《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（第2課時）》教學設計

1/11.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)(二)（趙中玲）一、教學目標（一）核心素養(yǎng)通過這節(jié)課的學習，能夠很好的掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性及最值、對稱性，在直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理過程中用這些性質(zhì)能夠?qū)ο嚓P函數(shù)作出準確的分析進而解答相關問題.（二）學習目標1.能結合（）的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，求相關復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及會運用單調(diào)性求復合函數(shù)的值域．2．結合圖象和誘導公式研究（）的奇偶性．3．能夠利用周期性研究（）在R上的對稱性，并結合整體思想求復合型三角函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心4．在滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想過程中，同時培養(yǎng)學生類比和轉(zhuǎn)化的思維習慣．（三）學習重點正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、對稱性和值域.（四）學習難點正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：對稱性、奇偶性、單調(diào)性.二、教學設計（一）課前設計1.預習任務（1）讀一讀：閱讀教材37，39—40頁，填空：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，正弦函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為，余弦函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為.2.預習自測函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為對稱軸為，對稱中心為(二)課堂設計1．知識回顧（1）（）的周期為，最小正周期為的周期為，最小正周期為的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.復合函數(shù)單調(diào)性口訣：同增異減2．問題探究探究一探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性和最值.●活動①探究的單調(diào)區(qū)間求法研究函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間.教師分析：這不是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，而是正弦函數(shù)與一次函數(shù)的復合函數(shù)，所以應該采用復合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法來研究它.為復合函數(shù)，內(nèi)函數(shù)為為單增函數(shù)，外函數(shù)為，求復合函數(shù)的單增區(qū)間，根據(jù)同增異減，所以需要外函數(shù)的單增區(qū)間，即，但需注意我們的自變量為x，所以單增區(qū)間應是x的范圍，所以需要反解出x.由，所以得，即單增區(qū)間為，又，當時，兩者有交集為，因此函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.針對這種定義域不為R的復合型三角函數(shù)，我們在求單調(diào)區(qū)間的時候也可以把范圍一直帶著走，方法如下：為復合函數(shù)，內(nèi)函數(shù)為為單增函數(shù)，外函數(shù)為，求復合函數(shù)的單增區(qū)間，根據(jù)同增異減，所以需要外函數(shù)的單增區(qū)間，即，但需注意我們的自變量為x，所以單增區(qū)間應是x的范圍，所以需要反解出x.由，所以得，因此函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.【設計意圖】解決復合型三角函數(shù)的單調(diào)性問題●活動②探究的單調(diào)區(qū)間求法研究函數(shù)，得單調(diào)遞增區(qū)間.教師分析引導：該題仍然是復合函數(shù)的單調(diào)性問題，那么大家發(fā)現(xiàn)它與之前的有什么區(qū)別嗎？區(qū)別在于內(nèi)函數(shù)變?yōu)榱藴p函數(shù)，請問這個變化會引起導致求單調(diào)區(qū)間方法的本質(zhì)性變化嗎？不會，我們?nèi)匀粦摪凑諒秃虾瘮?shù)求單調(diào)區(qū)間的方法進行求解，請同學們嘗試.請問在解題的過程中是否與上一題有區(qū)別？老師展示：為復合函數(shù)，內(nèi)函數(shù)為為單減函數(shù)，外函數(shù)為，現(xiàn)要求復合函數(shù)的單增區(qū)間，根據(jù)同增異減，所以需要外函數(shù)的單減區(qū)間，即，由，所以得（此處解不等式有易錯點）即單增區(qū)間為，又，當時，兩者有交集為，因此函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.我們發(fā)現(xiàn)區(qū)別就在于最后反解x的時候不等式方向會發(fā)生改變，而且容易發(fā)生錯誤，所以為了解決解題過程中解不等式的難點，我們可以先將式子變形后再求單增區(qū)間.根據(jù)的誘導公式，所以，因此求得單增區(qū)間即求得單調(diào)遞減區(qū)間，步驟同上.請同學思考如果把題目換成求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間應該怎樣求解呢？