2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題69 數(shù)與式中的新定義問題（含答案及解析）

例題精講例題精講【例1】．定義一種新運(yùn)算：，例如．若，則k＝．變式訓(xùn)練【變1-1】．定義：對(duì)于實(shí)數(shù)a，符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，則x的取值范圍是（）A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7【變1-2】．規(guī)定：符號(hào)[x]叫做取整符號(hào)，它表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[5]＝5，[2.6]＝2，[0.2]＝0．現(xiàn)在有一列非負(fù)數(shù)a1，a2，a3，…，已知a1＝10，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an﹣1+1﹣5（[]﹣[]），則a2022的值為．【例2】．定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．它的加、減、乘法運(yùn)算與整數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：（4+i）+（6﹣2i）＝4+6+i﹣2i＝10﹣i（2﹣i）（3﹣i）＝6﹣2i﹣3i+i2＝6﹣5i﹣1＝5﹣5i根據(jù)以上信息計(jì)算（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝．變式訓(xùn)練【變2-1】．賈憲是生活在北宋年間的數(shù)學(xué)家，著有《黃帝九章算法細(xì)草》《釋鎖算書》等書，但是均已失傳．所謂“賈憲三角”指的是如圖所示的由數(shù)字所組成的三角形，稱為“開方作法本源”圖，也稱為“楊輝三角”．賈憲發(fā)明的“開方作法本源“圖作用之一，是為了揭示二項(xiàng)式（a+b）n（n＝1，2，3，4，5）展開后的系數(shù)規(guī)律，即（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．則二項(xiàng)式（a+b）n（n為正整數(shù)）展開后各項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A．2n﹣1+1 B．2n﹣1+2 C．2n D．2n+1【變2-2】．已知n行n列（n≥2）的數(shù)表中，對(duì)任意的i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，n，都有aij＝0或1．若當(dāng)ast＝0時(shí)，總有（a1t+a2t+…+ant）+（as1+as2+…+asn）≥n，則稱數(shù)表A為典型表，此時(shí)記表A中所有aij的和記為Sn．（1）若數(shù)表，，其中典型表是；（2）典型表中S5的最小值為．1．對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b定義兩種運(yùn)算：a⊕b＝，a?b＝，并且定義運(yùn)算順序仍然是先做括號(hào)內(nèi)的，例如：（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）?3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）?2＝3?2＝2，則等于（）A． B．3 C． D．22．對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，我們規(guī)定符號(hào)Min{a，b}表示a、b中較小的值，如Min{2，4}＝2，按照這個(gè)規(guī)定，方程Min{}＝的解為（）A．1或3 B．1或﹣3 C．1 D．33．定義：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記做x＝logaN．例如：因?yàn)?2＝49，所以log749＝2；因?yàn)?3＝125，所以log5125＝3．則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①log61＝0；②log323＝3log32；③若log2（3﹣a）＝log827，則a＝0；④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．A．4 B．3 C．2 D．14．我們把稱作二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為＝ad﹣bc．如＝2×5﹣3×4＝﹣2，請(qǐng)你計(jì)算的值為．5．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+1）◎（m﹣2）＝16，則m＝6．設(shè)n為正整數(shù)，記n?。?×2×3×4×…×n（n≥2），1！＝1，則+++…++＝．7．新定義：任意兩數(shù)m，n，按規(guī)定y＝﹣m+n得到一個(gè)新數(shù)y，稱所得新數(shù)y為數(shù)m，n的“愉悅數(shù)”．則當(dāng)m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悅數(shù)”y為正整數(shù)時(shí)，正整數(shù)x的值是．8．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式23＝8可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式3＝log28，對(duì)數(shù)式2＝log636，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式62＝36．計(jì)算log39+log5125﹣log232＝．9．