《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（第1課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/11.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)(一)（趙中玲）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠很好的掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，在直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理過程中用這些性質(zhì)能夠?qū)ο嚓P(guān)函數(shù)作出準(zhǔn)確的分析進(jìn)而解答相關(guān)問題.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過研究（）“周而復(fù)始”的特征，得出周期性的準(zhǔn)確定義.2.理解周期性的定義，并能夠運(yùn)用該定義求周期函數(shù)的周期.3.能結(jié)合圖象得出（）的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，以及會(huì)運(yùn)用單調(diào)性求最值和比較大小.4.在滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想過程中，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生類比和轉(zhuǎn)化的思維習(xí)慣.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，周期性的定義及其運(yùn)用.（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材34——36頁，填空：正弦函數(shù)的周期為，最小正周期為2л.余弦函數(shù)的周期為，最小正周期為.周期函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，那么函數(shù)就叫周期函數(shù)，周期為非零常數(shù)T2.預(yù)習(xí)自測（1）（）的最小正周期為【答案】（2）的最小正周期為【答案】（3）的最小正周期為【答案】(二)課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧回顧（）的圖象.2.問題探究探究一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，周期性定義★●活動(dòng)①根據(jù)的圖象得出周期性的概念由正弦函數(shù)的圖象我們發(fā)現(xiàn)：它具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.其實(shí)在由正切線向正弦函數(shù)轉(zhuǎn)變的探究過程中也有感受到，而從式子上面也有準(zhǔn)確的體現(xiàn)——正弦的誘導(dǎo)公式：，即當(dāng)自變量x增加的整數(shù)倍時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).數(shù)學(xué)上我們稱這種規(guī)律為周期性，下面得出周期性的準(zhǔn)確定義：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期，如果在所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做的最小正周期.【設(shè)計(jì)意圖】通過數(shù)形結(jié)合得出周期性的準(zhǔn)確定義，從而使三角函數(shù)的這種特征由感官的轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)式的準(zhǔn)確描述.●活動(dòng)=2\*GB3②利用周期性的定義判斷是否為周期函數(shù)，并確定其周期和最小正周期.引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)的圖象直觀的得出其周期性和周期以及最小正周期，再引導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn)，由取不同的整數(shù)得的周期可以為、、……及、、……，其中最小的一個(gè)正數(shù)為，因此最小正周期為.如果有時(shí)間教師可以對(duì)最小正周期為進(jìn)行嚴(yán)格證明，證明如下：假設(shè)的最小正周期為，則根據(jù)周期性定義有對(duì)每一個(gè)自變量x都有，所以當(dāng)時(shí)，，則，而當(dāng)時(shí)，，矛盾.【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)的周期性的研究，再一次體會(huì)周期性定義式子的直接運(yùn)用.探究二周期性定義的理解與運(yùn)用●活動(dòng)①理解周期性的概念.（1）對(duì)周期性定義中的“當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)”，要特別注意“每一個(gè)值”的要求，如果只是對(duì)某些x有，那么T就不是的周期，例如：當(dāng)取，都有，而，所以不是對(duì)每一個(gè)自變量x都有，因此不是周期.（2）周期函數(shù)的周期不唯一，例如的周期為，從定義出發(fā)也可以發(fā)現(xiàn)，如果的周期為T，那么也是的周期，即.（3）周期函數(shù)并不都存在最小正周期，例如常數(shù)函數(shù)，任意一個(gè)非零常數(shù)都是常數(shù)函數(shù)的周期，但是不存在最小正周期.【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)周期性定義再次加深理解，并幫助學(xué)生從數(shù)式上更好的理解周期性.●活動(dòng)=2\*GB3②周期性定義的運(yùn)用求的周期.教師示范：根據(jù)定義需要需找一個(gè)T使得對(duì)任意的x都有，即，由誘導(dǎo)公式可知,因此的最小正周期為.求的周期.