2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何第一節(jié)直線的傾斜角與斜率直線的方程教師文檔教案文北師大版

PAGE第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第150頁[基礎(chǔ)梳理]1．直線的傾斜角(1)定義：(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是：[0，π)．2．直線的斜率條件公式直線的傾斜角θ，且θ≠90°k＝tan__θ直線過點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)3.兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系條件兩直線位置關(guān)系斜率的關(guān)系兩條不重合的直線l1，l2，斜率分別為k1，k2平行k1＝k2k1與k2都不存在垂直k1k2＝－1k1與k2一個為零、另一個不存在4.直線方程的五種形式名稱已知條件方程適用范圍點(diǎn)斜式斜率k與點(diǎn)(x1，y1)y－y1＝k(x－x1)不含直線x＝x1斜截式斜率k與直線在y軸上的截距by＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1(x1＝x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)截距式直線在x軸、y軸上的截距分別為a，beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a≠0，b≠0)不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用5.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1，P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．1．斜率與傾斜角的兩個關(guān)注點(diǎn)(1)傾斜角α的范圍是[0，π)，斜率與傾斜角的函數(shù)關(guān)系為k＝tanα，圖像為：(2)當(dāng)傾斜角為90?時，直線垂直于x軸，斜率不存在．2．直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件為A1A2＋B1B2[四基自測]1．(基礎(chǔ)點(diǎn)：依據(jù)兩點(diǎn)求斜率)過點(diǎn)M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A．1 B．4C．1或3 D.1或4答案：A2．(基礎(chǔ)點(diǎn)：直線的傾斜角與斜率的關(guān)系)直線x＋eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角是()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)答案：D3．(基礎(chǔ)點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式方程)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－2，5)，且斜率為－eq\f(3,4)，則直線l的方程為________．答案：3x＋4y－14＝04．(易錯點(diǎn)：直線的截距概念)過點(diǎn)(5，0)，且在兩軸上的截距之差為2的直線方程為________．答案：3x＋5y－15＝0或7x＋5y－35＝0授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第151頁考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率挖掘1依據(jù)兩點(diǎn)求斜率、傾斜角/自主練透[例1](1)(2024·常州模擬)若ab<0，則過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,b)))與Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，0))的直線PQ的傾斜角的取值范圍是________．[解析]kPQ＝eq\f(－\f(1,b)－0,0－\f(1,a))＝eq\f(a,b)<0，又傾斜角的取值范圍為[0，π)，故直線PQ的傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))(2)(2024·太原模擬)已知點(diǎn)A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l過點(diǎn)P(1，1)且與線段AB有交點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為________．[解析]如圖所示，kPA＝eq\f(1＋3,1－2)＝－4，kPB＝eq\f(1＋2,1＋3)＝eq\f(3,4).要使直線l與線段AB有交點(diǎn)，則有k≥eq\f(3,4)或k≤－4.[答案](－∞，－4]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))挖掘2依據(jù)直線方程求斜率、傾斜角/互動探究[例2](1)直線2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))[解析]直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2·cosα∈[1，eq\r(3)]．設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[1，eq\r(3)]．又θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).[答案]B(2)直線l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的傾斜角大于45°，求a的取值范圍．[解析]當(dāng)a＝－1時，直線l的傾斜角為90°，符合要求；當(dāng)a≠－1時，直線l的斜率為－eq\f(a,a＋1).則有－eq\f(a,a＋1)>1或－eq\f(a,a＋1)<0，解得－1<a<－eq\f(1,2)或a<－1或a>0.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(0，＋∞)．[破題技法]直線傾斜角與斜率的關(guān)系(1)當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))且由0增大到eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))時，k由0增大到＋∞.(2)當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，k也是關(guān)于α的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)α在此區(qū)間內(nèi)由eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))增大到π(α≠π)時，k由－∞趨近于0(k≠0)．(3)任何直線都對應(yīng)著[0，π)內(nèi)的唯一的一個傾斜角，但不是全部的直線都存在斜率．