對(duì)于正整數(shù)m，我們規(guī)定：若m為奇數(shù)，則f（m）＝3m+3；若m為偶數(shù)，則f（m）＝．例如f（5）＝3×5+3＝18，f（8）＝＝4．若m1＝1，m2＝f（m1），m3＝f（m2），m4＝f（m3），…，依此規(guī)律進(jìn)行下去，得到一列數(shù)m1，m2，m3，m4，…，mn，…（n為正整數(shù)），則m1+m2+m3+…+m2021＝．10．如圖，把平面內(nèi)一條數(shù)軸x繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜90°）得到另一條數(shù)軸y，x軸和y軸構(gòu)成一個(gè)平面斜坐標(biāo)系．規(guī)定：過點(diǎn)P作y軸的平行線，交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)P作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)B，若點(diǎn)A在x軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a，點(diǎn)B在y軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為b，則稱有序數(shù)對(duì)（a，b）為點(diǎn)P的斜坐標(biāo)．（1）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的斜坐標(biāo)是；（2）在某平面斜坐標(biāo)系中，已知θ＝60°，點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)N的斜坐標(biāo)是．11．歐拉是18世紀(jì)瑞士著名的數(shù)學(xué)家，他的貢獻(xiàn)不僅遍及高等數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在初等數(shù)學(xué)中也留下了他的足跡．下面是關(guān)于分式的歐拉公式：＝（其中a，b，c均不為零，且兩兩互不相等）．（1）當(dāng)r＝0時(shí)，常數(shù)p的值為．（2）利用歐拉公式計(jì)算：＝．12．任何一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：（s、t是正整數(shù)，且s≤t），如果在n的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱是n的最佳分解，并規(guī)定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6這三種，這時(shí)就有F（18）＝＝．給出下列關(guān)于F（n）的說法：①F（2）＝；②F（48）＝；③F（n2+n）＝；④若n非0整數(shù)，則F（n2）＝1，其中正確說法的是（將正確答案的序號(hào)填寫在橫線上）．13．對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用min{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．請(qǐng)結(jié)合上述材料，解決下列問題：（1）min{sin30°，cos60°，tan45°}；（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值．14．定義為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：＝ad﹣bc．例如：＝5×8﹣6×7＝﹣2．（1）求的值．（2）若＝20，求m的值．15．材料：對(duì)于一個(gè)四位正整數(shù)m，如果滿足百位上數(shù)字的2倍等于千位與十位的數(shù)字之和，十位上數(shù)字的2倍等于百位與個(gè)位的數(shù)字之和，那么稱這個(gè)數(shù)為“相鄰數(shù)”．例如：∵3579中，2×5＝3+7＝10，7×2＝5+9＝14，∴3579是“相鄰數(shù)”．（1）判斷7653，3210是否為“相鄰數(shù)”，并說明理由；（2）若四位正整數(shù)n＝1000a+100b+10c+d為“相鄰數(shù)”，其中a，b，c，d為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，設(shè)F（n）＝2c，G（n）＝2d﹣a，若為整數(shù)，求所有滿足條件的n值．16．我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的相關(guān)規(guī)律．例如：（a+b）0＝1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；（a+b）1＝a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：（1）（a+b）5展開式共有項(xiàng)，系數(shù)和為．（2）求（2a﹣1）5的展開式；（3）利用表中規(guī)律計(jì)算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中規(guī)律計(jì)算不給分）；（4）設(shè)（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，則a1+a2+a3+…+a16+a17的值為．17．若規(guī)定f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），且m，n為正整數(shù)，例如f（3，1）＝3，f（4，2）＝4×5，f（5，3）＝5×6×7．（1）計(jì)算f（4，3）﹣f（3，4）；（2）試說明：；（3）利用（2）中的方法解決下面的問題，記a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f（27，2），b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）．