請(qǐng)學(xué)生先嘗試，教師再做講解.教師解答：根據(jù)定義需要找一個(gè)T，使得對(duì)任意的x都有，即，即，由誘導(dǎo)公式得，因此得最小正周期為.注意：此處應(yīng)該強(qiáng)調(diào)周期性定義式中的T是加在自變量上.求的周期.請(qǐng)學(xué)生自己解答教師展示過程：由誘導(dǎo)公式，則，所以周期為，最小正周期為.【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生能夠體會(huì)周期性的定義應(yīng)該如何準(zhǔn)確應(yīng)用.●活動(dòng)③反思例題，得出規(guī)律.問1：請(qǐng)問能從剛才活動(dòng)2的解答過程中歸納一下這種函數(shù)與解析式中哪些量有關(guān)嗎？解答：僅與有關(guān)，.（推導(dǎo)過程先請(qǐng)同學(xué)們借鑒教材36頁探究與發(fā)現(xiàn)進(jìn)行操作）教師展示：，所以周期，最小正周期為.問2：對(duì)于活動(dòng)2的幾個(gè)題目是否可以通過另外的思路來解決？解答：可以通過先通過五點(diǎn)作圖法或圖象變換等將其圖形作出來再進(jìn)行判斷.【設(shè)計(jì)意圖】通過再次對(duì)周期性定義的審查可以更好的鞏固周期性的定義，以及突出周期性與函數(shù)圖象之間的密切聯(lián)系.●活動(dòng)④發(fā)散思維，重新認(rèn)識(shí).已知函數(shù)對(duì)任意的x都滿足，證明函數(shù)為周期函數(shù).證明：，又，所以，所以周期為.已知函數(shù)對(duì)任意的x都滿足，證明函數(shù)為周期函數(shù).證明：因?yàn)?，所以周期?注：此處可以用文字語言來描述周期性，即當(dāng)自變量x相差a個(gè)單位的時(shí)候，函數(shù)值互為相反數(shù)（或者其它關(guān)系），如果是這樣子的式子就可以和周期性扯上一定關(guān)系；其實(shí)反應(yīng)的是半周期的性質(zhì)，在解題或者畫圖的時(shí)候會(huì)派上用場.【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)抽象函數(shù)的研究再次鞏固周期性的定義.探究三探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性和最值.●活動(dòng)①利用周期性探究的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間.因?yàn)榫哂兄芷谛?，圖象以周期的形式反復(fù)出現(xiàn)，因此在研究的單調(diào)性的時(shí)候可以先研究一個(gè)周期，再利用周期性進(jìn)行拓展即可.請(qǐng)同學(xué)們觀察圖象，取出一個(gè)方便研究的周期研究單調(diào)性.此處需要分析在研究的單調(diào)性一般不選取，因?yàn)樵撝芷趦?nèi)單增區(qū)間被分成了兩段，不方便書寫和拓展.因此我們通常選擇這個(gè)周期.由圖象可得單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為再根據(jù)周期性可知其它周期的單調(diào)區(qū)間就將，左右平移個(gè)單位，因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為根據(jù)圖象和單調(diào)性我們可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)值的變化情況；在都為單增，函數(shù)值當(dāng)時(shí)取值為，當(dāng)上的取值為1，即函數(shù)值在單增區(qū)間從增大到1.在都為單減，函數(shù)值當(dāng)時(shí)取值為，當(dāng)時(shí)的取值為-1，即函數(shù)值在單減區(qū)間從1減小到-1.【設(shè)計(jì)意圖】通過數(shù)形結(jié)合，得出的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.●活動(dòng)②探究的單調(diào)區(qū)間請(qǐng)學(xué)生類比的單調(diào)區(qū)間的研究方法寫出的單調(diào)區(qū)間.根據(jù)的圖象可以選取的一個(gè)周期為，單增區(qū)間為，單減區(qū)間為，因此的單增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為根據(jù)圖象和單調(diào)性我們可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)值的變化情況；在都為單增，函數(shù)值當(dāng)時(shí)取值為，當(dāng)時(shí)的取值為1，即函數(shù)值在單增區(qū)間從增大到1.在都為單減，函數(shù)值當(dāng)時(shí)取值為，當(dāng)時(shí)的取值為-1，即函數(shù)值在單減區(qū)間從1減小到-1.【設(shè)計(jì)意圖】通過數(shù)形結(jié)合，得出的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.活動(dòng)③利用單調(diào)性解題.例1求下列函數(shù)的最值，并寫出最大值、最小值時(shí)x的集合.(1)（2）【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的單調(diào)性和最值.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合.【解題過程】（1）使取得最大值即函數(shù)取得最大值，根據(jù)圖象可知當(dāng)x的取值集合為時(shí)，取得最大值為1，所以取得最大值為2；使取得最小值即函數(shù)取得最小值，根據(jù)圖象可知當(dāng)x的取值集合為時(shí)，取得最小值為，所以取得最小值為0.（2）使取得最大值即取最小值；（求最值的方法可以采取五點(diǎn)畫圖法或者圖象變換畫出圖象再來求最值和最值點(diǎn)，但不是長久之計(jì)，因此我們需要研究一下此類函數(shù)求最值和最值點(diǎn)的更方便的方法.）為復(fù)合函數(shù)，所以我們采取復(fù)合函數(shù)求最值的方法求最值.