2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機變量及其分布7.3.1離散型隨機變量的均值教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機變量的均值新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求理解離散型隨機變量的數(shù)字特征.1.理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì),會依據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算)2.駕馭兩點分布的均值.(數(shù)學(xué)運算)3.會利用離散型隨機變量的均值解決一些實際問題.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算)必備學(xué)問·素養(yǎng)奠基1.離散型隨機變量的均值(1)定義:一般地,假如離散型隨機變量X的分布列如表所示:Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=QUOTExipi為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱為期望).(2)意義:均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),反映了隨機變量取值的平均水平.(3)性質(zhì):假如X和Y都是隨機變量,且Y=aX+b(a≠0),則E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.離散型隨機變量的均值和樣本的平均數(shù)相同嗎?提示:不相同.離散型隨機變量的均值是一個常數(shù),它不依靠于樣本的抽取,而樣本平均數(shù)是一個隨機變量,它隨樣本的不同而改變.2.兩點分布的數(shù)學(xué)期望假如隨機變量X聽從兩點分布,那么E(X)=p.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)離散型隨機變量的均值E(X)是一個隨機數(shù)值.()(2)隨機變量的均值相同,則兩個分布也肯定相同.()(3)若X聽從兩點分布,則E(X)=np.()提示:(1)×.離散型隨機變量的均值是一個常數(shù),它不具有隨機性.(2)×.兩個隨機變量的分布相同,則它們的均值肯定相同;反之不肯定成立.(3)×.若X聽從兩點分布,則E(X)=p.2.若隨機變量X的分布列為X-101P則E(X)=()A.0 B.-1 C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.E(X)=(-1)×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=-QUOTE.3.設(shè)E(X)=10,則E(3X+5)=________.

【解析】E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35.答案:35關(guān)鍵實力·素養(yǎng)形成類型一離散型隨機變量的均值公式及性質(zhì)【典例】已知隨機變量X的分布列如表:X-2-1012Pm(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).【思維·引】(1)利用分布列的性質(zhì)求解;(2)利用均值的公式求解;(3)利用均值的性質(zhì)求解.【解析】(1)由隨機變量分布列的性質(zhì),得QUOTE+QUOTE+QUOTE+m+QUOTE=1,解得m=QUOTE.(2)E(X)=(-2)×QUOTE+(-1)×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=-QUOTE.(3)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×QUOTE-3=-QUOTE.【類題·通】對于aX+b型的隨機變量求均值的方法(1)利用均值的性質(zhì)求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;(2)先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解.【習(xí)練·破】1.(2024·浙江高考)一個盒子里有1個紅1個綠2個黃四個相同的球,每次拿一個,不放回,拿出紅球即停,設(shè)拿出黃球的個數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=________;E(ξ)=________.

【解析】由題知,隨機取出紅球的概率為QUOTE,隨機取出綠球的概率為QUOTE,隨機取出黃球的概率為QUOTE,ξ的取值狀況共有0,1,2,P(ξ=0)=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(ξ=1)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(ξ=2)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以E(ξ)=1×QUOTE+2×QUOTE=1.答案:QUOTE12.已知隨機變量X的分布列如表:X-101Pm若ξ=aX+3,且E(ξ)=5,則a的值為________.