①a，b的值分別為多少？②試確定ab的個(gè)位數(shù)字．18．請(qǐng)閱讀以下材料，解決問題．我們知道：在實(shí)數(shù)體系中，一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不可能為負(fù)數(shù)，即a2≥0．但是，在復(fù)數(shù)體系中，如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么形如a+bi（a、b為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似，例如計(jì)算：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5＝3i；若兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們的實(shí)部和虛部分別相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等；若它們的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)共軛，如1+2i的共軛復(fù)數(shù)為1﹣2i．根據(jù)材料回答：（1）填空：①（2+i）（3i﹣1）＝；②將m2+9（m為實(shí)數(shù)）因式分解成兩個(gè)復(fù)數(shù)的積：m2+9＝；（2）若a+bi是（1+2i）2的共軛復(fù)數(shù)，求（b﹣a）2022的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值．19．式子“1+2+3+4+…+100”表示從1開始的連續(xù)100個(gè)正整數(shù)的和，由于上述式子比較長(zhǎng)，書寫不方便，為了簡(jiǎn)便起見，可以將上述式子表示為，這里“∑”是求和的符號(hào)．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示為，“13+23+33+…+103”用“∑”可以表示為．（1）把寫成加法的形式是；（2）“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示為；（3）計(jì)算：．20．好學(xué)的小賢同學(xué)，在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)發(fā)現(xiàn)：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：x?2x?3x＝3x3，常數(shù)項(xiàng)為：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次項(xiàng)是多少呢？要解決這個(gè)問題，就是要確定該一次項(xiàng)的系數(shù)．根據(jù)嘗試和總結(jié)他發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)系數(shù)就是：×5×（﹣6）+2×（﹣6）×4+3×4×5＝﹣3，即一次項(xiàng)為﹣3x．請(qǐng)你認(rèn)真領(lǐng)會(huì)小東同學(xué)解決問題的思路，方法，仔細(xì)分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征．結(jié)合自己對(duì)多項(xiàng)式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計(jì)算（x﹣5）（3x+1）（5x﹣3）所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為．（2）若計(jì)算（x2+x﹣1）（x2﹣2x+a）（2x+3）所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為2，求a的值；（3）若（x+1）2022＝a0x2022+a1x2021+a2x2020+…+a2021x+a2022，則a2021＝．21．閱讀下列材料．材料一：對(duì)于一個(gè)四位正整數(shù)，如果百位數(shù)字大于千位數(shù)字，且個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱這個(gè)數(shù)是“雙增數(shù)”；如果百位數(shù)字小于千位數(shù)字，且個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字，則稱這個(gè)數(shù)是“雙減數(shù)”．例如：3628、4747是“雙增數(shù)”，5231、9042是“雙減數(shù)”．材料二：將一個(gè)四位正整數(shù)m的百位數(shù)字和十位數(shù)字交換位置后，得到一個(gè)新的四位數(shù)m'，規(guī)定：F（m）＝m﹣m'，例如：F（2146）＝2146﹣2416＝﹣270．（1）最大的“雙增數(shù)”是，最小的“雙減數(shù)”是；（2）已知“雙增數(shù)”s＝1000x+100（y+4）+10y+6（1≤x≤9，0≤y≤9，x、y是整數(shù)），“雙減數(shù)”t＝3000+20a+b（0≤a≤9，0≤b≤9，a、b是整數(shù)），且t的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被12整除，現(xiàn)規(guī)定k＝F（s）+F（t），求k的最大值．

