《平面向量的坐標(biāo)表示及向量共線的坐標(biāo)表示》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/12.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)2.3.2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及共線的坐標(biāo)表示（李蓉）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過這節(jié)課學(xué)習(xí)，在已掌握了平面向量基本定理的基礎(chǔ)上，將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標(biāo)運(yùn)算，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合和化歸思想，認(rèn)識(shí)其知識(shí)的價(jià)值和作用，培養(yǎng)學(xué)生探究能力和科學(xué)精神.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平面向量的坐標(biāo)的概念.2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算.3.會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.2.平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.3.平面向量共線的坐標(biāo)形式，并能用公式解決問題.（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)1.向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.2.向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.3.自主探究平面向量共線的坐標(biāo)形式.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第96頁(yè)至第97頁(yè)例4之前的部分及98頁(yè)例6之前的部分，填空：兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.一個(gè)向量的坐標(biāo)等于此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)，其中，若共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使得.（2）寫一寫:已知，，，，2.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）已知點(diǎn)，向量=（）A. B.C.D.【答案】D（2）已知點(diǎn)，向量，則向量（）A.B.C.D.【答案】（3）已知向量，則（）A.B.C.D.【答案】D(二)課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）平面向量的坐標(biāo)表示.分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底.任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得，把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，特別地，，，.（2）平面向量線性運(yùn)算的結(jié)合律與分配律.設(shè)為實(shí)數(shù)，那么；（3）平面向量基本定理：若共線，其中，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.2.問題探究探究一探究平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知，，你能得出，，的坐標(biāo)嗎？●活動(dòng)=1\*GB3①向量和與差及實(shí)數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)：知道向量坐標(biāo)，就可以把向量用基底表示，進(jìn)行運(yùn)算后，把所得向量用基底表示，又可以得到相應(yīng)坐標(biāo).即：由向量坐標(biāo)的表示方法可得，再由向量的運(yùn)算律有：即，按照相同的思路讓學(xué)生自主探究，同理可得：結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.你能得到的坐標(biāo)嗎？已知和實(shí)數(shù)，則結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用向量線性運(yùn)算及運(yùn)算律讓學(xué)生自主探究平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，體會(huì)將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標(biāo)運(yùn)算的轉(zhuǎn)化化歸思想.●活動(dòng)=2\*GB3②向量的坐標(biāo)計(jì)算公式：如圖，已知向量，且點(diǎn)，，求的坐標(biāo).＝－＝=（，）結(jié)論：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).你能在上圖中標(biāo)出坐標(biāo)為（，）的點(diǎn)嗎？【設(shè)計(jì)意圖】通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，及學(xué)生標(biāo)出點(diǎn)后，建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系，難點(diǎn)得到突破.探究二平面向量共線的坐標(biāo)表示●活動(dòng)①認(rèn)識(shí)共線向量的特點(diǎn)請(qǐng)說出下列各組中兩向量的位置關(guān)系（共線或不共線），并指出它們的特點(diǎn).=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生觀察總結(jié)，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，也為后面得出平面向量共線的坐標(biāo)表示做好鋪墊.●活動(dòng)②寫出與()共線的充要條件.思考:兩個(gè)向量共線的條件是什么？如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量設(shè)，，其中.由=得，消去，探究：（1）消去時(shí)不能兩式相除，∵，有可能為0，∵∴，中至少有一個(gè)不為0（2）充要條件不能寫成∵，有可能為0(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：//()【設(shè)計(jì)意圖】通過問題的形式調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索、歸納總結(jié)；從而得到用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量的結(jié)論；同時(shí)增加學(xué)生在學(xué)習(xí)中的獲取知識(shí)的快樂.