數(shù)學(xué)分析全套課件-(華東師大)

§1實(shí)數(shù)§2數(shù)集.確界原理§3函數(shù)概念§4具有某些特性的函數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)§1

實(shí)數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)1.我們用符號“”表示“任取”或“對于任意的”或“對于所有的”,符號“”稱為全稱量詞.幾個(gè)常用符號2.我們用符號“”表示“存在”.例：命題“對任意的實(shí)數(shù)x,都存在實(shí)數(shù)y,

使得x+y=1”可表示為“

x

R,y

R,

使x+y=1”符號“”稱為存在量詞.3.我們用符號“

”表示“充分條件”比如,若用p,q分別表示兩個(gè)命題或陳述句.或“推出”這一意思.則“p

q”表示“若p成立,則q也成立”.即p是q成立的充分條件.4.我們用符號“

”表示“當(dāng)且僅當(dāng)”比如“p

q”表示“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”或者說p成立的充要條件是q成立.或“充要條件”這一意思.1.集合集合集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.

集合可用大寫的字母A,B,C,D等標(biāo)識.元素組成集合的事物稱為集合的元素.

集合的元素可用小寫的字母a,b,c,d等標(biāo)識.

a是集合M的元素記為a

M,讀作a屬于M.

a不是集合M的元素記為a

M,讀作a不屬于M.一、集合集合的表示列舉法

把集合的全體元素一一列舉出來.

例如A

{a,b,c,d,e,f,g}.描述法

若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成,則M可表示為

M

{x|x具有性質(zhì)P}.

例如M

{(x,y)|x,y為實(shí)數(shù),x2

y2

1}.幾個(gè)數(shù)集所有自然數(shù)構(gòu)成的集合記為N,稱為自然數(shù)集.

所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合記為R,稱為實(shí)數(shù)集.

所有整數(shù)構(gòu)成的集合記為Z,稱為整數(shù)集.

所有有理數(shù)構(gòu)成的集合記為Q,稱為有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,則稱A是B的子集,記為A

B(讀作A包含于B).A

B

若x

A,則x

B.

顯然,N

Z,Z

Q,Q

R.2.集合的運(yùn)算

設(shè)A、B是兩個(gè)集合,則

A

B

{x|x

A或x

B}稱為A與B的并集(簡稱并).

A

B

{x|x

A且x

B}稱為A與B的交集(簡稱交).A\B

{x|x

A且x

B}稱為A與B的差集(簡稱差).AC

I\A

{x|x

A}為稱A的余集或補(bǔ)集,其中I為全集.提示:

如果研究某個(gè)問題限定在一個(gè)大的集合I中進(jìn)行,所研究的其他集合A都是I的子集.則稱集合I為全集或基本集.集合運(yùn)算的法則

設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合,則有

(1)交換律A

B

B

A,

A

B

B

A;(2)結(jié)合律(A

B)

C

A

(B

C),(A

B)

C

A

(B

C);(3)分配律(A

B)

C

(A

C)

(B

C),(A

B)

C

(A

C)

(B

C);(4)對偶律(A

B)C

AC

BC,(A

B)C

AC

BC.(A

B)C

AC

BC的證明所以(A

B)C

AC

BC.

x

AC

BC,

x

AC且x

BC

x

A

B

x

A且x

B

x

(A

B)C直積(笛卡兒乘積)

設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合,則有序?qū)?/p>

A

B

{(x,y)|x

A且y

B}稱為集合A與集合B的直積.

例如,R

R

{(x,y)|x

R且y

R}即為xOy面上全體點(diǎn)的集合,R

R常記作R2.

