中高鐵個(gè)數(shù)為，所以該站全部高鐵平均正點(diǎn)率約為．【名師點(diǎn)睛】本題考查了概率統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，依據(jù)分類(lèi)抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估算出正點(diǎn)列車(chē)數(shù)量與列車(chē)總數(shù)的比值．16．已知向量若，則向量的概率為_(kāi)______.【答案】【解析】若x∈{﹣1，0，1，2}，y∈{﹣1，0，1}，則滿(mǎn)意條件的向量共有4×3=12個(gè)，若向量，則2y﹣x=0，故滿(mǎn)意條件的向量有（0，0），（2，1），共兩個(gè)，故向量的概率P==，故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率計(jì)算公式，駕馭古典概型概率公式：概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵．先求出基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，利用向量平行確定滿(mǎn)意的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，然后代入古典概型概率計(jì)算公式求概率.17．設(shè)集合,,從集合中任取一個(gè)元素,則這個(gè)元素也是集合中元素的概率是__________．【答案】【解析】∵集合A={x|＜2x＜16}=（﹣2，4），=（0，3），∴A∩B={x|0＜x＜3}，∴事務(wù)“x∈A∩B”的概率是.故答案為：.【名師點(diǎn)睛】（1）本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，考查幾何概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的駕馭水平和分析推理實(shí)力.先依據(jù)集合A，B，求出A∩B，再利用長(zhǎng)度型的幾何概型的意義求解即可．（2）幾何概型的解題步驟：首先是推斷事務(wù)是一維問(wèn)題還是二維、三維問(wèn)題（事務(wù)的結(jié)果與一個(gè)變量有關(guān)就是一維的問(wèn)題，與兩個(gè)變量有關(guān)就是二維的問(wèn)題，與三個(gè)變量有關(guān)就是三維的問(wèn)題）；接著，假如是一維的問(wèn)題，先確定試驗(yàn)的全部結(jié)果和事務(wù)構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（角度、弧長(zhǎng)等），最終代公式；假如是二維、三維的問(wèn)題，先設(shè)出二維或三維變量，再列出試驗(yàn)的全部結(jié)果和事務(wù)分別滿(mǎn)意的約束條件，作出兩個(gè)區(qū)域，最終計(jì)算兩個(gè)區(qū)域的面積或體積代公式.18．某班級(jí)體育課實(shí)行了一次“投籃競(jìng)賽”活動(dòng)，為了了解本次投籃競(jìng)賽學(xué)生總體狀況，從中抽取了甲乙兩個(gè)小組樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示．（1）分別求甲乙兩個(gè)小組成果的平均數(shù)與方差；（2）分析比較甲乙兩個(gè)小組的成果；（3）從甲組高于70分的同學(xué)中，隨意抽取2名同學(xué)，求恰好有一名同學(xué)的得分在[80,90）內(nèi)的概率．【答案】（1）x1=68,x2=68;s12（2）甲乙兩個(gè)小組成果相當(dāng);乙組成果比甲組成果更穩(wěn)定．（3）p=2【解析】（1）記甲乙成果的的平均數(shù)分別為x1，xx1x2記甲乙成果的的方差分別為s12，s+=77.5．s+=45．（2）因?yàn)閤1=x因?yàn)閟12>s2（3）由莖葉圖知，甲組高于70分的同學(xué)共4名，有2名在[70,80），記為a1，a2，有2名在[80,90）記為b1任取兩名同學(xué)的基本領(lǐng)件有6個(gè)：（a1,a2），（a1,b1），（a1,b2），（a2,b1），（恰好有一名同學(xué)的得分在[80,90）的基本領(lǐng)件數(shù)共4個(gè)：（a1,b1），（a1,b2），（a2,b所以恰好有一名同學(xué)的得分在[80,90）的概率為p=2【名師點(diǎn)睛】古典概型中基本領(lǐng)件數(shù)的探求方法：（1）列舉法.（2）樹(shù)狀圖法：適合于較為困難的問(wèn)題中的基本領(lǐng)件的探求.對(duì)于基本領(lǐng)件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)分的題目，常采納樹(shù)狀圖法.（3）列表法：適用于多元素基本領(lǐng)件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把困難的題目簡(jiǎn)潔化、抽象的題目詳細(xì)化.19．甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，對(duì)購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客兩家商場(chǎng)的嘉獎(jiǎng)方案如下:甲商場(chǎng):顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示圓盤(pán)，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中兩個(gè)陰影部分均為扇形，且每個(gè)扇形圓心角均為，邊界忽視不計(jì))即為中獎(jiǎng)·乙商場(chǎng):從裝有2個(gè)白球、2個(gè)藍(lán)球和a個(gè)紅球的盒子中一次性摸出1球（這些球除顏色外完全相同），它是紅球的概率是，若從盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2個(gè)相同顏色的球，即為中獎(jiǎng).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）試問(wèn)：購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）;（2）顧客在甲商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大.【解析】（1）依據(jù)隨機(jī)事務(wù)的概率公式，，解得.（2）設(shè)顧客去甲商場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)，指針指向陰影部分為事務(wù)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤(pán)，面積為（為圓盤(pán)的半徑），陰影區(qū)域的面積為.故由幾何概型，得.設(shè)顧客去乙商場(chǎng)一次摸出兩個(gè)相同顏色的球?yàn)槭聞?wù)，記2個(gè)白球?yàn)榘?，白2；2個(gè)紅球?yàn)榧t1、紅2；2個(gè)藍(lán)球?yàn)樗{(lán)1、藍(lán)2.則從盒子中一次性摸出2球，一切可能的結(jié)果有（白1、白2），（白1、紅1）、（白1、紅2），（白1、藍(lán)1），（白1、藍(lán)2）；（白2、紅1），（白2、紅2），（白2、藍(lán)1），（白2、藍(lán)2）；（紅1、藍(lán)1），（紅1、藍(lán)2），（紅2、藍(lán)1），（紅2、藍(lán)2）；（藍(lán)1、藍(lán)2）等共15種；其中摸到的是2個(gè)相同顏色的球有（白1、白2），（紅1、紅2），（藍(lán)1、藍(lán)2）等共3種；故由古典概型，得.因?yàn)?，所以顧客在甲商?chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大.20．電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類(lèi)整理得到下表：電影類(lèi)型第一類(lèi)其次類(lèi)第三類(lèi)第四類(lèi)第五類(lèi)第六類(lèi)電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類(lèi)電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類(lèi)電影的部數(shù)的比值．（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類(lèi)電影的概率；（2）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率；（3）電影公司為增加投資回報(bào)，擬變更投資策略，這將導(dǎo)