2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.1.2全概率公式教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE7.1.2全概率公式新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.結(jié)合古典概型,會利用全概率公式計(jì)算概率.2.了解貝葉斯公式.1.理解全概率公式,學(xué)會利用全概率公式與貝葉斯公式計(jì)算概率.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.敏捷運(yùn)用乘法公式與全概率公式解決問題.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備學(xué)問·素養(yǎng)奠基1.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事務(wù),A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對隨意的事務(wù)B?Ω,有P(B)=QUOTEP(Ai)P(B|Ai).2.貝葉斯公式設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事務(wù),A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對隨意的事務(wù)B?Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)=QUOTE=QUOTE,i=1,2,…,n.1.思維辨析(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)全概率公式中樣本空間Ω中的事務(wù)Ai需滿意的條件為QUOTEAi=Ω.()(2)貝葉斯公式是在視察到事務(wù)B已發(fā)生的條件下,找尋導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)緣由的概率.()提示:(1)×.需滿意的條件為AiAj=?(i≠j),QUOTEAi=Ω,且PQUOTE>0.(2)√.2.已知PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,則PQUOTE=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由乘法公式得,PQUOTE=PQUOTEPQUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.已知A,B為樣本空間Ω中的事務(wù),BA與BQUOTE是互斥的,B=BA+BQUOTE,且PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,則PQUOTE=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由互斥事務(wù)概率的加法公式得,PQUOTE=PQUOTE+PQUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一利用全概率公式求概率角度1全概率公式的應(yīng)用【典例】1號箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,2號箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從1號箱中取出一球放入2號箱,然后從2號箱隨機(jī)取出一球,求從2號箱取出紅球的概率.【思維·引】弄清題意,用全概率公式求解.【解析】設(shè)A:最終從2號箱取出的是紅球,B:從1號箱取出的是紅球,則:PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=1-PQUOTE=QUOTE;PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE;所以PQUOTE=PQUOTE+PQUOTE=PQUOTEPQUOTE+PQUOTEPQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.角度2定理1的應(yīng)用【典例】播種用的小麥種子混有2%的二等種子,1.5%的三等種子,1%的四等種子.已知用一、二、三、四等種子長出的麥穗含有50顆麥粒以上的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,求這批麥種所結(jié)出的麥穗含有50顆麥粒以上的概率.【思維·引】細(xì)研題意,利用定理1解決問題.【解析】設(shè)Bk:從這批種子中任選一顆是k等種子,k=1,2,3,4;設(shè)A:從這批種子中任選一顆結(jié)出的麥穗含有50顆麥粒以上,則PQUOTE=0.02,PQUOTE=0.015,PQUOTE=0.01,PQUOTE=1-0.02-0.015-0.01=0.955,PQUOTE=0.5,PQUOTE=0.15,PQUOTE=0.1,PQUOTE=0.05,由定理1得,PQUOTE=QUOTEPQUOTEPQUOTE=0.955×0.5+0.02×0.15+0.015×0.1+0.01×0.05=0.4825.【素養(yǎng)·探】★本例考查全概率公式的應(yīng)用,同時(shí)考查了數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).本例條件不變,求所結(jié)出的含有50顆麥粒以上麥穗中是一等種子長成的概率.【解析】由典例知PQUOTE=0.4825,所以PQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≈0.9896.【類題·通】全概率公式求概率的關(guān)注點(diǎn)(1)實(shí)質(zhì):為了求困難事務(wù)的概率,往往可以把它分解成若干個(gè)互斥的簡潔事務(wù)之和,然后利用條件概率和乘法公式,求出這些簡潔事務(wù)的概率,最終利用概率可加性,得到最終結(jié)果.(2)應(yīng)用:把事務(wù)B看作某一過程的結(jié)果,把A1,A2,…,An…看作該過程的若干個(gè)緣由,依據(jù)歷史資料,每一緣由發(fā)生的概率(即PQUOTE)已知,而且每一緣由對結(jié)果的影響程度(即PQUOTE)已知,則可用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率(即PQUOTE).【習(xí)練·破】有一批同一型號的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?