《3有理數(shù)的乘除運算》知識清單

《3有理數(shù)的乘除運算》知識清單一、有理數(shù)乘法的基礎1、有理數(shù)乘法的意義就像我們分糖果一樣，如果有3個小朋友，每個小朋友分2顆糖，那總共分出去的糖果數(shù)就是3乘以2等于6顆。在數(shù)學里，乘法就是表示幾個相同加數(shù)的和的簡便運算。對于有理數(shù)乘法也是一樣的道理。比如說，有2個3相加，我們就可以寫成2乘以3。真實體驗：我去超市買蘋果，蘋果每個3元，我買了5個，那就是3×5＝15元。如果蘋果的價格是3元（假設是商家給的折扣，相當于我每買一個蘋果商家倒給我3元），我買了5個，那就是5×（－3)＝15元，這意味著商家要給我15元。2、有理數(shù)乘法法則兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。比如說，2×3＝6，這是兩個正數(shù)相乘，結果是正數(shù)。而2×3，因為2是負數(shù)，2和3異號，所以結果是6。再看2×（－3)，兩個都是負數(shù)，同號得正，結果就是6。例子：冬天的時候，氣溫每天下降2度，3天后氣溫總共下降了多少度呢？那就是2×3=－6度。如果是氣溫每天上升2度，3天后氣溫上升了2×3＝6度。要是氣溫每天下降2度（也就是每天上升2度），3天后氣溫就上升了2×（－3)＝6度。3、多個有理數(shù)相乘當幾個不等于0的數(shù)相乘時，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定。當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正。幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就為0。例如：計算2×3×（－4)，這里有兩個負因數(shù)，負因數(shù)個數(shù)是偶數(shù)，所以結果是正數(shù)，先算2×3×4＝24，所以2×3×（－4)＝24。再比如2×3×4，這里有一個負因數(shù)，負因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，結果是24。真實事情：我在計算班級同學的成績平均分的時候，有一次有幾個同學的成績有加分（用正數(shù)表示），有幾個同學有扣分（用負數(shù)表示）。如果加分的同學數(shù)量是偶數(shù)，扣分的同學數(shù)量也是偶數(shù)，那最后總的加分或者扣分情況（就像多個有理數(shù)相乘的結果符號）就是正數(shù)或者0（如果加分和扣分正好抵消）。如果加分同學數(shù)量是奇數(shù)，扣分同學數(shù)量也是奇數(shù)，那結果也是正數(shù)。但如果一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，結果就是負數(shù)。二、有理數(shù)的除法1、有理數(shù)除法的意義除法是乘法的逆運算。就像把一堆糖果平均分給小朋友，如果知道總共有10顆糖，要分給5個小朋友，那每個小朋友得到的糖果數(shù)就是10除以5等于2顆。對于有理數(shù)也是一樣，如果知道兩個有理數(shù)的乘積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算就是除法。比如說，因為3×4＝12，所以12÷4＝3，12÷3＝4。對于有理數(shù)6÷3，因為3×（－2)＝6，所以6÷3=－2。2、有理數(shù)除法法則除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。例如：計算8÷2，根據(jù)法則，就等于8×1/2=－4。計算8÷（－2)，等于8×（－1/2)＝4。而0÷5＝0，因為0乘以任何數(shù)都為0。真實觀察：我在看股票漲跌的時候，有一支股票開始的價格是10元，后來跌了2元，那它跌的比例就是2÷10=－0.2（也就是1/5），相當于它的價格變?yōu)樵瓉淼?0.2＝0.8倍。如果是漲了2元，那漲的比例就是2÷10＝0.2（也就是1/5），價格變?yōu)樵瓉淼?＋0.2＝1.2倍。3、有理數(shù)的乘除混合運算在進行有理數(shù)的乘除混合運算時，我們要按照從左到右的順序進行計算，有括號的先算括號里面的。也可以先將除法轉化為乘法，然后再按照乘法法則進行計算。例如：計算12÷（－3)×（－4)，按照順序，先算12÷（－3)＝4，再算4×（－4)＝16?；蛘呶覀兛梢园阉D化為12×（－1/3)×（－4)，先算12×（－1/3)＝4，再算4×（－4)＝16。體驗：我在計算家庭每月水電費的時候，水費每噸3元，用電量是按照每度0.5元計算。如果這個月用水4噸，用電80度，那水費就是4×3＝12元，電費就是80×0.5＝40元。如果要計算水費和電費的總和與用電量的比值，那就是(12＋40)÷80，先算括號里的12+40＝52，再算52÷80＝13/20。如果要先算除法再算加法，就可以寫成12÷80+40÷80，12÷80＝3/20，40÷80＝1/2，3/20+1/2＝13/20。