吉林省白城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

白城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年度高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.下列說法中正確的是()A.已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓B.已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓C.平面到兩點(diǎn)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓D.平面到點(diǎn)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓2.若a2＋b2＝2c2(c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)為()A.B.1C.D.3.“”是“直線與直線平行”的（

）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.過P(12，－6)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程是()A.2x＋3y－6＝0B.2x＋3y－6＝0或3x＋4y－12＝0C.x＋y－6＝0D.3x＋2y－12＝0或4x＋3y－30＝05.若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為()A.2B.C.D.6.若直線l過點(diǎn)和，且點(diǎn)在直線l上，則b的值為（

）A.183B.182C.181D.1807.設(shè)拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l：3x＋4y＋12＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值為()A.2B.C.D.38.（2023·天津市河北區(qū)期中）如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，，，，則異面直線CD與所成角的余弦值為()A.B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題.每題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）9.我們把離心率為的橢圓稱為黃金橢圓，類似地，也把離心率為的雙曲線稱為黃金雙曲線，則()A.曲線－＝1是黃金雙曲線B.如果雙曲線－＝1(a>0，b>0)是黃金雙曲線，那么b2＝ac(c為半焦距)C.如果雙曲線－＝1(a>0，b>0)是黃金雙曲線，那么右焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離等于焦距的四分之一D.過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F且垂直于實(shí)軸的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠MON＝90°，則雙曲線C是黃金雙曲線10.(多選)過點(diǎn)(1,1)且＝的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.－y2＝1B.x2－＝1C.－x2＝1D.y2－＝111.(2023·江西省贛西外國語學(xué)校期中)已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于A、兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)可能是()A.1B.C.D.312.已知直線和圓，則()A.直線恒過定點(diǎn)B.存在使得直線與直線垂直C.直線與圓相交D.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.(2023·山東省濱州市惠民縣期中)已知是不共面向量，，若三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)______.14.已知a＋3b與7a－5b垂直，且a－4b與7a－2b垂直，則〈a，b〉＝________.15.已知A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)三點(diǎn)，這三點(diǎn)________(填“是”或“否”)在同一直線上．16.(2023·江西省宜春市豐城市東煌學(xué)校期中)已知直線的傾斜角，直線與的交點(diǎn)為A，直線和向上的方向所成的角為，如圖，則直線的傾斜角為________．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.求直線l1：2x＋y－4＝0關(guān)于直線l：3x＋4y－1＝0對(duì)稱的直線l2的方程.18.如圖所示，在底面是正方形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別是BC，PC，CD的中點(diǎn)．(1)求證：BG⊥平面PAE；(2)在線段BG上是否存在點(diǎn)H，使得FH∥平面PAE？若存在，求出BHBG19.求與圓C：x2＋y2－2x＝0外切且與直線l：x＋y＝0相切于點(diǎn)M(3，－)的圓的方程．20.若a∈N，又三點(diǎn)，，共線，求的值．21.已知圓C：x2＋y2－2y－4＝0，直線l：mx－y＋1－m＝0.(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.(2)若直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且|AB|＝3，求直線l的方程.22.如圖，在正方體，ABCD-A?B?C?D?中，M，N分別為棱A參考答案1.【答案】C【解析】|F1F2|＝8，則平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2，所以A錯(cuò)誤；平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6，小于|F1F2|，這樣的點(diǎn)不存在，所以B錯(cuò)誤；點(diǎn)M(5,3)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為＋＝4>|F1F2|＝8，則所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，所以C正確；平面內(nèi)到點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線，所以D錯(cuò)誤．2.【答案】D【解析】∵a2＋b2＝2c2，∴圓心到直線的距離d＝＝＝22.設(shè)弦長(zhǎng)為l，則l＝2＝.3.【答案】A【解析】直線和平行，則，等價(jià)于，即，故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.4.【答案】B【解析】設(shè)直線在y軸上的截距為b，則在x軸上的截距為b＋1，直線方程為＋＝1，∵P(12，－6)在直線上，∴＋＝1?b＝3或b＝2，則直線方程為2x＋3y－6＝0或3x＋4y－12＝0．