活動(dòng)③鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1(1)已知平面向量，，則向量________.(2)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,2)，則向量的坐標(biāo)為________.【知識(shí)點(diǎn)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算【解題過程】(1)eq\f(1,2)(1,1)－eq\f(3,2)(1，－1)＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))－(eq\f(3,2)，－eq\f(3,2))＝(－1,2).(2)＝(3,2)－(1,2)＝(3－1,2－2)＝(2,0).【思路點(diǎn)撥】向量加減即相應(yīng)橫、縱坐標(biāo)相加減.【答案】(1)(－1,2).(2)(2,0).【設(shè)計(jì)意圖】通過平面向量運(yùn)算的常規(guī)題，鞏固向量的坐標(biāo)運(yùn)算及點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的關(guān)系，讓學(xué)生熟悉熟悉向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式.同類訓(xùn)練(1)若＝(－2,5)，B(1，－3)，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為________.(2)設(shè)，，則______.【知識(shí)點(diǎn)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量相等的條件【思路點(diǎn)撥】向量的加減即相應(yīng)橫、縱坐標(biāo)相加減.【解題過程】（1）設(shè)，則（2）【答案】例2已知，那么與是否共線？線段AB與線段AC是否共線？【知識(shí)點(diǎn)】共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化化歸思想.【思路點(diǎn)撥】利用共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算【解題過程】∵＝(2,4)，＝(3,6)，又∵2×6－3×4＝0，∴//.∴與共線.又∵直線AB與直線AC有公共點(diǎn)A，∴A、B、C三點(diǎn)共線，線段AB與線段AC也共線.【設(shè)計(jì)意圖】給出了判斷三點(diǎn)共線的一種常用方法，準(zhǔn)確運(yùn)用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)公式，，把平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法進(jìn)行移植.讓學(xué)生既鞏固新知，又感受到數(shù)學(xué)化歸思想的魅力，讓新知的掌握變得愉快而輕松.同類訓(xùn)練(1)已知，若，則________.(2)若點(diǎn)在這兩點(diǎn)的連線上，則________.【知識(shí)點(diǎn)】共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算及三點(diǎn)共線.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化化歸思想.【思路點(diǎn)撥】利用共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線的條件【解題過程】(1)由有（2），由已知【答案】(1)－eq\f(1,3)或1(2)3活動(dòng)4強(qiáng)化提升、靈活應(yīng)用例3已知)，，，試用,表示.【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想【解題過程】設(shè)＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則(10，－4)＝λ(3,1)＋μ(－2,3)＝(3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ).依題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3λ－2μ＝10，,λ＋3μ＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝－2.))【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是找到實(shí)數(shù)λ、μ，使得＝λ＋μ【答案】＝2-2.【設(shè)計(jì)意圖】把平面向量的基本定理與向量相等結(jié)合，既讓向量坐標(biāo)運(yùn)算公式得到落實(shí)，更對(duì)本章重點(diǎn)內(nèi)容再次鞏固，從而更體現(xiàn)了向量坐標(biāo)運(yùn)算的優(yōu)越性.同類訓(xùn)練已知，若.則λ、μ的值分別為()A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理及點(diǎn)坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想【解題過程】由,,則依題解得：解得：【思路點(diǎn)撥】先用點(diǎn)坐標(biāo)求出相應(yīng)向量，在利用向量相等的坐標(biāo)表示建立方程組.【答案】C例4如圖，已知平面上三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使得這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及向量相等.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想【思路點(diǎn)撥】結(jié)合圖形對(duì)D點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論，再利用向量相等的條件建立方程組求解.【解題過程】(1)以AC為對(duì)角線作平行四邊形ABCD1，設(shè)頂點(diǎn)D1的坐標(biāo)為(x1，y1).∵＝(1,2)，＝(3－x1,4－y1)，由＝，得(1,2)＝(3－x1,4－y1).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3－x1，,2＝4－y1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2，,y1＝2.))∴頂點(diǎn)D1坐標(biāo)為(2,2).(2)以BC為對(duì)角線作平行四邊形ACD2B，設(shè)頂點(diǎn)D2(x2，y2).∵＝(5,3)，＝(x2＋1，y2－3)，由＝，得(5,3)＝(x2＋1，y2－3).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝x2＋1，,3＝y(tǒng)2－3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4，,y2＝6.))∴頂點(diǎn)D2的坐標(biāo)為(4,6).(3)以AB為對(duì)角線作平行四邊形D3ACB，設(shè)頂點(diǎn)D3(x3，y3)，則由＝，可解得D3(－6,0).【答案】D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)或(4,6)或(－6,0).