例題精講例題精講【例1】．定義一種新運(yùn)算：，例如．若，則k＝﹣2．解：由題意得，（﹣x﹣2）dx＝k﹣1﹣2﹣1＝﹣＝﹣1，即﹣＝﹣1，解得k＝﹣2，故答案為：﹣2．變式訓(xùn)練【變1-1】．定義：對(duì)于實(shí)數(shù)a，符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，則x的取值范圍是（）A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7解：由題意得：3≤＜4，∴6≤x+1＜8，∴5≤x＜7，故選：A．【變1-2】．規(guī)定：符號(hào)[x]叫做取整符號(hào)，它表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[5]＝5，[2.6]＝2，[0.2]＝0．現(xiàn)在有一列非負(fù)數(shù)a1，a2，a3，…，已知a1＝10，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an﹣1+1﹣5（[]﹣[]），則a2022的值為11．解：∵a1＝10，∴a2＝a1+1﹣5（[]﹣0）＝11，a3＝a2+1﹣5（[]﹣[]）＝12，a4＝a3+1﹣5（[]﹣[]）＝13，a5＝a4+1﹣5（[]﹣[]）＝14，a6＝a5+1﹣5（[1]﹣[]）＝10，…∴a1，a2，a3，…，每5個(gè)結(jié)果循環(huán)一次，∵2022÷5＝404…2，∴a2022＝a2＝11，故答案為：11．【例2】．定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．它的加、減、乘法運(yùn)算與整數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：（4+i）+（6﹣2i）＝4+6+i﹣2i＝10﹣i（2﹣i）（3﹣i）＝6﹣2i﹣3i+i2＝6﹣5i﹣1＝5﹣5i根據(jù)以上信息計(jì)算（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝7﹣i．解：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4﹣4i+i2＝2+3i+2＝7﹣i．故答案為：7﹣i．變式訓(xùn)練【變2-1】．賈憲是生活在北宋年間的數(shù)學(xué)家，著有《黃帝九章算法細(xì)草》《釋鎖算書》等書，但是均已失傳．所謂“賈憲三角”指的是如圖所示的由數(shù)字所組成的三角形，稱為“開方作法本源”圖，也稱為“楊輝三角”．賈憲發(fā)明的“開方作法本源“圖作用之一，是為了揭示二項(xiàng)式（a+b）n（n＝1，2，3，4，5）展開后的系數(shù)規(guī)律，即（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．則二項(xiàng)式（a+b）n（n為正整數(shù)）展開后各項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A．2n﹣1+1 B．2n﹣1+2 C．2n D．2n+1解：根據(jù)題意得：當(dāng)n＝1時(shí)，展開后各項(xiàng)的系數(shù)之和為：1+1＝21，當(dāng)n＝2時(shí)，展開后各項(xiàng)的系數(shù)之和為：1+2+1＝22，當(dāng)n＝3時(shí)，展開后各項(xiàng)的系數(shù)之和為：1+3+3+1＝23，當(dāng)n＝4時(shí)，展開后各項(xiàng)的系數(shù)之和為：1+4+6+4+1＝24，當(dāng)n＝5時(shí)，展開后各項(xiàng)的系數(shù)之和為：1+5+10+10+5+1＝25，當(dāng)n＝6時(shí)，展開后各項(xiàng)的系數(shù)之和為：1+6+15+20+15+6+1＝26，∴猜想當(dāng)n＝n時(shí)，展開后各項(xiàng)的系數(shù)之和為：2n，故選：C．【變2-2】．已知n行n列（n≥2）的數(shù)表中，對(duì)任意的i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，n，都有aij＝0或1．若當(dāng)ast＝0時(shí)，總有（a1t+a2t+…+ant）+（as1+as2+…+asn）≥n，則稱數(shù)表A為典型表，此時(shí)記表A中所有aij的和記為Sn．（1）若數(shù)表，，其中典型表是C；（2）典型表中S5的最小值為13．解：（1）數(shù)表B中a12＝0，而（a12+a22+a32）+（a11+a12+a13）＝0+0+1+0+0+1＝2＜3，∴數(shù)表B不是典型表；對(duì)于數(shù)表C中，當(dāng)ast＝0時(shí)，總有（a1t+a2t+…+ant）+（as1+as2+…+asn）≥n，∴數(shù)表C是典型表；故答案為：C．（2）若典型表中S5有最小值，即典型表A中的1最少且當(dāng)ast＝0時(shí)，總有（a1t+a2t+…+ant）+（as1+as2+…+asn）＝n．則A＝或A中，則S5的最小值為13．故答案為：13．1．對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b定義兩種運(yùn)算：a⊕b＝，a?b＝，并且定義運(yùn)算順序仍然是先做括號(hào)內(nèi)的，例如：（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）?3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）?2＝3?2＝2，則等于（）A． B．3 C． D．2解：由題意得：＝?＝?3＝，故選：C．2．對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，我們規(guī)定符號(hào)Min{a，b}表示a、b中較小的值，如Min{2，4}＝2，按照這個(gè)規(guī)定，方程Min{}＝的解為（）A．1或3 B．1或﹣3 C．1 D．3解：分兩種情況：當(dāng)x＞0時(shí)，＜，∵M(jìn)in{}＝，∴＝﹣1，1＝4﹣x，解得：x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，x≠0，∴x＝3是原方程的根；當(dāng)x＜0時(shí)，＞，∵M(jìn)in{}＝，∴＝﹣1，3＝4﹣x，解得：x＝1，不符合題意，舍去，綜上所述：方程Min{}＝的解為3，故選：D．3．