《簡單的線性規(guī)劃（第3課時）》教學(xué)設(shè)計

1/13.3.2簡單的線性規(guī)劃問題(第3課時)(名師：陳庚生)【核心素養(yǎng)】通過學(xué)習(xí)簡單的線性規(guī)劃問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)處理的能力．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能夠從實際問題中抽象出線性規(guī)劃模型，并加以解決．【學(xué)習(xí)重點】從實際問題中抽象出相應(yīng)模型．【學(xué)習(xí)難點】實際問題中抽象出相應(yīng)模型，并準(zhǔn)確寫出線性目標(biāo)函數(shù)和完整的約束條件．二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1閱讀教材思考：什么是目標(biāo)函數(shù)，線性規(guī)劃的最優(yōu)解在實際問題中的特殊性2．預(yù)習(xí)自測1.有5輛6噸的汽車，4輛4噸的汽車，要運送最多的貨物，完成這項運輸任務(wù)的線性目標(biāo)函數(shù)為()A．z＝6x＋4yB．z＝5x＋4yC．z＝x＋yD．z＝4x＋5y【知識點：簡單的線性規(guī)劃；】解：A設(shè)需x輛6噸汽車，y輛4噸汽車，則運輸貨物的噸數(shù)為z＝6x＋4y，即目標(biāo)函數(shù)z＝6x＋4y.2.某電視臺每周播放甲、乙兩部連續(xù)劇，播放連續(xù)劇甲一次需80分鐘，有60萬觀眾收看，播放連續(xù)劇乙一次需40分鐘，有20萬觀眾收看．已知電視臺每周至少播出電視劇6次，總時間不超過320分鐘，則電視臺最高收視率為每周觀眾有()A．300萬人B．200萬人C．210萬人D．220萬人【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：建?！拷猓築3.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）A．12萬元B．16萬元C．17萬元D．18萬元甲乙原料限額（噸）（噸）【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓篋（二）課堂設(shè)計1．例題講解例1、某工廠制造甲、乙兩種產(chǎn)品，已知制造甲產(chǎn)品1kg要用煤9噸，電力4kw，勞力（按工作日計算）3個；制造乙產(chǎn)品1kg要用煤4噸，電力5kw，勞力10個.又知制成甲產(chǎn)品1kg可獲利7萬元，制成乙產(chǎn)品1kg可獲利12萬元.現(xiàn)在此工廠只有煤360噸，電力200kw，勞力300個，在這種條件下應(yīng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少千克，才能獲得最大經(jīng)濟效益？【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！克悸穼?dǎo)析：設(shè)未知量，建立目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平面區(qū)域求最值.解：設(shè)此工廠應(yīng)生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品kg,kg，利潤萬元，則依題意可得約束條件利潤目標(biāo)函數(shù)為作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域（如圖），作直線，把直線向右上方平移至位置時，直線經(jīng)過可行域上的點時，此時取得最大值.解方程組得點的坐標(biāo)為.所以應(yīng)生產(chǎn)甲20千克、乙產(chǎn)品24千克，才能獲得最大經(jīng)濟效益.變式練習(xí)1、某糕點廠生產(chǎn)高檔蛋糕和普通面包，生產(chǎn)高檔蛋糕1千克分別需要面粉100克、糖200克、雞蛋300克，生產(chǎn)普通面包分別需要面粉300克、糖200克、雞蛋100克.現(xiàn)已在庫存量面粉為15千克，糖12千克，雞蛋15千克，若在此基礎(chǔ)上進行生產(chǎn)，請列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷馕觯涸O(shè)設(shè)高檔蛋糕和普通面包應(yīng)各生產(chǎn)千克和千克，則所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為即分別畫出不等式組中各不等式所表示的區(qū)域，然后取交集.如圖所示的平面區(qū)域（陰影部分）就是不等組所表示的區(qū)域.例2、某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計180，擬分割成兩類房間作為旅游客房.大房間每間面積為18，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積為13，可住游客3名，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間才能獲得最大收益？【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】思路導(dǎo)析：按線性規(guī)劃問題的步驟.解：設(shè)隔出大房間間，小房間間，收益為元，則滿足且作出可行域如圖作出直線即，平行移動，當(dāng)?shù)竭_(dá)點時（記為），的縱截距最大，解得，但，所以不是最優(yōu)解，于是將從向左下方平移，平移過程中，最早經(jīng)過可行域的整點可能為，,它們對應(yīng)的值一次為36,34,35,36,34,35,33,31,32分別與50的乘積.所以當(dāng)經(jīng)過和時，取得最大值，所以應(yīng)隔出小房間12間，或大房間3間，小房間8間，可以獲得最大利潤.