令，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，取最大值3，而此時(shí)，即x的取值集合為.同理令，則，當(dāng)時(shí)，取最大值1，取最小值，而此時(shí)，即x的取值集合為.【思路點(diǎn)撥】關(guān)于求的最值點(diǎn)方法總結(jié)：采取復(fù)合函數(shù)求最值點(diǎn)的方式求解，如求最大值則令，然后反解出x，【答案】（1）x取時(shí)取得最大值為2；x取時(shí)，取得最小值為0.（2）最大值時(shí)x的取值集合；最小值時(shí)x的取值集合.同類訓(xùn)練求的最值和取最值的自變量x的取值集合.【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求最值、三角函數(shù)的最值.【解題過程】要使取最大值，則令，即x的取值集合為.要使取最小值，則令，即x的取值集合為.【思路點(diǎn)撥】采用復(fù)合函數(shù)求最值，再用整體法帶入換算出取最值時(shí)的x取值集合【答案】x取值為時(shí)y取最大值；x取值為y取最小值.例2利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各數(shù)的大小.（1）和；（2）和【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的單調(diào)性.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合.【解題過程】（1）由，結(jié)合圖象和單調(diào)性可知，在上單增，所以.（2）由于和太大，不太好操作，可以先利用誘導(dǎo)公式將和轉(zhuǎn)移到更小的區(qū)間上來，，，由，在上單調(diào)遞減，所以.【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.【答案】(1);(2).同類訓(xùn)練比較的大小.【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的單調(diào)性、誘導(dǎo)公式.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合.【解題過程】，，在單調(diào)遞減，所以【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.【答案】.【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)例題的研究，鞏固正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間和最值.3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理(1)通過對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性研究得出了準(zhǔn)確的周期性概念，因此判斷一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)或者計(jì)算周期函數(shù)的周期，都可以利用函數(shù)圖象或者準(zhǔn)確的周期性概念進(jìn)行解題；(2)利用圖象和周期性我們得出了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性以及最值.重難點(diǎn)歸納（1）正余弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性為重點(diǎn)，其中對(duì)周期性概念的理解和運(yùn)用、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值求法都為難點(diǎn).（2）對(duì)于其中所涉及的數(shù)形結(jié)合思想、整體法的運(yùn)用都屬于重難點(diǎn).（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.求函數(shù)的周期.【知識(shí)點(diǎn)】周期性.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】由周期性定義，，所以，所以.也可由前面推出的結(jié)果直接寫答案：【思路點(diǎn)撥】根據(jù)周期性的定義解答，或者根據(jù)總結(jié)的規(guī)律直接得出答案【答案】2.解不等式.【知識(shí)點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象和周期性.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】由題，在上滿足的區(qū)間為，再根據(jù)周期性得【思路點(diǎn)撥】直接畫圖會(huì)比較復(fù)雜，所以應(yīng)先將式子變形為最簡潔的三角不等式，畫出余弦函數(shù)圖象，找到那些點(diǎn)，根據(jù)圖象選擇一個(gè)周期最為合適，該周期上滿足的區(qū)間為，再根據(jù)周期性得【答案】.3.求函數(shù)的最大值以及取得最大值時(shí)x的取值集合.【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，復(fù)合函數(shù)求最值，的值域.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】由，，當(dāng)，時(shí)取最大值.【思路點(diǎn)撥】先將三角函數(shù)名稱和角度統(tǒng)一，然后發(fā)現(xiàn)時(shí)復(fù)合型函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求最值的方法求解即可.【答案】最大值,4.比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。?）；（2）【知識(shí)點(diǎn)】正余弦函數(shù)單調(diào)性和圖象.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】（1）因?yàn)?，又?