北京市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

2024年北京市第二次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試（一）第一部分（選擇題共60分）一、選擇題：共20小題，每小題3分，共60分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合并集的定義即可得到答案.【詳解】故選：D2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由即可求解.【詳解】由解析式可知，，及，所以定義域?yàn)?，故選：A3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)為即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以對?yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D4.如圖，在三棱柱中，底面是的中點(diǎn)，則直線（）A.與直線相交 B.與直線平行C.與直線垂直 D.與直線是異面直線【答案】D【解析】【分析】由直三棱柱的特征逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】易知三棱柱為直三棱柱，由圖易判斷與異面，AB錯(cuò)誤；因?yàn)?與相交但不垂直，所以與直線不垂直，C錯(cuò)誤；由圖可判斷與直線是異面直線，D正確.故選：D5.如圖，四邊形是正方形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角形法則即可求解.【詳解】.故選：B6.已知是定義在上的奇函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即.故選：B.7.在下列各數(shù)中，滿足不等式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解二次不等式，判斷數(shù)是否在解集內(nèi)即可得到答案.【詳解】解不等式得.故選：B.8.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解.【詳解】的否定為：.故選：C9.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用二倍角公式及特殊角的三角函數(shù)值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，故選：A.10.在下列各數(shù)中，與相等的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由半角和全角誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)化簡即可；【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D錯(cuò)誤；故選：A.11.在下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對A：上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對B：在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對C：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對D：在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：D.12.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】判斷兩個(gè)命題的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，是充分條件；當(dāng)時(shí)，是不充分條件；當(dāng)時(shí)，是必要條件；當(dāng)時(shí)，是不必要條件.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴“”是“”充分條件；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足要求，而，故不一定成立，∴“”是“”不必要條件.故選：A.13.在平面直角坐標(biāo)系中，以為頂點(diǎn)，為始邊，終邊在軸上的角的集合為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合角的定義即可得解.【詳解】當(dāng)終邊在軸非負(fù)半軸上時(shí)，有，當(dāng)終邊在軸非正半軸上時(shí)，有，故終邊在軸上的角的集合為.故選：C.14.在中，，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由余弦定理即可求解.【詳解】由，所以.故選：A15.下圖是甲、乙兩地10月1日至7日每天最低氣溫走勢圖.記這7天甲地每天最低氣溫的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為；記這7天乙地每天最低氣溫的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析統(tǒng)計(jì)圖中對應(yīng)信息得出對應(yīng)量的結(jié)果即可.【詳解】甲地1至7日最低氣溫均低于乙地，則甲地最低氣溫平均值也會(huì)小于乙地，即；標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)強(qiáng)弱的量，由圖可知甲地最低氣溫明顯波動(dòng)性較大，則標(biāo)準(zhǔn)差值要大，即.故選：B16.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡，再結(jié)合的圖象性質(zhì)可得結(jié)果.詳解】，由的圖象可知在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故A正確，BCD均錯(cuò)誤故選：A.17.已知，則下面不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)及特例逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于ABD:取，滿足，顯然和，都不成立；對于C：由可得，故成立.故選：C18.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物分別是“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”．“琮琮”代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址；“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)杭州西湖；“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭大運(yùn)河．某中學(xué)學(xué)生會(huì)宣傳部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名負(fù)責(zé)吉祥物的宣傳工作，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】算出基本事件的總數(shù)、隨機(jī)事件中的基本事件的個(gè)數(shù)后可求概率.【詳解】設(shè)為“2名學(xué)生來自不同年級”，則總的基本事件的個(gè)數(shù)為，中基本事件的個(gè)數(shù)為，故，故選：D.19.在區(qū)間上，的最大值是其最小值的倍，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用的單調(diào)性，得到，即可求解.【詳解】區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以，即，解得，故選：C.20.小明同學(xué)在通用技術(shù)課上，制作了一個(gè)半正多面體模型．他先將正方體交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)分別記為，如圖1所示，然后截去以為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所示，按照這種方法共截去八個(gè)正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型．