規(guī)律總結(jié)：最優(yōu)解不一定都在邊界上，如果要求的最優(yōu)解是可行域中的整數(shù)解，且直觀上不易確定最優(yōu)解，那么在求得非整數(shù)解后，可以在其附近按可行域中的最優(yōu)解應(yīng)滿足的必要條件對的取值一一列舉.由邊界直線方程分別求得對應(yīng)的最大（或最新）整數(shù)值，再代入目標(biāo)函數(shù)分別計算并比較大小，如能適當(dāng)推理估計，則過程更簡.變式練習(xí)2、經(jīng)調(diào)查，某高校兩個專業(yè)擬招收新生.已知專業(yè)招收100名新生需配備教師：教授1人，副教授4人；專業(yè)招收100名新生需配備教師：教授1人，副教授2人.專業(yè)新生每年的學(xué)費為6000元；專業(yè)新生每年的學(xué)費為5000元.這所高校為兩個專業(yè)配備的教師確定為：教授不超過5人，副教授不超過16人.問兩個專業(yè)每年從這兩個專業(yè)的新生中招收多少名新生收繳的學(xué)費最多？【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓涸O(shè)專業(yè)招收新生人，專業(yè)招收新生人，每年收繳的學(xué)費為元，則，作出可行域如圖，做直線，即，把直線向右上方平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點，這時取得最大值，解方程組得點的坐標(biāo)為（3,2）把代入元.例3、已知，,求的最大值和最小值.【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】思路導(dǎo)析：要求的最值，可令，則為斜率為-1的平行直線系在軸上的截距，將已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組，作出平面區(qū)域（可行域）.解：設(shè)，題設(shè)條件可轉(zhuǎn)化為作出它們在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)圍成的區(qū)域如圖所示，則為斜率為-1的平行直線系在軸上的截距.當(dāng)直線往右平移時，隨之增大，經(jīng)過不等式組所表示的平面區(qū)域的點時，取最小值，即；當(dāng)直線經(jīng)過點時，取最大值，即.所以的最大值和最小值分別是18和4.規(guī)律總結(jié)：這類問題的解題思路是在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，根據(jù)條件確定平面區(qū)域，并將最值問題轉(zhuǎn)化為直線在坐標(biāo)軸上的截距問題來解決.變式練習(xí)3、已知實數(shù)滿足則的取值范圍是.解析：依題意作出可行域如圖，直接求出各直線交點，再求.例4.要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：規(guī)格類型鋼板類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需的三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】解：設(shè)變量，列出線性約束條件，畫出可行域，可用不同的方法求整點最優(yōu)解．設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張．可得且x、y都是整數(shù)．求目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y取最小值時的x、y.作可行域如圖所示，平移直線z＝x＋y可知直線經(jīng)過點(，)，此時x＋y＝，但與都不是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點(，)不是最優(yōu)解，如何求整點最優(yōu)解呢？方法一：平移求解法首先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格，其次描出A(，)附近的所有整點，接著平移直線l：x＋y＝0，會發(fā)現(xiàn)當(dāng)移至B(3,9)、C(4,8)時，即z的最小值為12.方法二：特值驗證法由方法一知，目標(biāo)函數(shù)取得最小值的整點應(yīng)分布在可行域的左下側(cè)靠近邊界的整點，依次滿足條件的整點A0(0,15)，A1(1,13)，A2(2,11)，A3(3,9)，A4(4,8)，A5(5,8)，A6(6,7)，A7(7,7)，A8(8,7)，A9(9,6)，A10(10,6)，…，A27(27,0)．將這些點的坐標(biāo)分別代入z＝x＋y，求出各個對應(yīng)值，經(jīng)驗證可知，在整點A3(3,9)和A4(4,8)處z取得最小值，其解法的思路是找整點、驗證算、選優(yōu)解．方法三：調(diào)整優(yōu)值法由非整點最優(yōu)解(，)，z＝，∴z≥12.令x＋y＝12，y＝12－x代入約束條件整理得3≤x≤，∴x＝3和x＝4，這時最優(yōu)整點為(3,9)和(4,8)．調(diào)整優(yōu)值法的解法思路是先求非整點最優(yōu)解，再借助不定方程的知識調(diào)整最優(yōu)解，最后篩選出整點最優(yōu)解．故本例有兩種截法．第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張．兩種方法最少要截兩種鋼板共12張．3．課堂總結(jié)【知識梳理】解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟：①審題(需要時可列表分析)；②設(shè)相關(guān)變元，列出目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件(不等式組)；③作圖，確定可行域；④找最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值；⑤回答實際問題．4．隨堂檢測1.