定義：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記做x＝logaN．例如：因?yàn)?2＝49，所以log749＝2；因?yàn)?3＝125，所以log5125＝3．則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①log61＝0；②log323＝3log32；③若log2（3﹣a）＝log827，則a＝0；④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．A．4 B．3 C．2 D．1解：∵60＝1，∴l(xiāng)og61＝0，說法①符合題意；由于dm?dn＝dm+n，設(shè)M＝dm，N＝dn，則m＝logdM，n＝logdN，于是logd（MN）＝m+n＝logdM+logdN，說法④符合題意；則log323＝log3（2×2×2）＝log32+log32+log32＝3log32，說法②符合題意；設(shè)p＝logab，則ap＝b，兩邊同時(shí)取以c為底的對(duì)數(shù)，，則plogca＝logcb，所以p＝，即，則＝log23，∵log2（3﹣a）＝log827＝log23，∴a＝0，說法③符合題意；故選：A．4．我們把稱作二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為＝ad﹣bc．如＝2×5﹣3×4＝﹣2，請(qǐng)你計(jì)算的值為20．解：＝（﹣2）×（﹣9）﹣（﹣）×4＝18﹣（﹣2）＝18+2＝20，故答案為：20．5．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+1）◎（m﹣2）＝16，則m＝3或﹣2．解：∵a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）＝4ab，∴（m+1）◎（m﹣2）＝4（m+1）（m﹣2）＝4（m2﹣m﹣2）＝16，整理得m2﹣m﹣6＝0，解得m＝3或m＝﹣2，故答案為：3或﹣2．6．設(shè)n為正整數(shù)，記n?。?×2×3×4×…×n（n≥2），1?。?，則+++…++＝1﹣．解：+++…++＝（1﹣）+（﹣）+（）+…+（﹣）＝1﹣，故答案為：1﹣．7．新定義：任意兩數(shù)m，n，按規(guī)定y＝﹣m+n得到一個(gè)新數(shù)y，稱所得新數(shù)y為數(shù)m，n的“愉悅數(shù)”．則當(dāng)m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悅數(shù)”y為正整數(shù)時(shí)，正整數(shù)x的值是2．解：當(dāng)m＝2x+1，n＝x﹣1，且y為數(shù)m，n的“愉悅數(shù)”時(shí)，y＝﹣（2x+1）+（x﹣1）＝﹣+＝＝＝＝+＝﹣x+1﹣，∵x和y均為正整數(shù)，∴1＜x＜4，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣（不合題意，舍去），故答案為：2．8．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式23＝8可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式3＝log28，對(duì)數(shù)式2＝log636，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式62＝36．計(jì)算log39+log5125﹣log232＝0．解：log39+log5125﹣log232＝2+3﹣5＝0．故答案為：0．9．對(duì)于正整數(shù)m，我們規(guī)定：若m為奇數(shù)，則f（m）＝3m+3；若m為偶數(shù)，則f（m）＝．例如f（5）＝3×5+3＝18，f（8）＝＝4．若m1＝1，m2＝f（m1），m3＝f（m2），m4＝f（m3），…，依此規(guī)律進(jìn)行下去，得到一列數(shù)m1，m2，m3，m4，…，mn，…（n為正整數(shù)），則m1+m2+m3+…+m2021＝14140．解：根據(jù)題意得：m1＝1，m2＝f（m1）＝f（1）＝6，m3＝f（m2）＝f（6）＝3，m4＝f（m3）＝f（3）＝12，m5＝f（m4）＝f（12）＝6，m6＝f（m5）＝f（6）＝3，m7＝f（m6）＝f（3）＝12，m8＝f（m7）＝f（12）＝6，m9＝f（m8）＝f（6）＝3，.....．m2021＝6，m2022＝3，2022÷3＝674，∴m1+m2+m3+…+m2021＝（6+3+12）×（674﹣1）+6+1＝14140．故答案為：14140．10．如圖，把平面內(nèi)一條數(shù)軸x繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜90°）得到另一條數(shù)軸y，x軸和y軸構(gòu)成一個(gè)平面斜坐標(biāo)系．規(guī)定：過點(diǎn)P作y軸的平行線，交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)P作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)B，若點(diǎn)A在x軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a，點(diǎn)B在y軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為b，則稱有序數(shù)對(duì)（a，b）為點(diǎn)P的斜坐標(biāo)．（1）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的斜坐標(biāo)是（﹣x，﹣y）；（2）在某平面斜坐標(biāo)系中，已知θ＝60°，點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)N的斜坐標(biāo)是（6，﹣4）．