當然我們可以按照復合函數(shù)單調(diào)性求解，也可以根據(jù)誘導公式先變形為再進行求解.【設計意圖】對復合型三角函數(shù)的單調(diào)性問題再次深入研究體會.●活動③探究與其它函數(shù)復合后單調(diào)區(qū)間求法研究函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.教師分析：因為是復合函數(shù)，所以單調(diào)區(qū)間求法與之前一樣，內(nèi)函數(shù)，外函數(shù)為，外函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，要求單調(diào)遞增區(qū)間則需要內(nèi)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，且內(nèi)函數(shù)還有要求，可以先找一個周期內(nèi)滿足條件的x，再擴充到其它周期.在上滿足條件的x為，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.【設計意圖】對含有三角函數(shù)的復合函數(shù)進行更加全面的分析.探究二正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性、對稱性.●活動=1\*GB3①探究奇偶性由正弦函數(shù)的圖象可知為奇函數(shù)，根據(jù)誘導公式可以證明；由余弦函數(shù)的圖象可知為偶函數(shù)，根據(jù)誘導公式可以證明.【設計意圖】研究正余弦函數(shù)的奇偶性.●活動②探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱中心和對稱軸.由函數(shù)性質(zhì)可知奇偶性即為特殊的對稱性，所以有對稱中心（0，0），有對稱軸有對稱軸x=0，又由、周期性的可知，應該還有更多的對稱中心和對稱軸，請同學們觀察圖象，寫出你所知道的正弦函數(shù)的對稱中心和對稱軸.先分析對稱軸，對稱軸有……，，，，，，……由于，所以用列舉法是沒辦法寫完的，引導學生發(fā)現(xiàn)是否有統(tǒng)一的式子來描述這些對稱軸.發(fā)現(xiàn)相鄰對稱軸相差個單位，所以可以選定一條對稱軸作為參照對象，其它線由它來加減的倍數(shù)，選定，則，，，，用一個統(tǒng)一的式子來描述對稱軸.請同學們參照對稱軸的寫法來寫出正弦函數(shù)的對稱中心.請同學們模仿正弦函數(shù)的方法尋找余弦函數(shù)的對稱中心和對稱軸.余弦函數(shù)對稱軸為，對稱中心為【設計意圖】通過數(shù)形結合來掌握對稱性，并鍛煉學生對式子的觀察歸納類比能力.●活動③反思過程，發(fā)現(xiàn)對稱軸、對稱中心的特征.問：請同學們再次觀察正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象，試著發(fā)現(xiàn)對稱軸、對稱中心有沒有什么重要的特征，比如可否與我們之前學習的性質(zhì)等進行聯(lián)系，請描述出來.特征：（1）發(fā)現(xiàn)相鄰兩個對稱軸（或?qū)ΨQ中心）的距離為正弦函數(shù)或者余弦函數(shù)的半個周期，相鄰的一個對稱軸與對稱中心在x軸上的距離為個周期.（2）對稱軸所對的x為最值點的橫坐標.【設計意圖】反思過程，更加深入理解對稱性探究三及對稱性研究.●活動=1\*GB3①探究的對稱軸和對稱中心.教師引導：例如同學們?nèi)绾螌ふ业膶ΨQ軸和對稱中心.以我們此時的知識基礎可以用五點畫圖法畫出圖象，然后寫出對稱軸和對稱中心.這樣每次都畫圖會非常耗費時間，所以我們必須要去尋找對稱軸和對稱中心的特征，通過畫圖我們發(fā)現(xiàn)是與圖象形狀是一樣的，所以它的對稱軸也和一樣在最值點取，因此求的對稱軸，令，則對稱軸為；對稱中心令，對稱中心為.【設計意圖】體會對稱性的應用，并學會采用整體法進行求解.●活動②探究的對稱軸和對稱中心.請同學們類比活動1先得出結論教師分析：通過畫圖我們發(fā)現(xiàn)是與圖象形狀是一樣的，所以它的對稱軸也和一樣在最值點取，因此求的對稱軸，令，則對稱軸為；對稱中心令，對稱中心為.【設計意圖】再次體會對稱性的應用，并學會采用整體法進行求解.●活動③例題鞏固，檢查反饋例：求的對稱中心和對稱軸.【知識點】對稱性.【數(shù)學思想】整體代換【解題過程】令得對稱軸為；令得對稱中心為.【思路點撥】利用得對稱性結合整體思想求解.【答案】對稱軸為;對稱中心為.同類訓練求函數(shù)的對稱軸和對稱中心.【知識點】對稱性.【數(shù)學思想】整體代換【解題過程】令得對稱軸為；令得對稱中心為.【思路點撥】利用的對稱性結合整體思想求解.【答案】對稱軸為;對稱中心為.【設計意圖】通過例題鞏固復合函數(shù)對稱性.3.課堂總結知識梳理（1）利用正余弦函數(shù)的單調(diào)性解決了一次與正余弦函數(shù)復合后的函數(shù)的單調(diào)性，所采用的方法有復合函數(shù)的單調(diào)性求法、整體思想的運用.（2）根據(jù)圖象和周期性我們得出了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性和奇偶性.（3）研究了及對稱性.（4）關于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)我們主要研究了以下性質(zhì)：定義域R，值域[-1,1]，周期性、單調(diào)性、對稱性、奇偶性.重難點歸納（1）正余弦函數(shù)的周期性、對稱性、單調(diào)性均為重點（2）對于其中所涉及的數(shù)形結合思想、整體法的運用都屬于重難點.（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1.函數(shù)是（）A.最小正周期為的奇函數(shù).B.最小正周期為的奇函數(shù).C.最小正周期為的偶函數(shù).D.最小正周期為的偶函數(shù).【知識點】周期、奇偶性【解題過程】，所以最小正周期為，又，所以為偶函數(shù).【思路點撥】化簡利用定義解題.【答案】C2．