【解析】由隨機變量分布列的性質(zhì),得QUOTE+QUOTE+m=1,解得m=QUOTE.E(X)=(-1)×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE.因為E(ξ)=E(aX+3)=aE(X)+3=QUOTEa+3=5,所以a=15.答案:15類型二簡潔的隨機變量的均值角度1利用均值的性質(zhì)求均值【典例】(2024·海淀高二檢測)已知隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=QUOTE,k=0,1,2,則E(3ξ+5)=()A.6 B.8 C.3 D.4【思維·引】先求E(ξ),再利用均值的性質(zhì)求E(3ξ+5).【解析】選B.隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=QUOTE,k=0,1,2.可得E(ξ)=(0+1+2)×QUOTE=1,E(3ξ+5)=3E(ξ)+5=8.【素養(yǎng)·探】本例考查了均值的性質(zhì)在求均值中的應(yīng)用.同時考查了數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).本例中,若已知隨機變量X的分布列為:X-2-11Pa試求E(2X-1).【解析】由題意可知:QUOTE+a+QUOTE=1,可得a=QUOTE,所以E(X)=-2×QUOTE+(-1)×QUOTE+1×QUOTE=-QUOTE.所以E(2X-1)=2E(X)-1=2×QUOTE-1=-2.角度2求隨機變量的均值【典例】已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和.(1)求X的分布列;(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).【思維·引】(1)先確定隨機變量X的取值,再列出分布列.(2)利用分布列計算均值.【解析】(1)由題意得X取3,4,5,6,且P(X=3)=QUOTE=QUOTE,P(X=4)=QUOTE=QUOTE,P(X=5)=QUOTE=QUOTE,P(X=6)=QUOTE=QUOTE.所以X的分布列為X3456P(2)由(1)知E(X)=3·P(X=3)+4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)=QUOTE.【類題·通】關(guān)于離散型隨機變量的均值(1)假如隨機變量聽從兩點分布,則干脆利用兩點分布的均值公式計算.(2)一般地,先求出隨機變量的分布列,再通過分布列計算隨機變量的均值.【習(xí)練·破】盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池,其中混有2節(jié)廢電池.(1)若無放回地每次取一節(jié)電池檢驗,直到取到好電池為止,求抽取次數(shù)X的分布列及期望;(2)若有放回地每次取一節(jié)電池檢驗,求檢驗4次取到好電池次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)由題意,X可取的值為1,2,3,則P(X=1)=QUOTE,P(X=2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE×QUOTE×1=QUOTE.抽取次數(shù)X的分布列為X123PE(X)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=1.5.(2)由題意,每次檢驗取到好電池的概率均為QUOTE,故Y～BQUOTE,則E(X)=4×QUOTE=QUOTE.類型三均值的實際應(yīng)用【典例】某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會影響藥材品質(zhì),基地收益如表所示:周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元若基地額外聘請工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù).無雨時收益為20萬元;有雨時收益為10萬元.額外聘請工人的成本為a萬元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,兩天是否下雨互不影響,基地收益為20萬元的概率為0.36.(1)若不額外聘請工人,寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益;(2)該基地是否應(yīng)當(dāng)外聘工人,請說明理由.【思維·引】(1)先列出基地收益X的分布列,再求基地收益X的均值即可;(2)設(shè)基地額外聘請工人時的收益為Y萬元,求出Y的均值,與X的均值比較即可.【解析】(1)設(shè)下周一無雨的概率為p,由題意知,p2=0.36,p=0.6,基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5,則P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,所以基地收益X的分布列為X2015107.5P0.360.240.240.16基地的預(yù)期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,所以基地的預(yù)期收益為14.4萬元.(2)設(shè)基地額外聘請工人時的收益為Y萬元,則其預(yù)期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a(萬元),E(Y)-E(X)=1.6-a,綜上,當(dāng)額外聘請工人的成本高于1.6萬元時,不外聘工人;成本低于1.6萬元時,外聘工人;成本恰為1.6萬元時,是否外聘工人均可以.【內(nèi)化·悟】想一想,現(xiàn)實生活中的哪些問題可以用期望進行估計?提示:均值在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用,如對體育競賽的成果預(yù)料,消費預(yù)料,工程方案的預(yù)料,產(chǎn)品合格率的預(yù)料,投資收益的預(yù)料等方面,都可以通過隨機變量的期望來進行估計.【類題·通】均值實際應(yīng)用問題的解題策略首先應(yīng)把實際問題概率模型化,然后利用有關(guān)概率的學(xué)問去分析相應(yīng)各事務(wù)可能性的大小,并列出分布列,最終利用公式求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望,并依據(jù)期望的大小作出推斷.【習(xí)練·破】甲、乙兩射擊運動員進行射擊競賽,射擊相同的次數(shù),已知兩運動員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán).將他們的競賽成果畫成頻率分布直方圖如圖甲和圖乙所示.(1)依據(jù)這次競賽的成果頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙=8),以及甲擊中9環(huán)以上(包括9環(huán))的概率;(2)依據(jù)這次競賽的成果估計甲、乙誰的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大).【解析】(1)由題圖乙可知P(X乙=7)=0.2,P(X乙=9)=0.2,P(X乙=10)=0.35.所以P(X乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.同理P(X甲=7)=0.2,P(X甲=8)=0.15,P(X甲=9)=0.3,所以P(X甲=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35.P(X甲≥9)=0.3+0.35=0.65.(2)因為E(X甲)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,E(X乙)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7,則有E(X甲)>E(X乙),所以估計甲的水平更高.【加練·固】購買某種保險,每個投保人每年度向保險公司交納保費a元,若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險,則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險,且各投保人是否出險相互獨立.已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1-0.99QUOTE.(1)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p;(2)設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元,為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(單位:元).【解析】各投保人是否出險相互獨立,且出險的概率都是p,記投保的10000人中出險的人數(shù)為ξ,則ξ～B(104,p).(1)記A表示事務(wù):保險公司為該險種至少支付10000元賠償金,則QUOTE發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)ξ=0,P(A)=1-P(QUOTE)=1-P(ξ=0)=1-(1-pQUOTE,又P(A)=1-0.99QUOTE,故p=0.001.(2)該險種總收入為104支出:104ξ+5×104,盈利:η=104a-(104ξ+5×10由ξ～B(104,10-3),知E(ξ)=10,E(η)=104a-104E(ξ)-5×104=104a-105-5由E(η)≥0?104a-105-5×104≥0?a-10-5≥0?a≥15.故每位投保人應(yīng)交納的最低保費為15課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)1.已知隨機變量X的分布如表所示,則E(X)等于()X-101P0.50.2pA.0 B.-0.2 C.-1 D.-0.3【解析】選B.由題可得0.5+0.2+p=1,解得p=0.3,則由離散型隨機變量的均值公式得E(X)=-1×0.5+0×0.2+0.3=-0.2.2.某籃球運動員每次投籃未投中的概率為0.3,投中2分球的概率為0.4,投中3分球的概率為0.3,則該運動員投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為()A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8【解析】選C.由已知得E(X)=0×0.3+2×0.4+3×0.3=1.7.3.若離散型隨機變量X的分布列為()X01P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()A.2 B.2或QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選C.因為分布列中概率和為1,所以QUOTE+QUOTE