若原正方體的棱長為6，則此半正多面體模型的體積為（）A.108 B.162 C.180 D.189【答案】C【解析】【分析】正方體的體積減掉8個(gè)以為底面的正三棱錐的體積即得此半正多面體模型的體積.【詳解】設(shè)此半正多面體模型的體積為，則.故選：C.第二部分（非選擇題共40分）二、填空題：共4小題，每小題3分，共12分．21._________．【答案】2【解析】【分析】由同底數(shù)的對數(shù)計(jì)算公式化簡，即可得出結(jié)果.【詳解】.故答案為：2.22.已知?jiǎng)t_________；的最大值為_________．【答案】①.1②.2【解析】【分析】第一空直接代入即可，第二空分別計(jì)算兩段的最大值，比較即可求解.【詳解】由解析式可知：，當(dāng)，易知，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，取最大值2，所以的最大值為2，故答案為：1，223.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，則_________；_________.【答案】①.2②.【解析】【分析】向量的模長即向量起點(diǎn)至終點(diǎn)的距離，由圖可知結(jié)果；向量的數(shù)量積等于向量的模乘以另一個(gè)向量在這個(gè)向量上的投影，由圖可知結(jié)果.【詳解】由圖可知，，其中為在上的投影，由圖可知投影長度為1，且方向與相反，故.故答案為：2；.24.某公司三個(gè)部門共有100名員工，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過隨機(jī)抽樣獲得了20名員工一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）：A部門4.5567.59111213B部門3.545.579.510.511C部門566.578.5從三個(gè)部門抽出的員工中，各隨機(jī)抽取一人，分別記為甲、乙、丙、假設(shè)所有員工的鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，給出下列三個(gè)結(jié)論：①甲該周的鍛煉時(shí)間超過8小時(shí)的概率為；②甲、乙該周的鍛煉時(shí)間一樣長的概率為；③乙該周的鍛煉時(shí)間一定比丙該周的鍛煉時(shí)間長．其中所有正確結(jié)論的序號是_________．【答案】①②【解析】【分析】本意通過古典概型即可判斷出①②，部門員工運(yùn)動(dòng)時(shí)間存在比部門員工運(yùn)動(dòng)時(shí)間多的，也存在少的，所以無法的結(jié)論③，從而得出答案.【詳解】①部門共有8名員工，運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過8小時(shí)的有4名員工，∴由古典概型可得甲該周的鍛煉時(shí)間超過8小時(shí)的概率為，故①正確；②、兩部門各有員工8和7名，隨機(jī)各抽取一名員工共有種情況，其中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同的情況只有1種，∴甲、乙該周的鍛煉時(shí)間一樣長的概率為，故②正確；③當(dāng)抽取出來的乙運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4小時(shí)，抽取出來的丙運(yùn)動(dòng)時(shí)間為7小時(shí)，此時(shí)不滿足乙該周的鍛煉時(shí)間一定比丙該周的鍛煉時(shí)間長，故③不正確.故答案為：①②三、解答題：共4小題，共28分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步聚或證明過程．25.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的值；（2）求函數(shù)的零點(diǎn)．【答案】（1）（2），3【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象可知，即可求解函數(shù)解析式，再代入求值；（2）根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程，即可求解.【小問1詳解】因，所以．所以．所以．【小問2詳解】因?yàn)?，所以．令，得．所以的零點(diǎn)為，3．26.已知電流（單位：A）關(guān)于時(shí)間（單位：s）的函數(shù)解析式為．（1）當(dāng)時(shí)，求電流；（2）當(dāng)時(shí)，電流取得最大值，寫出的一個(gè)值．【答案】（1）；（2）（答案不唯一，）.【解析】【分析】（1）把代入，結(jié)合誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即得.（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的表達(dá)式即可得解.【小問1詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，電流取得最大值，則，解得，所以的一個(gè)值為.27.如圖，在三棱錐中，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：.請先寫出第（1）問的解答過程，然后閱讀下面第（2）問的解答過程.證明：（2）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以①_________.因?yàn)椋桑?）知，，所以②_________所以③_________.所以.在第（2）問的解答過程中，設(shè)置了①～③三個(gè)空格，如下的表格中為每個(gè)空格給出了兩個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)符合邏輯推理.請選出符合邏輯推理的選項(xiàng)，并填寫在橫線上（只需填寫“A”或“B”）.空格序號選項(xiàng)①（A）（B）②（A）（B）平面③（A）平面（B）平面【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由中位線得到線線平行，然后得到線面平行，即得證；（2）等腰三角形三線合一得到線線垂直，由（1）的結(jié)論和條件得到另一組垂線，從的證明面面垂直.【小問1詳解】在中，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?【小問2詳解】①A，②A，③B.28.已知是定義在上的函數(shù)．如果對任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則稱緩慢遞增．如果對任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則稱緩慢遞減．（1）已知函數(shù)緩慢遞增，寫出一組的值；（2）若緩慢遞增且，直接寫出的取值范圍；（3）設(shè)，再從條件①、條件②中選擇一個(gè)作為條件，從結(jié)論①、結(jié)論②中選擇一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)真命題，并說明理由．條件①：緩慢遞增；條件②：單調(diào)遞增．結(jié)論①：緩慢遞減；結(jié)論②：單調(diào)遞減．【答案】（1）（2）（3）條件①和結(jié)論①為真命題，條件①和結(jié)論②為真命題，答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)緩慢遞增函數(shù)定義，代入可求得為任意值，即可求解；（2）根據(jù)緩慢遞增函數(shù)定義，代入可求得的取值范圍；（3）先確定條件條件①：緩慢遞增；根據(jù)緩慢遞增函數(shù)定義可確定結(jié)論①：緩慢遞減，根據(jù)條件條件①：緩慢遞增，根據(jù)緩慢遞增函數(shù)定義可確定結(jié)論①：單調(diào)遞減.若單調(diào)遞增不妨設(shè)，代入，可得兩結(jié)論都不滿足.【小問1詳解】已知是定義在上的緩慢遞增，如果對任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則可得為任意值，所以可得；【小問2詳解】若緩慢遞增且，根據(jù)定義可得，將已知代入化簡可得，所以的取值范圍為【小問3詳解】若選擇條件①和結(jié)論①，構(gòu)成的真命題為如果緩慢遞增，那么緩慢遞減．理由如下：因?yàn)樵谏暇徛f增，所以對任意的，當(dāng)時(shí)，都有．因?yàn)椋裕?/p>