說明:

對于負(fù)實(shí)數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱x=y與x<y(y>x)3.實(shí)數(shù)集兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系說明:

.自然規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù).)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負(fù)整數(shù)若記為相等與則稱若有為整數(shù)為非負(fù)整數(shù)其中

給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)LLLLLLL

定義1定義2LLLL,2,1,0101..210210=+===，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位過剩近似的稱為而有理數(shù)位不足近似的為實(shí)數(shù)稱有理數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)設(shè)說明:

..101..210210210nnnnnnaaaaxaaaaxnaaaaxLLLL-=-=-=與分別規(guī)定為位不足近似與過剩近似的負(fù)實(shí)數(shù)說明:

.,210210LL333￡￡￡xxx，nxxxx，nxxnn即有增大時(shí)不增當(dāng)過剩近似即有增大時(shí)不減當(dāng)?shù)牟蛔憬茖?shí)數(shù)命題1..,:..位過剩近似的表示位不足近似的表示其中的充要條件是則為兩個(gè)實(shí)數(shù)與設(shè)nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnn>?$>==+LL實(shí)數(shù)的性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)集R對加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運(yùn)算是封閉的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實(shí)數(shù).

2.實(shí)數(shù)集是有序的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b必滿足下述三個(gè)關(guān)系之一:a<b,a=b,a>b.3.實(shí)數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c實(shí)數(shù)的性質(zhì).，則存在正整數(shù)n,使得nb>a.

即對任何4.實(shí)數(shù)具有阿基米德性,a>b>0,5.實(shí)數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間幾有另一個(gè)實(shí)數(shù),且既有在理數(shù),也有無理數(shù).6.實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對應(yīng)關(guān)系.即任一實(shí)數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點(diǎn),反之,數(shù)軸上的每一點(diǎn)也都唯一的代表一個(gè)實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)的性質(zhì)例1證明.::,yrxr，yx<<滿足存在有理數(shù)證明為實(shí)數(shù)設(shè).,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負(fù)整數(shù)由于.,:,,babaRba￡+<?則有若對任何正數(shù)證明設(shè)ee例2..,,..bababababa，￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且則令有則根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法eeee證明3.小結(jié)P9:1,2,3,4,5.(1),兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系;(2),實(shí)數(shù)的性質(zhì);(3),區(qū)間和鄰域的概念;(4),確界原理.§2

數(shù)集.確界原理第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

數(shù)集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間,記為(a,

b),即(a,

b)={x|a<x<b}.[a,b]={x|a

x

b}——閉區(qū)間.[a,b)={x|a

x<b}——半開區(qū)間,(a,b]={x|a<x

b}——半開區(qū)間.有限區(qū)間

上述區(qū)間都是有限區(qū)間,其中a和b稱為區(qū)間的端點(diǎn),b-a稱為區(qū)間的長度.1.區(qū)間和鄰域(-

,b]={x|x

b},(-

,+

)={x||x|<+

}.[a,+

)={x|a

x},無限區(qū)間(-

,b)={x|x<b},(a,+

)={x|a<x},1.區(qū)間和鄰域鄰域以點(diǎn)a為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)a的鄰域,記作U(a).

設(shè)

>0,則稱

U(a,

)=(a-

,a+

)={x||x-a|<

}為點(diǎn)a的

鄰域,其中點(diǎn)a稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑.去心鄰域U(a,

)={x|0<|x-a|<

}.。說明:

2.確界原理定義1

若數(shù)集S既有上界又有下界,則稱S為有界集.

若數(shù)集S不是有界集,則稱S為無界集..,,1][,0.100無上界即則取的下界的實(shí)數(shù)都是任何一個(gè)不大于顯然++>+=>"NMnMnMN，).()()(),()(下界的一個(gè)上界稱為數(shù)的數(shù)集下界為有上界則稱都有使得對一切若存在數(shù)中的一個(gè)數(shù)集是設(shè)SLM，SLxMxS，x，LM，RS3￡?{}.有下界而無上界為正整數(shù)數(shù)集例如nnN=+定義2說明:

Sxx1x2x3x4x5xn,)(xa<"iia,,00a>?$xSx使得x0，S的最小上界又是即x;.,)(的上界是即有滿足若數(shù)中的一個(gè)數(shù)集是設(shè)SxSxi，RSxxx￡?".supS，S=xx記作的上確界為數(shù)集則稱數(shù)

同理可得下確界的定義.定義3:

;.,)(的下界是即有滿足若數(shù)中的一個(gè)數(shù)集是設(shè)SxSxi，RShhh3?".inf,,,)(00S，S，SxSxii=<?$>"hhhbhb記作的下確界為數(shù)集則稱數(shù)的最大下界又是即使得

確界原理

設(shè)S為非空數(shù)集,若S有上界,則S必有上確界;若S有下界,則S必有下確界.例3設(shè)A,B為非空數(shù)集,滿足:證明數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界,且證:

故有確界原理知,數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界.