求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【知識點】復合函數(shù)單調(diào)性、正弦函數(shù)單調(diào)性.【數(shù)學思想】整體思想【解題過程】由復合函數(shù)單調(diào)性有：內(nèi)函數(shù)為單調(diào)遞增，外函數(shù)為，y=3sint.根據(jù)復合函數(shù)同增異減，所以外函數(shù)需要單調(diào)遞減區(qū)間，即，則，因此所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【思路點撥】利用復合函數(shù)單調(diào)性的求法進行求解．【答案】3.求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【知識點】復合函數(shù)單調(diào)性、正弦函數(shù)單調(diào)性.【數(shù)學思想】整體思想【解題過程】，由復合函數(shù)單調(diào)性即求的單調(diào)遞減區(qū)間，內(nèi)函數(shù)為為單增函數(shù)，外函數(shù)為，由同增異減得需要的單調(diào)遞減區(qū)間，所以，所以，所以所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【思路點撥】現(xiàn)利用奇函數(shù)的特征將式子變?yōu)閤系數(shù)為正，然后結合復合函數(shù)求單調(diào)性的方法求解．【答案】．4．若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則=【知識點】對稱性.【數(shù)學思想】數(shù)形結合【解題過程】，所以，所以【思路點撥】根據(jù)對稱軸特征得出答案【答案】3．5.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.函數(shù)的圖象關于點對稱.B.函數(shù)的圖象關于點對稱.C.函數(shù)在單調(diào)遞減.D.函數(shù)在單調(diào)遞增.【知識點】周期性、對稱性、單調(diào)性.【數(shù)學思想】數(shù)形結合【解題過程】，所以，所以；當時，，因此不為對稱軸，也不為對稱中心橫坐標，所以排除A,B；當時，，因此單調(diào)遞增；選D【思路點撥】先求出解析式，再根據(jù)整體法挨個選項驗證.【答案】D6．若函數(shù)對任意x都有，則（）.A.2或0B.0C.-2或0D.-2或2【知識點】對稱性.【數(shù)學思想】數(shù)形結合【解題過程】由可知函數(shù)關于對稱，由對稱軸特征則【思路點撥】由對稱的式子得出對稱軸，再根據(jù)對稱軸特征得出答案【答案】D7．若函數(shù)的圖象關于點對稱，則函數(shù)在上的最小值為.【知識點】對稱中心，單調(diào)性求最值.【數(shù)學思想】數(shù)形結合【解題過程】由對稱中心的特征有，得，由得，所以，又在單調(diào)遞減，所以的最小值為【思路點撥】先根據(jù)對稱中心求出的解析式，再根據(jù)單調(diào)性求出最值【答案】能力型師生共研8.設函數(shù)的最小正周期為，且，則（）A．在上單調(diào)遞減.B．在上單調(diào)遞減.C．在上單調(diào)遞增.D．在上單調(diào)遞增.【知識點】單調(diào)性、周期、奇偶性.【數(shù)學思想】數(shù)形結合【解題過程】由最小正周期為可得，由可知為偶函數(shù)，所以，所以，又，所以，，所以在上單調(diào)遞增.【思路點撥】先根據(jù)周期，奇偶性求出，然后再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性和整體思想求出單調(diào)區(qū)間.【答案】C自助餐1.函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.B.C.D.【知識點】復合函數(shù)單調(diào)性【數(shù)學思想】整體思想【解題過程】A.內(nèi)函數(shù)為增,外函數(shù)為單調(diào)遞增,所以在為增;所以選A.選項B,內(nèi)函數(shù)為增,外函數(shù)有增區(qū)間也有減區(qū)間,所以不選;其它選項同理分析.【思路點撥】將選項帶入檢驗．【答案】A2．下列函數(shù)中，最小正周期為且在區(qū)間為增函數(shù)的是（）A.B.C.D.【知識點】單調(diào)性【數(shù)學思想】整體思想【解題過程】最小正周期為只有A，D，當時，，此時只有D選項符合要求.【思路點撥】由最小正周期和單增區(qū)間進行驗證.【答案】D3．已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則的最大值為．【知識點】正弦函數(shù)單調(diào)性.【數(shù)學思想】【解題過程】先求出的單增區(qū)間，令，由解得單增區(qū)間為，則對某個整數(shù)K成立，所以，解得.【思路點撥】根據(jù)包含于單調(diào)區(qū)間解題.【答案】4．已知函數(shù)的最小正周期為，（1）求函數(shù)圖象的對稱軸方程;（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性.【知識點】周期、對稱性、單調(diào)性.【數(shù)學思想】整體代換【解題過程】因為最小正周期為，所以，則；（1）令，則對稱軸為；（2），則，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性，當單調(diào)遞增時，，所以單增區(qū)間為；當單調(diào)遞減時，，所以單減區(qū)間為；【思路點撥】根據(jù)周期求出解析式，利用余弦函數(shù)的對稱軸結合整體思想求出對稱軸，利用復合函數(shù)研究單調(diào)性的方法求單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）對稱軸為；（2）單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.5．已知函數(shù)的圖象上的相鄰最高點與最低點的距離為（1）求的值；（2