配置A、B兩種藥劑都需要甲、乙兩種原料，用料要求如下表所示(單位：kg)原料藥劑甲乙A25B54藥劑A、B至少各配一劑，且藥劑A、B每劑售價分別為100元、200元，現(xiàn)有原料甲20kg，原料乙33kg，那么可以獲得的最大銷售額為()A．600元B．700元C．800元D．900元【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓篋2.某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需運往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次．派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運送一次可得利潤350元，該公司合理計劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤為()A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓篊3.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓篊設(shè)某公司生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y桶，獲利為z元，則x，y滿足的線性約束條件為目標(biāo)函數(shù)z＝300x＋400y.作出可行域，如圖中四邊形OABC的邊界及其內(nèi)部整點．作直線l0：3x＋4y＝0，平移直線l0經(jīng)可行域內(nèi)點B時，z取最大值，由得B(4,4)，滿足題意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2800.4.某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件．已知設(shè)備甲每天的租賃費為200元，設(shè)備乙每天的租賃費為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費最少為________元．【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓?3005.某驗室至少需要某種化學(xué)藥品10kg，現(xiàn)在市場上出售的該藥品有兩種包裝，一種是每袋3kg，價格為12元；另一種是每袋2kg，價格為10元．由于保質(zhì)期的限制，每一種包裝購買的數(shù)量都不能超過5袋，則在滿足需要的條件下，花費最少為________元．【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】解：44（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.車間有男工25人，女工20人，要組織甲、乙兩種工作小組，甲組有5名男工，3名女工，乙組有4名男工，5名女工，并且要求甲組種數(shù)不少于乙組，乙種組數(shù)不少于1組，則最多各能組成工作小組為()A．甲4組、乙2組B．甲2組、乙4組C．甲、乙各3組D．甲3組、乙2組【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓篋設(shè)甲、乙兩種工作分別有x、y組，依題意有作出可行域可知(3,2)符合題意，即甲3組，乙2組．2.某學(xué)校用800元購買A、B兩種教學(xué)用品，A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A、B兩種用品應(yīng)各買的件數(shù)為()A．2件，4件B．3件，3件C．4件，2件D．不確定【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓築設(shè)買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則求z＝800－100x－160y取得最小值時的整數(shù)解(x，y)，用圖解法求得整數(shù)解為(3,3)．3.在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)．現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用．每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺．若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為()A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】解：B設(shè)需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運輸費用z元，根據(jù)題意，得線性約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝400x＋300y，畫圖可知，當(dāng)平移直線400x＋300y＝0至經(jīng)過點(4,2)時，z取最小值2200.4.某企業(yè)擬用集裝箱托運甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品每件體積為5m3，重量為2噸，運出后，可獲利潤10萬元；乙種產(chǎn)品每件體積為4m3，重量為5噸，運出后，可獲利潤20萬元，集裝箱的容積為24m3【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓?0萬元設(shè)甲種產(chǎn)品裝x件，乙種產(chǎn)品裝y件(x，y∈N)，總利潤為z萬元，則且z＝10x＋20y.作出可行域，如圖中的陰影部分所示．作直線l0：10x＋20y＝0，即x＋2y＝0.當(dāng)l0向右上方平移時z的值變大，平移到經(jīng)過直線5x＋4y＝24與2x＋5y＝13的交點(4,1)時，zmax＝10×4＋20×1＝60(萬元)，即甲種產(chǎn)品裝4件、乙種產(chǎn)品裝1件時總利潤最大，最大利潤為60萬元．