是數(shù)集A的一個(gè)上界,而由上確界的定義知由假設(shè),數(shù)集B中任一數(shù)都是數(shù)集A的上界,A中任一數(shù)都是B的下界,

是數(shù)集A的最小上界,故有設(shè)A,B為非空有限數(shù)集,.證明:

而此式又表明數(shù)是數(shù)集B的一個(gè)下界,

故由下確界的定義證得例4證:

故得

綜上,即證得(ii)可類似證明.

所以3.小結(jié)P9:1,2,3,4,5.(1),兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系;(2),實(shí)數(shù)的性質(zhì);(3),區(qū)間和鄰域的概念;(4),確界原理.

§3函數(shù)概念第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)說明:

記號f和f(x)的區(qū)別:前者表示自變量x和因變量y之間的對應(yīng)法則,而后者表示與自變量x對應(yīng)的函數(shù)值.說明:

為了敘述方便,常用記號“f(x),x

D”或“y

f(x),x

D”來表示定義在D上的函數(shù),這時(shí)應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f.說明:

函數(shù)的記號是可以任意選取的,除了用f外,還可用“g”、“F”、“

”等,此時(shí)函數(shù)就記作y

g(x)、y

F(x)、y

(x)等.

但在同一問題中,不同的函數(shù)應(yīng)選用不同的記號.

設(shè)數(shù)集D

R,則稱映射f:D

R為定義在D上的函數(shù),通常簡記為

y

f(x),x

D,其中x稱為自變量,y稱為因變量,D稱為定義域,記作Df,即Df

D.1.函數(shù)概念定義

構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域Df及對應(yīng)法則f.

如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,對應(yīng)法則也相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.函數(shù)的兩要素

函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定:

對有實(shí)際背景的函數(shù),根據(jù)實(shí)際背景中變量的實(shí)際意義確定.函數(shù)的定義域

對抽象地用算式表達(dá)的函數(shù),其定義域是使得算式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合,這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域.

表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).

用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集

{P(x,y)|y

f(x),x

D}稱為函數(shù)y

f(x),x

D的圖形.函數(shù)的表示法單值函數(shù)與多值函數(shù)在函數(shù)的定義中,對每個(gè)x

D,對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).

如果給定一個(gè)對應(yīng)法則,按這個(gè)法則,對每個(gè)x

D,總有確定的y值與之對應(yīng),但這個(gè)y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù).

例如,由方程x2

y2

r2確定的函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù):

此多值函數(shù)附加條件“y

0”后可得到一個(gè)單值分支

此函數(shù)稱為絕對值函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-

,+

),其值域?yàn)镽f

=[0,+

).

例6

例5

函數(shù)y=2.

這是一個(gè)常值函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-

,

+

),其值域?yàn)镽f

={2}.函數(shù)舉例

此函數(shù)稱為符號函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-

,+

),其值域?yàn)镽f

={-1,0,1}.

例8

函數(shù)y=[x].

例7

注:

設(shè)x為任上實(shí)數(shù),不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分,記作[x].

此函數(shù)稱為取整函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-

,+

),其值域?yàn)镽f

=Z.

例9

此函數(shù)的定義域?yàn)镈=[0,1]

(0,+

)=[0,+

).

f(3)=1+3=4.分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).2.反函數(shù)

設(shè)函數(shù)f:D

f(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)

D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).

按習(xí)慣,y

f(x),x

D的反函數(shù)記成y

f

1(x),x

f(D).

例如,函數(shù)y

x3,x

R是單射,所以它的反函數(shù)存在,其反函數(shù)為

函數(shù)y

x3,x

R的反函數(shù)是提問:下列結(jié)論是否正確？2.反函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:D

f(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)

D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).