考點(diǎn)二求直線方程挖掘求直線方程的方法/自主練透[例]求適合下列條件的直線方程：(1)求過點(diǎn)(2，1)且在x軸上的截距與在y軸上的截距之和為6的直線方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(－5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程．[解析](1)法一：由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝6，,\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，))解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.故所求直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.法二：設(shè)直線方程為y＝kx＋b，則在x軸上的截距為－eq\f(b,k)，所以b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,k)))＝6，①又直線過點(diǎn)(2，1)，則2k＋b＝1.②由①②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝2.))故所求直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)所求直線方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，將(－5，2)代入所設(shè)方程，解得a＝－eq\f(1,2)，此時，直線方程為x＋2y＋1＝0.當(dāng)直線過原點(diǎn)時，斜率k＝－eq\f(2,5)，直線方程為y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0，綜上可知，所求直線方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.[破題技法]1.求直線方程的方法方法解讀題型干脆法干脆求出直線方程所須要的標(biāo)量適合于直線標(biāo)量易求的題目待定系數(shù)法設(shè)出直線方程形式，待定其中的標(biāo)量適合于條件較多而隱含的題目留意：考慮問題的特別狀況，如斜率不存在的狀況，截距等于零的狀況．2．設(shè)直線方程的常用技巧(1)已知直線縱截距b，常設(shè)其方程為y＝kx＋b(需保證斜率存在)；(2)已知直線橫截距x0，常設(shè)其方程為x＝my＋x0(它不適用于斜率為0的直線)；(3)已知直線過點(diǎn)(x0，y0)，當(dāng)斜率k存在時，常設(shè)其方程為y－y0＝k(x－x0)，當(dāng)斜率k不存在時，則其方程為x＝x0；(4)與直線l：Ax＋By＋C＝0平行的直線可表示為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；(5)與直線l：Ax＋By＋C＝0垂直的直線可表示為Bx－Ay＋C1＝0；(6)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).在本例(2)中，改為“過點(diǎn)A(－5，2)，且與兩坐標(biāo)軸形成的三角形面積為eq\f(9,2)”，求直線方程．解析：設(shè)所求直線在x軸的截距為a，在y軸上的截距為b，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－5,a)＋\f(2,b)＝1,\f(1,2)|ab|＝\f(9,2)))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝－3))，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(15,2),b＝\f(6,5))).∴方程為x＋y＋3＝0或4x＋25y－30＝0.考點(diǎn)三兩條直線的位置關(guān)系挖掘1利用平行、垂直求參數(shù)/自主練透[例1]已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試確定m，n的值，使(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.[解析](1)∵l1∥l2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－16＝0，,－m－2n≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.))即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2時，l1∥l2.(2)當(dāng)且僅當(dāng)2m＋8即m＝0時，l1⊥l2.又－eq\f(n,8)＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8時，l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.1．“a＝0”是“直線l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0與直線l2：2x＋ay－2a－1＝0平行A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)a＝0時，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，故l1∥l2.當(dāng)l1∥l2時，若l1與l2斜率不存在，則a＝0；若l1與l2斜率都存在，則a≠0，有－eq\f(a＋1,a2)＝－eq\f(2,a)且eq\f(3,a2)≠eq\f(2a＋1,a)，解得a∈?，故當(dāng)l1∥l2時，有a＝0.故選C.答案：C2．已知直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，則“a＝1”是“l(fā)1⊥lA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：l1⊥l2的充要條件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，故有(a－1)(a＋1)＝0，解得a＝±1.明顯“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要條件，故選A.答案：A挖掘2利用平行或垂直關(guān)系求直線方程/互動探究[例2](1)已知點(diǎn)P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，則過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1，P2距離相等的直線方程為________．[解析]當(dāng)直線與點(diǎn)P1，P2的連線所在的直線平行時，由直線P1P2的斜率k＝eq\f(3－5,2＋4)＝－eq\f(1,3)，得所求直線的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)直線過線段P1P2的中點(diǎn)時，因為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，4)，所以直線方程為x＝－1.綜上所述，所求直線方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.[答案]x＋3y－5＝0或x＝－1.(2)已知正方形的中心為點(diǎn)M(－1，0)，一條邊所在直線方程是x＋3y－5＝0.求正方形其他三邊所在直線的方程．[解析]如圖，過M作邊AD所在直線x＋3y－5＝0的垂線，垂足為E.|ME|＝eq\f(|（－1）