5.鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表：ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費用為________(百萬元)．【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓?5設(shè)購買鐵礦石A、B分別為x，y萬噸，購買鐵礦石的費用為z(百萬元)，則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋6y.由得記P(1,2)，畫出可行域，如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋6y過點P(1,2)時，z取最小值，且最小值為zmin＝3×1＋6×2＝15.能力型師生共研6.某運輸公司接受了向抗洪搶險地區(qū)每天至少運送180t支援物資的任務(wù)，該公司有8輛載重為6t的A型卡車和4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次，B型卡車3次，每輛卡車每天往返的成本費用為A型卡車320元，B型卡車504元，請問該公司調(diào)配A型卡車________輛，B型卡車________輛時，公司所花的成本費用最低．【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓?,2設(shè)每天調(diào)出A型卡車x輛，B型卡車y輛，公司所花的成本為z元，依題意有?目標(biāo)函數(shù)z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．上述不等式組所確定的平面區(qū)域如圖所示．由圖易知，直線z＝320x＋504y在可行域內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)中，點(5,2)使z＝320x＋504y取得最小值，z最小值＝320×5＋504×2＝2608(元)．即調(diào)A型卡車5輛，B型卡車2輛時，公司所花的成本費用最低．7.某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品所需要的勞動力和煤、電如下表：產(chǎn)品品種勞動力(個)煤(噸)電(度)A產(chǎn)品394B產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動力300個，煤360噸，并且供電局只能供電200度，試問該企業(yè)生產(chǎn)A產(chǎn)品______噸、B產(chǎn)品______噸時，才能獲得最大利潤，最大利潤為______.【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓?0,24,428設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各為x，y噸，利潤為z萬元．由題意得z＝7x＋12y.作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)．將目標(biāo)函數(shù)z＝7x＋12y轉(zhuǎn)化為直線l：y＝－x＋.這是一條斜率為－，在y軸上的截距為的直線，當(dāng)z變化時，可以得到一族平行直線．直線與陰影部分的交點滿足不等式組，且當(dāng)截距最大時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．由圖可知，當(dāng)直線l經(jīng)過M點時，在y軸上的截距最大，此時z取最大值．由得即A(20,24)．故zmax＝20×7＋12×24＝428(萬元)．8.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲產(chǎn)品為一等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率多0.25，甲產(chǎn)品為二等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率少0.05.(1)分別求甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要用的工人數(shù)和資金數(shù)如表所示，且該廠有工人32名，可用資金55萬元．設(shè)x，y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在(1)的條件下，求x，y為何值時，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？工人(名)資金(萬元)甲420乙85【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】解:(1)依題意得解得故甲產(chǎn)品為一等品的概率P甲＝0.65，乙產(chǎn)品為一等品的概率P乙＝0.4.(2)依題意得x、y應(yīng)滿足的約束條件為且z＝0.65x＋0.4y.作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，即可行域．作直線l0：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直線l向上方平移到l1的位置時，直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點M，此時z取得最大值．解方程組得x＝2，y＝3.故M的坐標(biāo)為(2,3)，所以z的最大值為zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，當(dāng)x＝2，y＝3時，z取最大值為2.9.