按習(xí)慣,y

f(x),x

D的反函數(shù)記成y

f

1(x),x

f(D).

若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù),則f:D

f(D)是單射,于是f的反函數(shù)f

1必定存在,而且容易證明f

1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).

相對于反函數(shù)y

f

1(x)來說,原來的函數(shù)y

f(x)稱為直接函數(shù).

函數(shù)y

f(x)和y

f

1(x)的圖形關(guān)于直線y

x是對稱的.反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:D

f(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)

D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).

按習(xí)慣,y

f(x),x

D的反函數(shù)記成y

f

1(x),x

f(D).3.復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)y

f(u)的定義域?yàn)镈1,函數(shù)u

g(x)在D上有定義且g(D)

D1,則由

y

f[g(x)],x

D確定的函數(shù)稱為由函數(shù)u

g(x)和函數(shù)y

f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)镈,變量u稱為中間變量.

函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為f

o

g,即

(f

o

g)(x)

f[g(x)].說明:g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)f

o

g的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi),即g(D)

Df.否則,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).

例如>>>4.函數(shù)的運(yùn)算

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為D1,D2,D

D1

D2

,則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算:

和(差)f

g:(f

g)(x)

f(x)

g(x),x

D;

積f

g:(f

g)(x)

f(x)

g(x),x

D;

例10

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?

l,l),證明必存在(

l,l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x),使得f(x)

g(x)

h(x).提示:

如果f(x)

g(x)

h(x),則f(

x)

g(x)

h(x),于是

證

則f(x)

g(x)

h(x),且

冪函數(shù):y

x

(

R是常數(shù));

指數(shù)函數(shù):y

a

x(a

0且a

1);

對數(shù)函數(shù):y

loga

x(a

0且a

1),

特別當(dāng)a

e時(shí),記為y

lnx;

三角函數(shù):y

sinx,y

cosx,y

tanx,y

cotx,y

secx,y

cscx;

反三角函數(shù):y

arcsinx,y

arccosx,

y

arctanx,y

arccotx.>>>基本初等函數(shù)(一)冪函數(shù)的圖形

同一坐標(biāo)系中冪函數(shù)的圖象(二)指數(shù)函數(shù)的圖形

同一坐標(biāo)系中指數(shù)函數(shù)的圖象(三)對數(shù)函數(shù)的圖形

同一坐標(biāo)系中對數(shù)函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象(四)三角函數(shù)的圖形

余弦函數(shù)的圖象

(五)反三角函數(shù)的圖象

設(shè)函數(shù)y

f(u)的定義域?yàn)镈1,函數(shù)u

g(x)在D上有定義且g(D)

D1,則由

y

f[g(x)],x

D確定的函數(shù)稱為由函數(shù)u

g(x)和函數(shù)y

f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)镈,變量u稱為中間變量.

函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為f

o

g,即

(f

o

g)(x)

f[g(x)].說明:g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)f

o

g的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi),即g(D)

Df.否則,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).

例如>>>復(fù)合函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).都是初等函數(shù).

例如,函數(shù)初等函數(shù)雙曲函數(shù)應(yīng)用上常遇到的雙曲函數(shù)是:雙曲正弦:雙曲余弦:雙曲正切:雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的性質(zhì)比較sin(x

y)=sinxcosy

cosxsiny.sh(x

y)=shxchy

chxshy,ch2x-sh2x=1,ch(x

y)=chxchy

shxshy,sh2x=2shxchx,ch2x=ch2x+sh2x.比較cos(x

y)=cosxcosysinxsiny.

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)

雙曲函數(shù)

y=shx,y=chx,y=thx的反函數(shù)依次記為反雙曲正弦:y=arshx,

反雙曲余弦:y=archx,

反雙曲正切:y=arthx.可以證明6.小結(jié)P9:1,2,4,5,7,8.(1),基本初等函數(shù)的概念;(2),基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì);(3),復(fù)合函數(shù)的概念及性質(zhì);(4),雙曲函數(shù)的概念;(5),初等函數(shù)的概念.(1)符號函數(shù)1-1xyo幾個(gè)特殊函數(shù)舉例(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)(4)取最值函數(shù)yxoyxo在自變量的不同變化范圍中,

對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).