故選B．5.【答案】A【解析】由題意得，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為bx±ay＝0，圓心(2,0)到漸近線的距離為d＝＝＝，化簡(jiǎn)得3a2＝b2，結(jié)合b2＝c2－a2得雙曲線的離心率為2.6.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€l過點(diǎn)和，由直線的兩點(diǎn)式方程，得直線l的方程為，即.由于點(diǎn)直線l上，所以，解得.故選:A.7.【答案】A【解析】聯(lián)立得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程無解，∴直線3x＋4y＋12＝0與拋物線相離．又d1＋d2＝d1＋1＋d2－1，而d1＋1為點(diǎn)P到準(zhǔn)線x＝－1的距離，故d1＋1為P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離，從而d1＋1＋d2的最小值為F到直線3x＋4y＋12＝0的距離，即＝3，故d1＋d2的最小值為2.8.【答案】A【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，，，，則，，所以.又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.9.【答案】BD【解析】對(duì)于A，－＝1，a2＝3，b2＝＋1，所以c2＝＋4，所以e2＝＝≠＝，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若雙曲線－＝1(a>0，b>0)是黃金雙曲線，則e＝＝，由c2＝a2＋b2，所以b2＝－a2＝a2＝ac，故B正確；對(duì)于C，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝x，則F(c，0)到該漸近線的距離d＝＝b，而由B可知，b2＝ac≠c2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)x＝c時(shí)，y2＝b2＝，令M，N，則＝，＝，所以·＝c2－＝0，則b2＝ac，由B可知，雙曲線C是黃金雙曲線，故D正確.10.【答案】AC【解析】∵＝，∴b2＝2a2，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)－＝1，將點(diǎn)(1,1)代入，得a2＝，此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1，同理，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－x2＝1.11.【答案】BC【解析】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過斜率存在的直線方程為：，聯(lián)立方程組消去，并整理得，易得，設(shè)，，則，，，，當(dāng)斜率不存在時(shí)，故．故選:BC．12.【答案】BCD【解析】對(duì)：由可得，，令，即，此時(shí)，所以直線恒過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)：因?yàn)橹本€的斜率為，所以當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，此時(shí)直線與直線垂直，滿足題意，正確；對(duì)C:因?yàn)槎c(diǎn)到圓心的距離為，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，正確；對(duì):直線恒過定點(diǎn)，圓心到直線的最大距離為，此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短為，D正確；故選：.13.【答案】4【解析】以為空間一組基底，由于三個(gè)向量共面，所以存在，使得，即，整理得，所以，解得.故答案為：14.【答案】60°【解析】由條件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，兩式相減得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝12|b|2代入上面兩個(gè)式子中的任意一個(gè)，得|a|＝|b|，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|因?yàn)椤碼，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝60°.15.【答案】是【解析】由題意可知直線AB的斜率kAB＝＝2，直線BC的斜率kBC＝＝2.因?yàn)閗AB＝kBC，即兩條直線的斜率相同，并且它們過同一點(diǎn)B，所以A，B，C三點(diǎn)在同一直線上．16.【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)楹拖蛏系姆较蛩傻慕菫?，所以，，故．故答案為?17.【答案】解解方程組得所以直線l1與l相交，且交點(diǎn)為E(3，－2)，故點(diǎn)E也在直線l2上.在直線l1：2x＋y－4＝0上取點(diǎn)A(2，0)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(x0，y0)，于是有解得即點(diǎn)B的坐標(biāo)為.故由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為2x＋11y＋16＝0.18.【答案】(1)證明因?yàn)樗睦忮FP－ABCD的底面是正方形，且PA⊥平面ABCD，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所以直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是BC，PC，CD的中點(diǎn)，所以E(2,1,0)，F(xiàn)(1,1,1)，G(1,2,0)，所以BG→＝(－1,2,0)，AP→＝(0,0,2)，AE→＝(2,1,0)，所以BG→·AP→＝0，且BG→·AE→＝0.所以BG⊥AP，BG⊥AE，且AE∩AP＝A，AE，AP?平面(2)解假設(shè)在線段BG上存在點(diǎn)H，使得FH∥平面PAE.設(shè)BH→＝λBG→(0≤λ≤1)，由(1)得AB→＝(2,0,0)，AF→＝(1,1,1)，則FH→＝FB→＋BH→＝AB→－AF→＋λBG→＝(1－λ，2λ－1，－1)．因?yàn)镕H∥平面PAE，BG⊥平面PAE，所以FH→·BG→＝(－1)·(1－λ)＋2(2λ－1)＋0×(－1)＝5λ－3＝0，解得λ＝35.所以，在線段BG上存在點(diǎn)H19.【答案】解圓C的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，圓心C(1,0)，半徑長(zhǎng)為1.設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由題意可得解得所以所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4.20.【答案】解∵A、、三點(diǎn)共線，∴直線、的斜率相等，∴，解之得：．21.【答案