三、有理數(shù)乘除運算的實際應用1、行程問題速度、時間和路程的關系是路程等于速度乘以時間。如果速度是有理數(shù)，時間也是有理數(shù)，那我們就可以用有理數(shù)的乘除運算來解決行程問題。比如，一輛汽車以每小時60千米的速度行駛，3小時行駛的路程就是60×3＝180千米。如果汽車的速度是60千米/小時（表示汽車向相反方向行駛），3小時行駛的路程就是60×3=－180千米，也就是汽車向相反方向行駛了180千米。真實事情：我和朋友出去騎行，我騎的速度比較快，每小時15千米，朋友騎的速度是每小時10千米。如果我們都騎了2小時，那我騎行的路程就是15×2＝30千米，朋友騎行的路程就是10×2＝20千米。如果我要計算我的速度是朋友速度的多少倍，那就是15÷10＝1.5倍。2、工程問題在工程問題中，工作總量等于工作效率乘以工作時間。如果工作效率用有理數(shù)表示，工作時間也用有理數(shù)表示，那我們可以用有理數(shù)乘除運算來計算工程相關的問題。例如，一項工程，甲隊每天能完成1/5的工作量，乙隊每天能完成1/3的工作量。如果甲隊單獨做，需要5天完成（因為1÷1/5＝5），如果乙隊單獨做，需要3天完成（因為1÷1/3＝3）。如果甲、乙兩隊合作，每天完成的工作量就是1/5+1/3＝8/15，那完成這項工程需要的時間就是1÷8/15＝15/8天。觀察：我看到建筑工人蓋房子，一組工人每天能砌10塊磚，另一組工人每天能砌15塊磚。如果要砌100塊磚，第一組工人需要100÷10＝10天，第二組工人需要100÷15＝20/3天。如果兩組工人一起砌，每天能砌10＋15＝25塊磚，那需要100÷25＝4天。3、銷售問題利潤等于售價減去成本，利潤率等于利潤除以成本。如果售價、成本都是有理數(shù)，那我們可以用有理數(shù)乘除運算來計算銷售中的各種數(shù)據(jù)。比如，一件商品的成本是80元，售價是100元，那利潤就是10080＝20元，利潤率就是20÷80＝0.25（也就是25%）。如果商品打8折出售，售價就是100×0.8＝80元，此時利潤就是8080＝0元，利潤率就是0÷80＝0。體驗：我去商場買衣服，看到一件衣服原價200元，現(xiàn)在降價30%出售，那現(xiàn)在的售價就是200×（10.3)＝140元。如果商家的成本是100元，那利潤就是140100＝40元，利潤率就是40÷100＝0.4（也就是40%）。四、有理數(shù)乘除運算中的易錯點1、符號問題在有理數(shù)乘除運算中，最容易出錯的就是符號。一定要牢記同號得正，異號得負的法則。有時候在多個有理數(shù)相乘除時，容易數(shù)錯負因數(shù)的個數(shù)，從而導致符號錯誤。例如，計算2×（－3)×4÷（－6)，這里有3個負因數(shù)，負因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，結果應該是負的。先算2×（－3)＝6，6×4＝24，24÷（－6)＝4。如果不小心把符號弄錯，就會得到錯誤的結果。真實體驗：我在做數(shù)學作業(yè)的時候，有一道題是計算3×4÷（－2)，我一開始就把符號弄錯了，算成了3×4=－12，12÷（－2)＝6，而正確的應該是3×4=－12，12÷（－2)＝6，因為是異號相除得正。2、運算順序問題在乘除混合運算中，如果不按照從左到右的順序計算，或者沒有先算括號里面的，就會得到錯誤的結果。比如，計算12÷（3×2)，應該先算括號里的3×2=－6，再算12÷（－6)＝2。如果先算12÷（－3)＝4，再乘以2得到8，那就錯了。觀察：我看到同學在計算數(shù)學題的時候，有一道題是(8÷2)×（3)，他先算2×（－3)＝6，再算8÷（－6)＝4/3，這就是運算順序錯誤。正確的應該是先算8÷2＝4，再算4×（－3)＝12。3、倒數(shù)的計算問題在有理數(shù)除法中，要把除法轉化為乘法，就需要計算除數(shù)的倒數(shù)。有時候會把倒數(shù)計算錯誤，比如把2的倒數(shù)寫成1/2，而正確的應該是1/2。例如，計算6÷（－2)，轉化為6×（－1/2)＝3。如果把2的倒數(shù)弄錯，結果就會錯誤。體驗：我自己在做有理數(shù)除法練習的時候，有一道題是8÷（－4)，我在轉化為乘法的時候，把4的倒數(shù)寫成了1/4，結果算出8×1/4=－2，而正確的應該是8×（－1/4)＝2。五、典型習題1、計算下列式子：（1）3×4×（－2)解：這里有兩個負因數(shù)，負因數(shù)個數(shù)是偶數(shù)，結果為正。先算3×4×2＝24，所以3×4×（－2)＝24。（2）12÷（－4)＋（－3)×2解：先算除法和乘法，12÷（－4)＝3，3×2=－6，再算加法3+（6)＝9。（3）2×（3÷2)解：先算括號里的3÷2=－3/2，再算2×（－3/2)＝3。2、一輛汽車以每小時40千米的速度行駛了5小時，然后又以每小時60千米的速度行駛了3小時，問汽車總共行駛的路程是多少？解：汽車先行駛的路程為40×5=－200千米，后行駛的路程為60×3＝