某工廠用兩種不同的原料均可生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1000元，運費500元，可得產(chǎn)品90kg，若采用乙種原料，每噸成本1500元，運費400元，可得產(chǎn)品100kg.如果每月原料的總成本不超過6000元，運費不超過2000元，那么工廠每月最多可生產(chǎn)多少產(chǎn)品？【知識點：簡單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓簩⒁阎獢?shù)據(jù)列成下表：每噸甲原料每噸乙原料費用限制成本(元)100015006000運費(元)5004002000產(chǎn)品(kg)90100設(shè)此工廠每月甲乙兩種原料各用x(t)、y(t)，生產(chǎn)z(kg)產(chǎn)品，則即且z＝90x＋100y.作出以上不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域．作直線l：90x＋100y＝0，即9x＋10y＝0.把l向右上方移動到位置l1時，直線經(jīng)過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z＝90x＋100y取得最大值．∴zmax＝90×＋100×＝440.因此工廠最多每天生產(chǎn)440kg產(chǎn)品．探究型多維突破10.某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐．已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐？【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】解：方法一：設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費用為z元，則依題意得：z＝2.5x＋4y，且x，y滿足即z在可行域的四個頂點A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)處的值分別是zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，zB＝2.5×4十4×3＝22，zC＝2.5×2＋4×5＝25，zD＝2.5×0＋4×8＝32.比較之，zB最小，因此，應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求．方法二：設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費用為z元，則依題意得：z＝2.5x＋4y，且x，y滿足即讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)處取得最小值．因此，應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求．自助餐1.某蔬菜收購點租用車輛，將100噸新鮮黃瓜運往某市銷售，可供租用的大卡車和農(nóng)用車分別為10輛和20輛，若每輛卡車載重8噸，運費960元，每輛農(nóng)用車載重2.5噸，運費360元，運完全部黃瓜的最低運費為（）A．12120元B．12480元C．11880D．12260元【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓築設(shè)租用大卡車x輛，農(nóng)用車y輛，最低運費為z元．z=960x＋360y．線性約束條件是：作出可行域．作直線960x＋360y=0．即8x＋3y=0，向上平移至過點B(10，8)時，z=960x＋360y取到最小值．z最小=960×10＋360×8=12480.2.某人承攬一項業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌3個，現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3m2，可做文字標(biāo)牌1個，繪畫標(biāo)牌2個，乙種規(guī)格每張2m2，可做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌1個，求兩種規(guī)格的原料各用（）張，才能使總的用料面積最?。瓵．甲0張，乙1張B．甲1張，乙1張C．甲0張，乙2張D．甲1臺，乙2臺【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓築設(shè)用甲種規(guī)格原料x張，乙種規(guī)格原料y張，所用原料的總面積是zm2，目標(biāo)函數(shù)z=3x＋2y，線性約束條件，作出可行域．作一組平等直線3x＋2y=t．A不是整點，A不是最優(yōu)解．在可行域內(nèi)的整點中，點B(1，1)使z取得最小值．z最小=3×1＋2×1=5.3.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓篊設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品X桶，乙種產(chǎn)品Y桶，公司共可獲得利潤為Z元/天，則由已知，得Z=300X+400Y且，畫可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)Z=300X+400Y可變形為Y=，這是隨Z變化的一族平行直線解方程組即A（4,4）.4.某家俱公司生產(chǎn)甲、乙兩種型號的組合柜，每種柜的制造白坯時間、油漆時間及有關(guān)數(shù)據(jù)如下：問該公司如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能獲得最大的利潤．A．甲3臺，乙9臺B．甲4臺，乙7臺C．甲4臺，乙8臺D．甲3臺，乙7臺【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】解：C設(shè)x，y分別為甲、乙兩種柜的日產(chǎn)量，目標(biāo)函數(shù)z=200x＋240y，線性約束條件：作出可行域．z最大=200×4＋240×8=2720.5.某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓築設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為.線性約束條件為