§4具有某些特性的函數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)1.單調(diào)函數(shù)

單調(diào)遞增函數(shù)和單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).xyof(x)單調(diào)遞增xyof(x)單調(diào)遞減設(shè)f(x)在(a,b)有定義.若

x1,x2

(a,b).x1<x2,有f(x1)

f(x2)(f(x1)

f(x2)),

則稱f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(單調(diào)遞減).區(qū)間(a,b)稱為f(x)的單調(diào)區(qū)間.如,y=x2,圖y=x20xy在(,0]上單調(diào)遞減,而在[0,+

)上單調(diào)遞增.2.奇偶函數(shù).

(1)若

x

D(f).有f(–x)=f(x).則稱f(x)為偶函數(shù).其圖形關(guān)于y軸對稱.(2)若

x

D(f).有f(–x)=–f(x).則稱f(x)為奇函數(shù).其圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱.設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈(f).滿足

x

D(f).有–x

D(f).易見,常函數(shù)y=c是偶函數(shù).狄利克萊函數(shù)D(x)也是偶函數(shù).因?yàn)槿魓為有理數(shù),則–x也是有理數(shù),從而若x為無理數(shù),則–x也是無理數(shù),從而綜合起來,總有D(x)=D(–x).因此,D(x)是一個(gè)偶函數(shù).D(x)=D(–x)=1D(x)=D(–x)=03.周期函數(shù).

設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈(f).若存在常數(shù)T0,使x

D(f).有x

T

D(f).且f(x

T)=f(x).則稱f(x)為周期函數(shù).T為f(x)的周期.由于周期函數(shù)的函數(shù)值是呈周期變化.因此,周期函數(shù)的圖形也是呈周期性變化.會周而復(fù)始的重復(fù)出現(xiàn).如y=sinx,y=cosx.易見,若T為f(x)的周期,則nT均為f(x)的周期,n=1,2,…,通常稱最小正周期為f(x)的周期.畫周期函數(shù)圖形可以先在一周期內(nèi)畫好,然后向數(shù)軸兩端平移.如y=sinx,2n

都是sinx的周期,其中n=1,2,…,它的最小正周期為2

.是周期函數(shù),它的周期為n

,n=1,2,…最小正周期為

.有些周期函數(shù)沒有最小正周期.如常數(shù)函數(shù)y=f(x)=c(常數(shù)),是一個(gè)周期函數(shù).任何一個(gè)大于0的常數(shù)T都是它的一個(gè)周期.這是因?yàn)閒(x)=c=f(x+T)在這無窮多個(gè)大于0的周期T中,找不到一個(gè)最小的正周期T.又如,狄利克萊函數(shù)D(x)也是周期函數(shù).任何一個(gè)大于0的有理數(shù)T都是D(x)的周期.因?yàn)?i)若x為有理數(shù),則x+T也是有理數(shù).從而D(x)=1=D(x+T)(ii)若x為無理數(shù),則x+T也是無理數(shù).從而D(x)=0=D(x+T)所以,總有D(x)=D(x+T).即T是D(x)的周期.但是在這無窮多個(gè)大于0的有理數(shù)T中,找不到一個(gè)最小的T.4.有界函數(shù)定義4.

幾何意義：由于|f(x)|

M

M

f(x)

M.因此,f(x)在(a,b)內(nèi)有界.就表示了f(x)的圖形夾在兩平行直線y=

M之間.xyoab

MM設(shè)f(x)在(a,b)有定義,若存在常數(shù)M>0,使

x

(a,b),有|f(x)|

M.則稱f(x)在(a,b)內(nèi)有界.否則,稱f(x)在(a,b)內(nèi)無界.若

M1,使

x

(a,b),有f(x)