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以；（2）由余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，，，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以【思路點(diǎn)撥】先將比較的角度放在一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，如果不在則通過誘導(dǎo)公式或者圖象將其進(jìn)行轉(zhuǎn)移到一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行比較.【答案】(1);(2).5.求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量x的集合，并分別寫出最大值、最小值是什么.（1）；（2）.【知識(shí)點(diǎn)】正余弦函數(shù)的最值.【數(shù)學(xué)思想】整體代換【解題過程】（1）若取最大值，則取最小值，此時(shí)，則取最大值時(shí)，x的取值集合為；若取最小值，則取最大值1，此時(shí)，則取最小值時(shí)，x的取值集合為.（2）當(dāng)，即x的取值集合為時(shí)，取最大值為3；當(dāng)，即x的取值集合為時(shí)，取最小值為-3；【思路點(diǎn)撥】利用正余弦函數(shù)最值點(diǎn)的取值結(jié)合整體思想求解.【答案】(1)x的取值集合為時(shí)y取最小值；x的取值集合為時(shí)y取最大值.（2）x的取值集合為時(shí)y取最大值為3;x的取值集合為時(shí)y取最小值為-3.6.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】內(nèi)函數(shù)為，外函數(shù)為，外函數(shù)為單調(diào)遞減，若復(fù)合以后為單增，則需要單調(diào)遞減區(qū)間，即，所以的單增區(qū)間為，同理單減區(qū)間為.【思路點(diǎn)撥】利用復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方式轉(zhuǎn)換為求的單調(diào)區(qū)間.【答案】單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.能力型師生共研7.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】由題由，則，所以，，則.A選項(xiàng)中時(shí)，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減；B選項(xiàng)同A；C選項(xiàng)中時(shí)，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增.【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)最值點(diǎn)求出，然后求出，再求出的解析式，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間.【答案】C8.若函數(shù)，又，且的最小值為，則正數(shù)的值是.【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象和周期.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】因?yàn)?，所以為最小值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，的最小值為相鄰的和之差，而它們之差又為，所以周期，又，所以.【思路點(diǎn)撥】要求則需要尋找函數(shù)的周期，根據(jù)題目給的特殊點(diǎn)再結(jié)合圖象的特征就可以得出周期.【答案】探究型多維突破9.設(shè)函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，且時(shí)，（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的解析式【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)周期性的定義.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】（1）由周期性定義可知，所以，.（2）當(dāng)，則，則，又根據(jù)周期性有【思路點(diǎn)撥】充分利用周期函數(shù)定義的運(yùn)用，對(duì)不在已知定義域的x利用周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【答案】(1),;(2)10.已知函數(shù)的圖象如圖所示，試回答下列問題：（1）求函數(shù)的周期；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）你能寫出函數(shù)的解析式嗎？【知識(shí)點(diǎn)】圖象與周期性的關(guān)系.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合.【解題過程】（1）由圖可得T=2.（2）的圖象如下；（3）先求一個(gè)周期內(nèi)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的周期性可知，其它周期中的函數(shù)即有左右平移個(gè)單位，所以.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖像得出周期，先求出一個(gè)周期內(nèi)的解析式，根據(jù)周期性和圖象變換求出R上的解析式.【答案】（1）T=2；（2）.自助餐1.求函數(shù)的周期.【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的周期性.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】.【思路點(diǎn)撥】周期性的結(jié)論.【答案】.2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，函數(shù)的任意x都滿足，則.【知識(shí)點(diǎn)】周期性定義的運(yùn)用.【數(shù)學(xué)思