《正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計

1/11.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解研究正切函數(shù)圖象的方法，掌握正切函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)，并運用性質(zhì)解決一定的實際問題．（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)生已經(jīng)有了研究正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗，正切函數(shù)在研究方法與研究內(nèi)容上與前者類似，但某些性質(zhì)有所不同，這就養(yǎng)成學(xué)生在畫圖時必須全面考慮問題．本著課改理念，養(yǎng)成學(xué)生對知識的勇于探索精神，學(xué)生親自體會正切曲線的獲得過程，這樣學(xué)生的動手實踐能力有了提高，又體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，根據(jù)教學(xué)要求及學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，現(xiàn)制定以下教學(xué)目標(biāo)：1．知識目標(biāo)：1）能用單位圓中的正切線畫出正切函數(shù)的圖象．2）熟練根據(jù)正切函數(shù)的圖象推導(dǎo)出正切函數(shù)的性質(zhì)．3）掌握利用數(shù)形結(jié)合思想分析問題解決問題的技能．2．能力目標(biāo)：1）通過類比，聯(lián)系正弦函數(shù)圖象的作法．2）能學(xué)以致用，結(jié)合圖象分析得到正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式和正切函數(shù)的性質(zhì)．（三）學(xué)習(xí)重點正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)（包括周期性單調(diào)性奇偶性值域）；深化研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法．（四）學(xué)習(xí)難點正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第48頁至第51頁，填空．正切函數(shù)的周期是__，是增函數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，它的值域是__R__．2．預(yù)習(xí)自測（1）畫出下列各角的正切線：【知識點】正切線【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】注意第二、三象限正切線的變化，投影到第四、一象限做正切線.【解題過程】【答案】略（2）復(fù)習(xí)相關(guān)誘導(dǎo)公式tan(x+π)=；tan(-x)=．【知識點】任意角三角函數(shù)誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想【思路點撥】“奇變偶不變，符號看象限”【解題過程】tan(x+π)中，根據(jù)，系數(shù)為偶數(shù)2，三角函數(shù)名不變．假定x為銳角，為第三象限角，其正切為正，∴．同理，．【答案】tan(x+π)=；tan(-x)=．（二）課堂設(shè)計1．知識回顧（1）任意角α的終邊與單位圓交于點()，則α的正切=．（2）下圖1中，有向線段MP、OM、AT分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線．圖1．三角函數(shù)線（3）正弦函數(shù)的圖象如圖2，其最小正周期為，是奇函數(shù)，在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù)，其值從-1到1；在每一個閉區(qū)間都是減函數(shù)，其值從1到-1；余弦函數(shù)的圖象如圖3，它是偶函數(shù)，在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù)．圖2．正弦函數(shù)圖象圖3．余弦函數(shù)圖象2．問題探究探究一：正切函數(shù)有哪些性質(zhì)？（1）定義域：回顧正切的定義，其中角是任意角嗎？由正切函數(shù)定義，若角x的終邊過點，則知，當(dāng)，即時，無意義，故正切函數(shù)的定義域為．（2）周期性結(jié)合周期函數(shù)的定義，由誘導(dǎo)公式，能得出什么樣的結(jié)論？根據(jù)，可得出正切函數(shù)的一個周期為，且由單位圓中正切線的變化情況可知，為該函數(shù)的最小正周期．（3）奇偶性結(jié)合奇偶函數(shù)的定義，由誘導(dǎo)公式，能得出什么樣的結(jié)論？正切函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱．（4）單調(diào)性由正切線的變化規(guī)律，正切函數(shù)具有怎樣的單調(diào)性？正切函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，又由正切函數(shù)的周期性可知，正切函數(shù)在開區(qū)間()內(nèi)都是增函數(shù)．（5）值域由正切線的變化規(guī)律，分析正切函數(shù)的值域是多少．由圖1(Ⅰ)可知，當(dāng)x大于且無限接近于時，正切線AT向y軸的負(fù)方向無限延伸；由圖1(Ⅱ)可知，當(dāng)x小于且無限接近于時，正切線AT向y軸的正方向無限延伸．故，在內(nèi)可以取任意實數(shù)，但沒有最大值、最小值．因此，正切函數(shù)的值域是．