M1,則稱f(x)在(a,b)內(nèi)有上界.M1稱為它的一個(gè)上界,看圖.若

M2,使

x

(a,b),有M2

f(x),則稱f(x)在(a,b)內(nèi)有下界.M2稱為它的一個(gè)下界,看圖.xyoabM2xyoabM1f(x)在(a,b)有界

f(x)在(a,b)既有上界,又有下界.易見,若f(x)在(a,b)有上界M1,則它在(a,b)有無窮多個(gè)上界.若f(x)在(a,b)有下界M2,則它在(a,b)有無窮多個(gè)下界.比如M2–1,M2–2,…都是它的下界.比如M1+1,M1+2,…都是它的上界.可以證明,在這無窮多個(gè)上界中必有一個(gè)最小的上界M,稱為f(x)在(a,b)的上確界.記作在這無窮多個(gè)下界中必有一個(gè)最大的下界m,稱為f(x)在(a,b)的下確界.記作比如y=sinx,由于|sinx|1.所以,1和1分別是sinx的上界和下界.若f(x)在(a,b)內(nèi)不滿足有界性定義4,則稱f(x)在(a,b)無界.且可看出1是sinx的上確界.而1是sinx的下確界.即,若對M>0,x0(a,b),使得|f(x0)|>M,則稱f(x)在(a,b)無界.比如,,在(0,1)內(nèi)無界.從幾何上看,它的圖形不能全部夾在任何兩條平等于x軸的直線之間.y011x2.反函數(shù)

設(shè)函數(shù)f:D

f(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)

D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).

按習(xí)慣,y

f(x),x

D的反函數(shù)記成y

f

1(x),x

f(D).

例如,函數(shù)y

x3,x

R是單射,所以它的反函數(shù)存在,其反函數(shù)為

函數(shù)y

x3,x

R的反函數(shù)是提問:下列結(jié)論是否正確？2.反函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:D

f(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)

D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).

按習(xí)慣,y

f(x),x

D的反函數(shù)記成y

f

1(x),x

f(D).

若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù),則f:D

f(D)是單射,于是f的反函數(shù)f

1必定存在,而且容易證明f

1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).三、反函數(shù)DWDW

相對于反函數(shù)y

f

1(x)來說,原來的函數(shù)y

f(x)稱為直接函數(shù).

函數(shù)y

f(x)和y

f

1(x)的圖形關(guān)于直線y

x是對稱的.反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:D

f(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)

D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).

按習(xí)慣,y

f(x),x

D的反函數(shù)記成y

f

1(x),x

f(D).5.小結(jié)(1),有界函數(shù);(2),單調(diào)函數(shù);(3),奇,偶函數(shù);(4),周期函數(shù);(5),各類特殊函數(shù)圖象的特點(diǎn).函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)(指數(shù)、對數(shù)、三角、反三角)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))P20:1,2,3,4,5,6.P21:1,2,3,8,9,10,12,13,14,15,16.第二章數(shù)列極限§1數(shù)列極限概念

§2收斂數(shù)列的性質(zhì)

§3數(shù)列極限存在的條件第二章數(shù)列極限§1

數(shù)列極限概念“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒詹シ?/p>

概念的引入1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?/p>

概念的引入1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?/p>

概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?/p>

概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?/p>

概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?/p>

概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?/p>

概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?/p>

概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?/p>

概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?/p>

概念的引入正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”數(shù)列的概念

如果按照某一法則,

對每一n

N

,對應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn,

則得到一個(gè)序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,這一序列叫做數(shù)列,

記為{xn},

其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng).

數(shù)列舉例:2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

.

注意：數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取x1x5x4x3x2xn

數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1,

x2,

x3,

,

xn

,

.

數(shù)列的幾何意義數(shù)列

如果按照某一法則,

對每一n

N

,對應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn,

則得到一個(gè)序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,這一序列叫做數(shù)列,

記為{xn},

其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng).

數(shù)列{xn}可以看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù):xn=f(n),

n

N

.

數(shù)列與函數(shù)數(shù)列

如果按照某一法則,

對每一n

N

,對應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn,

則得到一個(gè)序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,這一序列叫做數(shù)列,

記為{xn},

其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng).