【解析】設(shè)事務(wù)A為“任取一件為次品”,事務(wù)Bi:任取一件為i廠的產(chǎn)品,i=1,2,3.B1∪B2∪B3=Ω,BiBj=?,i,j=1,2,3,i≠j;P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,P(QUOTEB1)=0.02,P(QUOTEB2)=0.01,P(QUOTEB3)=0.01,由全概率公式得,P(A)=P(QUOTEB1)P(B1)+P(QUOTEB2)P(B2)+P(QUOTEB3)P(B3)=0.02×0.3+0.01×0.5+0.01×0.2=0.013.【加練·固】設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品,其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱,3箱,2箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為0.1,0.2,0.3從這10箱產(chǎn)品中任取一箱,再從這箱中任取一件產(chǎn)品,求取得正品的概率.【解析】設(shè)A為事務(wù)“取得的產(chǎn)品為正品”,B1,B2,B3分別表示“任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的”,由題設(shè)知P(B1)=QUOTE,P(B2)=QUOTE,P(B3)=QUOTE,P(QUOTEB1)=0.9,P(QUOTEB2)=0.8,P(QUOTEB3)=0.7,所以P(A)=QUOTEP(Bi)P(QUOTEBi)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=0.83.類型二利用貝葉斯公式求概率【典例】三部自動的機(jī)器生產(chǎn)同樣的零件,其中機(jī)器甲生產(chǎn)的占40%,機(jī)器乙生產(chǎn)的占25%,機(jī)器丙生產(chǎn)的占35%,已知機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的零件分別有10%、5%和1%不合格,現(xiàn)從總產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個(gè)零件,發(fā)覺是不合格品,求:(1)它是由機(jī)器甲生產(chǎn)出來的概率;(2)它是由哪一部機(jī)器生產(chǎn)出來的可能性大.【思維·引】利用貝葉斯公式分別求出不合格產(chǎn)品是由哪一部機(jī)器產(chǎn)出的概率,比較大小即可.【解析】設(shè)B1,B2,B3分別表示事務(wù):任取的零件為甲、乙、丙機(jī)器生產(chǎn)的,A:抽取的零件是不合格品,由條件知,P(B1)=0.40,P(B2)=0.25,P(B3)=0.35,P(A|B1)=0.10,P(A|B2)=0.05,P(A|B3)=0.01,(1)所求概率為P(B1|A),P(B1|A)=QUOTE≈0.714.(2)類似(1)的計(jì)算可得PQUOTE≈0.223,PQUOTE≈0.063,比較可知是機(jī)器甲生產(chǎn)出來的可能性大.【類題·通】貝葉斯公式的應(yīng)用把事務(wù)B看作某一過程的結(jié)果,把A1,A2,…,An…看作該過程的若干個(gè)緣由,依據(jù)歷史資料,每一緣由發(fā)生的概率即PQUOTE已知,而且每一緣由對結(jié)果的影響程度(即PQUOTE)已知,假如已知事務(wù)B已經(jīng)發(fā)生,要求此時(shí)是由第i個(gè)緣由引起的概率,則用貝葉斯公式(即求PQUOTE).【習(xí)練·破】用血清診斷肝癌,臨床實(shí)踐表明,患肝癌的病人中有95%試驗(yàn)呈陽性,也有2%的非肝癌患者化驗(yàn)呈陽性.若將此法用于人群肝癌普查,設(shè)人群中肝癌患病率0.2%,現(xiàn)某人在普查中化驗(yàn)結(jié)果呈陽性,求此人確患肝癌的概率.【解析】設(shè)A:被化驗(yàn)者確患肝癌癥,B:被化驗(yàn)者結(jié)果呈陽性,則P(B|A)=0.95,P(B|QUOTE)=0.02,P(A)=0.002,P(QUOTE)=1-P(A)=0.998,P(A|B)=QUOTE=QUOTE=QUOTE≈0.087.【加練·固】已知5%的男人和0.25%的女人是色盲患者,現(xiàn)隨機(jī)地選取一人,此人恰為色盲患者,此人是男人的概率是多少?(假設(shè)男人,女人各占人數(shù)的一半)【解析】設(shè)A:選取的人患色盲,設(shè)B:選取的人是男人,則QUOTE:選取的人是女人,依題意得,P(B)=QUOTE,P(AQUOTEP(QUOTE)=QUOTE,P(AQUOTE)=0.0025.依據(jù)貝葉斯公式,所求概率為:P(BQUOTE)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.設(shè)某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號家用電器,第一車間的次品率為0.15,其次車間的次品率為0.12,兩個(gè)車間的成品都混合堆放在一個(gè)倉庫,假設(shè)第1,2車間生產(chǎn)的成品比例為2∶3,今有一客戶從成品倉庫中隨機(jī)提一臺產(chǎn)品,則該產(chǎn)品合格的概率為()A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88【解析】選C.設(shè)B:從倉庫中隨機(jī)提出的一臺是合格品,Ai:提出的一臺是第i車間生產(chǎn)的,i=1,2,則有B=A1B∪A2B,由題意,P(A1)=QUOTE,P(A2)=QUOTE,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88,由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.2.設(shè)某馬路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1,貨車中途停車修理的概率為0.02,客車為0.01,今有一輛汽車中途停車修理,則該汽車是貨車的概率為________.

【解析】設(shè)B:中途停車修理,A1:經(jīng)過的是貨車,A2:經(jīng)過的是客車,則B=A1B∪A2B,由貝葉斯公式有P(A1QUOTE)=QUOTE=QUOTE=0.8.答案:0.83.已知甲袋中有6只紅球,4只白球;乙袋中有8只紅球,6只白球.隨機(jī)取一個(gè)袋子,再從該袋中隨機(jī)取一球,該球是紅球的概率為________.

【解析】記B:該球是紅球,A1:取自甲袋,A2:取自乙袋,已知P(B|A1)=QUOTE,P(B|A2)=QUOTE,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【新情境·新思維】五個(gè)鬮,其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有”字,三