探究二：由正切函數(shù)的性質(zhì)和單位圓中正切線如何得出正切函數(shù)圖象？（1）類比已經(jīng)學(xué)習(xí)的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，應(yīng)該按照怎樣的步驟研究正切函數(shù)？正切函數(shù)的是最小正周期為的周期函數(shù)，所以只需畫出它在一個周期內(nèi)的圖象，然后通過平移就可以得到在整個定義域內(nèi)的圖象，可先選擇區(qū)間；而正切函數(shù)又是奇函數(shù)，所以只需要畫出在上的圖象即可．研究正切函數(shù)圖象的步驟如下：【設(shè)計意圖】理清思路，學(xué)習(xí)分析問題的方法．（2）類別正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，應(yīng)該怎樣畫正切函數(shù)的圖象？根據(jù)正切函數(shù)的定義域、周期性和奇偶性，選擇先在區(qū)間上作出它的圖象：①作平面直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系中軸左側(cè)作單位圓；②把單位圓第一象限分成4等份，分別在單位圓中作出正切線；③描點（橫坐標(biāo)是半周期4等分點對應(yīng)的值，縱坐標(biāo)是相應(yīng)的正切線的終點對應(yīng)的值）；④連線．再根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，畫出范圍內(nèi)的圖象．（如圖4）圖4．由正弦線畫正切函數(shù)在范圍內(nèi)圖象圖5．正切函數(shù)圖象最后由正切函數(shù)的周期性，只要把圖4中的圖象向左、向右擴展，就可以得到正切函數(shù)（）的圖象，稱之為正切曲線（如圖5所示）．【設(shè)計意圖】實際操作，鍛煉動手能力．（3）觀察正切曲線，分析正切函數(shù)的性質(zhì)①定義域：函數(shù)在處無定義，符合先前分析的定義域為．②單調(diào)性：對于每一個，在開區(qū)間內(nèi)，正切函數(shù)圖象從左往右升高，正切函數(shù)單調(diào)遞增．③值域：靠近時，函數(shù)圖象向下無限逼近直線，靠近時，函數(shù)圖象向上無限逼近直線，能夠取到R上任意實數(shù)，值域為R．④漸近線：正切曲線不限逼近的直線稱之為正切曲線各支的漸近線．正切曲線是由被漸近線隔開的無窮多支曲線組成的，且在漸近線處無取值，即函數(shù)無定義．⑤對稱性：正切曲線關(guān)于每一段圖象與x軸的交點對稱，且關(guān)于漸近線與x軸交點對稱，但正切曲線不關(guān)于任何直線對稱．即，正切曲線不是軸對稱圖形，而是中心對稱圖形，其對稱中心為．【設(shè)計意圖】前后呼應(yīng)，擴展延伸，加深對正切函數(shù)性質(zhì)的理解．探究三：應(yīng)用例1．求函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間．【知識點】正切函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)性．【數(shù)學(xué)思想】換元思想，整體思想．【思路點撥】把看作整體，利用正切函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)性知識求解．【解題過程】令，得，所以函數(shù)的定義域．周期．令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．【答案】定義域：；周期T=2；單調(diào)遞增區(qū)間．例2．求函數(shù)的定義域．（1）；（2）．【知識點】函數(shù)的定義域，解不等式，正切函數(shù)的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】換元思想、整體思想．【思路點撥】先求不等式在內(nèi)的解集，再根據(jù)正切函數(shù)的周期性求解出所有范圍．【解題過程】（1）由題意，，在內(nèi)，，∴，又因為y=tanx是周期為π的周期函數(shù)，所以函數(shù)的定義域為．（2）因為tanx≥1所以，因為y=tanx在上單調(diào)遞增，所以在上，tanx≥1的解集為．又因為y=tanx是周期為π的周期函數(shù)，所以tanx≥1的解集為，k∈Z，此即為函數(shù)的的定義域．【答案】（1）；（2）．例3．比較與的大小【知識點】正切函數(shù)的周期性，單調(diào)性【數(shù)學(xué)思想】函數(shù)思想【思路點撥】先將利用周期性轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)y=tanx在上單調(diào)性，比較的大小【解題過程】因為，又，且y=tanx在上單調(diào)遞增，所以，即．【答案】3．課堂總結(jié)（1）正切函數(shù)的圖象；（2）正切函數(shù)的性質(zhì)．【設(shè)計意圖】由學(xué)生自己小結(jié)，提高課堂的有效教學(xué)，讓學(xué)生養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，問自己今天學(xué)到什么內(nèi)容．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．函數(shù)y=tan3πx的最小正周期是()A．13B．23C．6π【知識點】正切函數(shù)的最小正周期．【數(shù)學(xué)思想】換元、代換思想．【思路點撥】由周期求解．【解題過程】．【答案】A2．函數(shù)y=tan(π4-x)的定義域是(A．{x|x∈R且x≠-π4}B．{x|x∈R且x≠3π4C．{x|x∈R且x≠kπ-π4，k∈Z}D．{x|x∈R且x≠kπ-3π4，k∈【知識點】正切函數(shù)的定義域．【數(shù)學(xué)思想】換元、代換思想．【思路點撥】根據(jù)正切函數(shù)的定義域換元求解．