2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第三節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入課時(shí)規(guī)范練理含解析新人教版

PAGE第三節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入[A組基礎(chǔ)對點(diǎn)練]1．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq\f(2i,1－i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：由eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝－1＋i，此復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在其次象限．答案：B2．若z＝4＋3i，則eq\f(\x\to(z),|z|)＝()A．1 B．－1C．eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i D．eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i解析：eq\f(\x\to(z),|z|)＝eq\f(4－3i,\r(42＋32))＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.答案：D3．若復(fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)aA．1 B．2C．1或2 D．－1解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.答案：B4．下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)解析：由(1＋i)2＝2i為純虛數(shù)知選項(xiàng)C正確．答案：C5．已知集合M＝{1，2，zi}，i為虛數(shù)單位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，則復(fù)數(shù)z＝()A．－2i B．2iC．－4i D．4i解析：由已知可得zi＝4，所以z＝eq\f(4,i)＝－4i.答案：C6．已知復(fù)數(shù)eq\f(\x\to(z),1＋i)＝2＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝()A．－1＋3i B．1－3iC．－1－3i D．1＋3i解析：由題意得eq\x\to(z)＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，所以z＝1－3i.答案：B7.eq\f(1＋2i,（1－i）2)＝()A．－1－eq\f(1,2)i B．－1＋eq\f(1,2)iC．1＋eq\f(1,2)i D．1－eq\f(1,2)i解析：eq\f(1＋2i,（1－i）2)＝eq\f(1＋2i,－2i)＝eq\f(（1＋2i）i,2)＝eq\f(－2＋i,2)＝－1＋eq\f(1,2)i.答案：B8．設(shè)z1，z2∈C，則“z1，z2中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“z1－z2是虛數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：設(shè)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，則z1－z2＝(a1＋b1i)－(a2＋b2i)＝(a1－a2)＋(b1－b2)i，若z1－z2是虛數(shù)，則b1－b2≠0，所以b1，b2不能都為零，即“z1，z2中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”；若“z1，z2中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”，則b1，b2至少有一個(gè)不為零，但是有可能b1－b2＝0，比如1＋i，2＋i都是虛數(shù)，但是它們的差為實(shí)數(shù)，所以“z1，z2中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“z1－z2是虛數(shù)”的必要不充分條件．答案：B9．若a為實(shí)數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：由于(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝0，,a2－4＝－4，))解得a＝0.答案：B10．(2024·北京豐臺質(zhì)檢)已知i是虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z1＝3－bi，z2＝1－2i.若eq\f(z1,z2)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)b的值為()A．－6 B．6C．0 D．eq\f(1,6)解析：∵eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－bi,1－2i)＝eq\f(（3－bi）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝eq\f(3＋2b,5)＋eq\f(（6－b）i,5)，∵eq\f(z1,z2)是實(shí)數(shù)，∴eq\f(6－b,5)＝0，∴b＝6.答案：B11．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意(1＋i)z＝2，則z的實(shí)部為________．解析：因?yàn)閦＝eq\f(2,1＋i)＝1－i，所以z的實(shí)部是1.答案：112．|1＋eq\r(2)i|＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3)i,1＋i)))eq\s\up12(2)＝__________．解析：原式＝eq\r(12＋（\r(2)）2)＋eq\f(（1－\r(3)i）2,（1＋i）2)＝eq\r(3)＋eq\f(－2－2\r(3)i,2i)＝eq\r(3)＋eq\f(－2,2i)＋eq\f(－2\r(3)i,2i)＝i.答案：i[B組素養(yǎng)提升練]1．若復(fù)數(shù)z滿意2z＋eq\x\to(z)＝3－2i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i解析：設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，則eq\x\to(z)＝a－bi，2z＋eq\x\to(z)＝3a＋bi，又2z＋eq\x\to(z)＝3－2i，所以3a＋bi＝3－2i，故可得a＝1，b＝－2，即z＝1－2i.答案：B2．(2024·河北六校聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為(2，－1)，(0，－1)，則eq\f(z1,z2)＋|z2|＝()A．2＋2i B．2－2iC．－2＋i D．－2－i解析：由題意知z1＝2－i，z2＝－i，則eq\f(z1,z2)＝eq\f(2－i,－i)＝eq\f(（2－i）i,－i2)＝1＋2i，|z2|＝1，故eq\f(z1,z2)＋|z2|＝2＋2i.答案：A3．若復(fù)數(shù)z滿意|z－i|≤eq\r(2)(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為________．解析：設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，則|z－i|＝|a＋(b－1)i|＝eq\r(（a－0）2＋（b－1）2)≤eq\r(2)，所以(a－0)2＋(b－1)2≤2，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形是以(0，1)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓，面積為2π.答案：2π4．復(fù)數(shù)z1，z2滿意z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，則λ的取值范圍是________．解析：由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2cosθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))消去m得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,8)