解：（1）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的斜坐標(biāo)（﹣x，﹣y），故答案為：（﹣x，﹣y）；（2）作P點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N，連接PN交x軸于點(diǎn)F，作NC∥x軸交y軸于C點(diǎn)，作ND∥y軸交x軸于D點(diǎn)，∵PA∥BC∥ND，∴∠PAF＝∠θ＝∠FDN＝60°，∵PF＝FN，∠PFA＝∠DFN＝90°，∴△PAF≌△NDF（AAS），∴PA＝DN，AF＝FD，∵點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，4），∴OA＝BP＝2，PA＝BO＝4，∴DN＝4，∵∠PAF＝60°，∴AF＝DF＝4?cos60°＝2，∴AD＝4，∴OD＝2+4＝6，∴N（6，﹣4），故答案為：（6，﹣4）．11．歐拉是18世紀(jì)瑞士著名的數(shù)學(xué)家，他的貢獻(xiàn)不僅遍及高等數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在初等數(shù)學(xué)中也留下了他的足跡．下面是關(guān)于分式的歐拉公式：＝（其中a，b，c均不為零，且兩兩互不相等）．（1）當(dāng)r＝0時(shí)，常數(shù)p的值為0．（2）利用歐拉公式計(jì)算：＝6063．解：（1）當(dāng)r＝0時(shí)，＝++＝﹣+＝0，∴p＝0，故答案為：0；（2）當(dāng)a＝2022，b＝2021，c＝2020，r＝3時(shí)，＝2022+2021+2020＝6063，故答案為：6063．12．任何一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：（s、t是正整數(shù)，且s≤t），如果在n的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱是n的最佳分解，并規(guī)定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6這三種，這時(shí)就有F（18）＝＝．給出下列關(guān)于F（n）的說法：①F（2）＝；②F（48）＝；③F（n2+n）＝；④若n非0整數(shù)，則F（n2）＝1，其中正確說法的是①③④（將正確答案的序號(hào)填寫在橫線上）．解：∵2＝1×2，∴F（2）＝，故語句①符合題意；∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，∴F（48）＝＝，故語句②不符合題意；∵n2+n＝n（n+1），∴F（n2+n）＝，故語句③符合題意；∵n2＝n×n，∴F（n2）＝＝1，故語句④符合題意，故答案為：①③④．13．對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用min{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．請(qǐng)結(jié)合上述材料，解決下列問題：（1）min{sin30°，cos60°，tan45°}；（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值．解：（1）min{sin30°，cos60°，tan45°}＝min{，，1}＝；（2）∵M(jìn){﹣2x，x2，3}＝2，∴＝2，整理得：x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，x＝3或x＝﹣1，∴x的值為3或﹣1．14．定義為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：＝ad﹣bc．例如：＝5×8﹣6×7＝﹣2．（1）求的值．（2）若＝20，求m的值．解：（1）∵＝ad﹣bc，∴＝20172﹣2018×2016＝20172﹣（2017+1）×（2017﹣1）＝20172﹣20172+1＝1；（2）∵＝ad﹣bc，＝20，∴（m+2）（m+2）﹣（m﹣2）（m﹣2）＝20，解得m＝．15．材料：對(duì)于一個(gè)四位正整數(shù)m，如果滿足百位上數(shù)字的2倍等于千位與十位的數(shù)字之和，十位上數(shù)字的2倍等于百位與個(gè)位的數(shù)字之和，那么稱這個(gè)數(shù)為“相鄰數(shù)”．例如：∵3579中，2×5＝3+7＝10，7×2＝5+9＝14，∴3579是“相鄰數(shù)”．（1）判斷7653，3210是否為“相鄰數(shù)”，并說明理由；（2）若四位正整數(shù)n＝1000a+100b+10c+d為“相鄰數(shù)”，其中a，b，c，d為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，設(shè)F（n）＝2c，G（n）＝2d﹣a，若為整數(shù)，求所有滿足條件的n值．解：（1）7653不是“相鄰數(shù)”；3210是“相鄰數(shù)”，∵7653中，6×2＝7+5＝12，5×2＝10，6+3＝9，10≠9，∴7653不是“相鄰數(shù)”；∵3210中，2×2＝3+1＝4，1×2＝2+0＝2，∴3210是“相鄰數(shù)”；（2）∵四位正整數(shù)n＝1000a+100b+10c+d為“相鄰數(shù)”，∴2b＝a+c，2c＝b+d，∵F（n）＝2c，G（n）＝2d﹣a，∴＝，∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，∴8≤2a+3c+6≤5，∴2a+3c+6＝17，34，51，①2a+3c＝11時(shí)，a＝1，c＝3，b＝2，d＝4，此時(shí)n＝1234，②2a+3c＝28時(shí)，a＝8，c＝4，b＝6，d＝2，此時(shí)n＝8642，③2a+3c＝45時(shí)，a＝9，c＝9，b＝9，d＝9，此時(shí)n＝9999，綜上所述，所有滿足條件的n的值為1234，8642，9999．16．我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的相關(guān)規(guī)律．