【設(shè)計(jì)意圖】仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，該題為課本例題的變式題，此題未指出頂點(diǎn)的順序怎樣，故需要討論.解題過程中既有方程的思想，關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思考，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律，結(jié)合律，分配律，推導(dǎo)兩個(gè)向量和的坐標(biāo)，差的坐標(biāo)，以及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算.（2）把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，運(yùn)用向量相等的條件推導(dǎo)出向量共線的坐標(biāo)表示重難點(diǎn)歸納兩個(gè)向量和的坐標(biāo)，差的坐標(biāo)，以及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算是重點(diǎn).向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系與區(qū)別（易混點(diǎn)）用點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量和向量差的坐標(biāo)運(yùn)算的計(jì)算順序問題（易錯(cuò)點(diǎn)）（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則＝()A.B.C.(6,10) D.【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想【解題過程】由＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4).【思路點(diǎn)撥】根據(jù)＝＋可得.【答案】A2.已知，，，，其中的共線向量有()A.和；和 B.和；和C.和；和 D.以上都正確【知識(shí)點(diǎn)】向量共線的判斷【解題過程】因?yàn)橹袧M足，所以，同理可得【思路點(diǎn)撥】利用向量共線的坐標(biāo)表示的等積式形式直接判斷，也可利用向量共線的充要條件進(jìn)行判斷.【答案】C3.已知A(3，y)，B(－5,2)，C(6，－9)三點(diǎn)共線，則y＝()A.6B.-6C.5D.-5【知識(shí)點(diǎn)】向量的坐標(biāo)計(jì)算公式及向量共線的條件應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想【解題過程】因?yàn)?由題意得【思路點(diǎn)撥】利用向量共線的坐標(biāo)表示的等積式形式直接判斷.【答案】B4.已知＝(3,2)，＝(2，－1)，若λ＋與＋λ(λ∈R)平行，求λ=()A.1B.-1C.0D.【知識(shí)點(diǎn)】向量共線的坐標(biāo)表示【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想【解題過程】λ＋＝(3λ＋2,2λ－1)，＋＝(3＋2λ，2－λ).∵λ＋與＋λ(λ∈R)平行，∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)＝0，即－7λ2＋7＝0，解得λ＝±1.【思路點(diǎn)撥】利用向量共線的坐標(biāo)表示的等積式形式即可求解.【答案】D5.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝eq\f(1,2)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)（)A.(－8,1)B.(－1，－eq\f(3,2))C.(1,eq\f(3,2))D.(8，－1)【知識(shí)點(diǎn)】向量的坐標(biāo)計(jì)算公式及向量相等【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想【解題過程】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y).則＝(x，y)－(3，－2)＝(x－3，y＋2)，＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1).∴eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－8,1)＝(－4，eq\f(1,2)).又＝eq\f(1,2)，∴(x－3，y＋2)＝(－4，eq\f(1,2)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))【思路點(diǎn)撥】利用向量的坐標(biāo)計(jì)算公式及向量相等建立方程組求解.【答案】B能力型師生共研6.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).與共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4【知識(shí)點(diǎn)】向量的坐標(biāo)表示及向量共線的條件應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想【解題過程】因?yàn)?由題意得，再用答案檢驗(yàn)該式.【思路點(diǎn)撥】利用向量共線的坐標(biāo)表示的等積式形式直接判斷或把答案代入題目檢驗(yàn)向量共線條件.【答案】B.7.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量，，且平面內(nèi)的任一向量都可以唯一的表示成（為實(shí)數(shù)），則的取值范圍是（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理及向量不共線【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想【解題過程】平面內(nèi)的任一向量都可以唯一的表示成（為實(shí)數(shù)），則一定不共線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選D.【思路點(diǎn)撥】利用向量共線的坐標(biāo)表示的等積式形式的否定建立不等式.【答案】D探究型多維突破8.已知點(diǎn)A(2,0)，B(2,2)，C(1,3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AC與OB的交點(diǎn)D的坐標(biāo).【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理及向量共線的坐標(biāo)表示.【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想【解題過程】由題意知共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使＝(2λ，2λ).又=(2λ－2,2λ)＝(－1,3)，又∵與共線，∴(2λ－2)×3－2λ×(－1)＝0,解得λ＝eq\f(3,4).【思路點(diǎn)撥】利用向量共線的充要條件及共線的坐標(biāo)表示的等積式形式建立方程.【答案】點(diǎn)D的坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\f(3,2))自助餐1.已知，,如果//，則實(shí)數(shù)的值等于（）A.B.C.D. 【知識(shí)點(diǎn)