即作出不等式組表示的可行域,易求得點.平移直線，可知當(dāng)直線經(jīng)過點,即時,z取得最大值,且（萬元）.故選B.6．某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件則x＝10x＋10y的最大值是________．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】解：90先畫出滿足約束條件的可行域，如圖中陰影部分所示．由解得但x∈N*，y∈N*，結(jié)合圖知當(dāng)x＝5，y＝4時，zmax＝90.7．某小型工廠安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，已知工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每噸所需要的原材料A，B，C的數(shù)量和一周內(nèi)可用資源數(shù)量如下表所示：原材料甲(噸)乙(噸)資源數(shù)量(噸)A1150B40160C25200如果甲產(chǎn)品每噸的利潤為300元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為200元，那么應(yīng)如何安排生產(chǎn)，工廠每周才可獲得最大利潤？【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】解：設(shè)工廠一周內(nèi)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，所獲周利潤為z元．依據(jù)題意，得目標(biāo)函數(shù)為z＝300x＋200y，約束條件為欲求目標(biāo)函數(shù)z＝300x＋200y＝100(3x＋2y)的最大值，先畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示，則點A(40，0)，B(40，10)，C，D(0，40)．作直線3x＋2y＝0，當(dāng)移動該直線過點B(40，10)時，3x＋2y取得最大值，則z＝300x＋200y取得最大值(也可通過代入凸多邊形端點進行計算，比較大小求得)．故zmax＝300×40＋200×10＝14000.所以工廠每周生產(chǎn)甲產(chǎn)品40噸，乙產(chǎn)品10噸時，才可獲得最大周利潤，為14000元．8.某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4噸、硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸、硝酸鹽15噸.先庫存磷酸鹽10噸、硝酸鹽66噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.若生產(chǎn)1車皮甲種肥料產(chǎn)生的利潤為10000元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料產(chǎn)生的利潤為5000元.那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮能產(chǎn)生最大的利潤？【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓涸O(shè)x、y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：再設(shè)分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各車皮產(chǎn)生的利潤為.由得兩直線的交點令，當(dāng)直線L：經(jīng)過點時，它在軸上的截距有最大值為6，此時故分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各2車皮時產(chǎn)生的利潤最大為元.9.某家具廠有方木料90m3,五合板60m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3、五合板2m2，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m3、五合板1m2，出售一張書桌可獲得利潤80元，出售一個書櫥可獲得利潤120元．如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！拷猓簩⒁阎獢?shù)據(jù)列成下表:方木料（m3）五合板（m2）利潤（元）書桌（個）0.1280書櫥（個）0.21120限額90600①只生產(chǎn)書桌：因為90÷0.1=900，600÷2=300.所以，可產(chǎn)生書桌300張，用完五合板，此時獲利潤為80×300=24000（元）；②只生產(chǎn)書櫥：因為90÷0.2=450，600÷1=600，所以，可產(chǎn)生450個書櫥，用完方木料.此時獲利潤為120×450=54000（元）；600600400600300900xy(300,0),(0,600)300(900,0),(0,450)BACll1o圖⑵③若既安排生產(chǎn)書桌，也安排生產(chǎn)書櫥設(shè)安排生產(chǎn)書桌x張，安排生產(chǎn)書櫥y個,可獲利潤z元，則，,作出可行域如圖⑵，并作直線l:80x+120y=0,即2x+3y=0.將直線l向右平移，得到經(jīng)過可行域的定點B且距原點最遠(yuǎn)的直線l1.解方程組得最優(yōu)解此時，（元）.答：由上面①②③知：只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤24000元；只生產(chǎn)書櫥，