數(shù)列的極限播放數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限問題:當(dāng)

無限增大時(shí),是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:

例如

當(dāng)n無限增大時(shí),如果數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)xn無限接近于常數(shù)a,

則常數(shù)a稱為數(shù)列{xn}的極限,或稱數(shù)列{xn}收斂a,記為數(shù)列極限的通俗定義問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.當(dāng)n無限增大時(shí),

xn無限接近于a

.

當(dāng)n無限增大時(shí),|xn-a|無限接近于0.

當(dāng)n無限增大時(shí),|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.

當(dāng)n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).分析

因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù),則當(dāng)n無限增大時(shí),

xn無限接近于常數(shù)a.

當(dāng)n無限增大時(shí),如果數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)xn無限接近于常數(shù)a,

則數(shù)列{xn}收斂a.數(shù)列極限的精確定義

設(shè){xn}為一數(shù)列

如果存在常數(shù)a

對于任意給定的正數(shù)e

總存在正整數(shù)N

使得當(dāng)n>N

時(shí)

不等式|xn

a|<e總成立

則稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限

或者稱數(shù)列{xn}收斂于a

記為

如果不存在這樣的常數(shù)a

就說數(shù)列{xn}沒有極限

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|xn

a|

.極限定義的簡記形式aa-ea+e()數(shù)列極限的幾何意義

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|xn

a|

.存在N

N

當(dāng)n<N時(shí)

點(diǎn)xn一般落在鄰域(a-e,

a+e)外:當(dāng)n>N時(shí)

點(diǎn)xn全都落在鄰域(a-e,

a+e)內(nèi):任意給定a的e鄰域(a-e,

a+e),分析:

例1

證明

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|xn

a|

.

例2分析:

證明

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|xn

a|

.分析:

例3

設(shè)|q|<1,

證明等比數(shù)列1,

q

,

q2,

,

qn-1,

的極限是0.

對于

0,

要使

|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e

,只要n>log|q|e

+1就可以了.|qn-1-0|=|q|n-1<e,當(dāng)n

N時(shí),

有因?yàn)?/p>

0,

證明

N=[log|q|e+1]

N

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|xn

a|

.例4證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.例5證例6.

證明證:

>0要使則當(dāng)n>N時(shí),有(要證N,當(dāng)n>N時(shí),有若

>0,正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有|xn

a|<

,例7.

證:

>0,由于要使|xn

a|<

,則當(dāng)n>N時(shí),有例8.

證:

(1)設(shè)

a=1,結(jié)論顯然成立.(2)設(shè)

a>1,從而>1+n

n

>0,(3)設(shè)0<a<1,即

>0,N,當(dāng)n>N時(shí),有

.(因0<a<1)綜合得

小結(jié)(1),數(shù)列極限的定義;(2),數(shù)列極限的幾何意義;(3),應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的方法.

作業(yè)P27:1,2,3,5.第二章數(shù)列極限§2

收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1(極限的唯一性)

如果數(shù)列{xn}收斂

那么它的極限唯一

使當(dāng)n>N時(shí),

同時(shí)有因此同時(shí)有這是不可能的.

所以只能有a=b.

證明

注:

如果

M

0,使對

n

N

有|xn|

M,

則稱數(shù)列{xn}是有界的;如果這樣的正數(shù)M不存在,就說數(shù)列{xn}是無界的

收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1(極限的唯一性)

如果數(shù)列{xn}收斂

那么它的極限唯一

定理2(收斂數(shù)列的有界性)

如果數(shù)列{xn}收斂

那么數(shù)列{xn}一定有界

1

如果數(shù)列{xn}收斂,

那么數(shù)列{xn}一定有界

發(fā)散的數(shù)列是否一定無界?有界的數(shù)列是否收斂?2

數(shù)列1,

1,1,

1,

,(

1)N

1,

的有界性與收斂如何？討論收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1(極限的唯一性)

如果數(shù)列{xn}收斂

那么它的極限唯一

定理2(收斂數(shù)列的有界性)

如果數(shù)列{xn}收斂

那么數(shù)列{xn}一定有界

收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1(極限的唯一性)

如果數(shù)列{xn}收斂

那么它的極限唯一

定理2(收斂