【解題過程】由，解得（），即（）．【答案】C3．下列不等式中正確的是()A．tan47π>tan37πB．tan25π<C．tan(-137π)>tan(-158π)D．tan(-134π)<tan(【知識點】正切函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合．【思路點撥】利用函數(shù)單調(diào)性、正切函數(shù)圖象比較大小．【解題過程】因為，，所以，A錯．同理，B錯．，又，且，由正切函數(shù)在單調(diào)遞增，可得，即．同理，D錯．【答案】C4．在下列函數(shù)中，同時滿足：①在(0，π2)上遞增；②以2π為周期；③是奇函數(shù)的是(A．y=tanxB．y=cosxC．y=tanxx2D．【知識點】正切函數(shù)、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象的伸縮變換【數(shù)學(xué)思想】【思路點撥】聯(lián)系正切函數(shù)，余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)求解．【解題過程】A不滿足②，B不滿足①，C滿足所有條件，D不滿足①②．【答案】C能力型師生共研5．不等式的解集是___________________．【知識點】正切函數(shù)圖象與性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】先求不等式在內(nèi)的解集，再根據(jù)正切函數(shù)的周期性求解出所有范圍．【思路點撥】聯(lián)系正切函數(shù)圖象與性質(zhì)，先求出內(nèi)范圍，再根據(jù)周期性求出全部解集．【解題過程】由題意，，又內(nèi)，正切函數(shù)單調(diào)遞增，所以，結(jié)合周期性，所求解集為．【答案】．6．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【知識點】正切函數(shù)的單調(diào)性．【數(shù)學(xué)思想】整體思想，換元思想．【思路點撥】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)，函數(shù)為遞減函數(shù)，再根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出單調(diào)區(qū)間．【解題過程】令（），解得．【答案】單調(diào)遞減區(qū)間為．探究型多維突破7．畫出y=|tanx|的圖象，并指出定義域、值域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間．【知識點】正切函數(shù)的圖象，與圖象關(guān)系．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合．【思路點撥】圖象x軸下方的部分，翻折到x軸上方，得到圖象．【解題過程】先畫出的圖象，再將x軸下方的圖象，翻折到x軸上方．【答案】定義域：{x|x≠π2+kπ，k∈Z}；值域：[0，+∞)；最小正周期：π；單調(diào)增區(qū)間：[kπ，π2+kπ)，k∈Z，單調(diào)減區(qū)間：(-π2+kπ，kπ]，k8．用函數(shù)單調(diào)性的定義探究：正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？為什么？【知識點】正切函數(shù)的單調(diào)性．【思路點撥】聯(lián)系單調(diào)函數(shù)的定義，探討在整個定義域內(nèi)，正切函數(shù)是否符合定義域內(nèi)任意兩個實數(shù)，若，都有．【解題過程】（1）不是，因為在單調(diào)區(qū)間之間并不單調(diào)，所以單調(diào)區(qū)間是一個個獨立的區(qū)間，而不存在并集的問題．如果正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)，按照定義，對于定義域內(nèi)任意兩個實數(shù)，若，都有．舉反例，，但．故正切函數(shù)不是在整個定義域內(nèi)的增函數(shù)．但正切函數(shù)，在每個區(qū)間范圍內(nèi)，滿足單調(diào)遞增函數(shù)的定義，是增函數(shù)．這也解釋了，我們在描述在不同區(qū)間內(nèi)分別單調(diào)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，不能用并集符號連接各區(qū)間，只能用“和”或者逗號．【答案】不能．自助餐1．關(guān)于x的函數(shù)f(x)=tan(x+φ)有以下說法：(1)對任意的φ，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；(2)不存在φ，使f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(3)存在φ，使f(x)是奇函數(shù)；(4)對任意的φ，f(x)都不是偶函數(shù)．其中不正確的說法的序號是.因為當(dāng)φ=時，該說法的結(jié)論不成立．【知識點】正切函數(shù)的奇偶性.【思路點撥】為奇函數(shù)，所以當(dāng)f(x)=tan(x+φ)能化為時，為奇函數(shù).【解題過程】對于(1),顯然當(dāng)φ=kπ或kπ+,k∈Z時,f(x)是奇函數(shù),故(1)錯,(3)正確;既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)為f(x)=0,顯然對于任意的φ,f(x)都不可能恒為0,從而(2)正確;(4)顯然正確.【答案】（1）kπ或kπ+,k∈Z.2．比較與的大小.【知識點】正切函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合．【思路點撥】利用函數(shù)單調(diào)性、