例如：（a+b）0＝1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；（a+b）1＝a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：（1）（a+b）5展開式共有6項(xiàng)，系數(shù)和為32．（2）求（2a﹣1）5的展開式；（3）利用表中規(guī)律計(jì)算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中規(guī)律計(jì)算不給分）；（4）設(shè)（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，則a1+a2+a3+…+a16+a17的值為217﹣1．解：（1）根據(jù)圖表中的規(guī)律，可得：（a+b）5展開式共有6項(xiàng)，系數(shù)和為1+5+10+10+5+1＝32，故答案為：6，32；（2）（2a﹣1）5＝25a5+5×24a4（﹣1）+10×23a3（﹣1）2+10×22a2（﹣1）3+5×2a（﹣1）4+（﹣1）5＝32a5﹣80a4+80a3﹣40a2+10a﹣1；（3）根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5，∴25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝1；（4）∵（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，∴當(dāng)x＝1時(shí)，（1+1）17＝a0+a1+a2+a3+…+a16+a17，當(dāng)x＝0時(shí)，（0+1）17＝a0＝1，∴217＝1+a1+a2+a3+…+a16+a17，∴a1+a2+a3+…+a16+a17的值為217﹣1．故答案為：217﹣1．17．若規(guī)定f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），且m，n為正整數(shù)，例如f（3，1）＝3，f（4，2）＝4×5，f（5，3）＝5×6×7．（1）計(jì)算f（4，3）﹣f（3，4）；（2）試說明：；（3）利用（2）中的方法解決下面的問題，記a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f（27，2），b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）．①a，b的值分別為多少？②試確定ab的個(gè)位數(shù)字．（1）解：f（4，3）﹣f（3，4）＝4×5×6﹣3×4×5×6＝4×5×6×（1﹣3）＝﹣2×4×5×6＝﹣240；（2）證明：∵f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），[f（n，m+1）﹣f（n﹣1，m+1）]＝×[n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m）﹣（n﹣1）×n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n﹣1+m+1﹣1）]＝[n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1）×（m+1）]＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），∴；（3）解：①∵a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f（27，2）＝[f（1，3）﹣f（0，3）+f（2，3）﹣f（1，3）+f（3，3）﹣f（2，3）+…+f（27，3）﹣f（26，3）]＝[f（27，3）﹣f（0，3）]＝×27×28×29＝7308，b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）＝[f（1，4）﹣f（0，4）+f（2，4）﹣f（1，4）+f（3，4）﹣f（2，4）+…+f（11，4）﹣f（10，4）]＝[f（11，4）﹣f（0，4）]＝×11×12×13×14＝6006；②ab＝73086006，∵61的個(gè)位數(shù)字是8，82的個(gè)位數(shù)字是8，4，2，6循環(huán)，∵6006÷4＝1501……1，∴ab的個(gè)位數(shù)字是8．18．請(qǐng)閱讀以下材料，解決問題．我們知道：在實(shí)數(shù)體系中，一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不可能為負(fù)數(shù)，即a2≥0．但是，在復(fù)數(shù)體系中，如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么形如a+bi（a、b為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似，例如計(jì)算：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5＝3i；若兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們的實(shí)部和虛部分別相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等；若它們的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)共軛，如1+2i的共軛復(fù)數(shù)為1﹣2i．根據(jù)材料回答：（1）填空：①（2+i）（3i﹣1）＝5i﹣5；②將m2+9（m為實(shí)數(shù)）因式分解成兩個(gè)復(fù)數(shù)的積：m2+9＝（m+3i）（m﹣3i）；（2）若a+bi是（1+2i）2的共軛復(fù)數(shù)，求（b﹣a）2022的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值．解：（1）①（2+i）（3i﹣1）＝6i﹣2+3i2﹣i＝5i﹣2﹣3＝5i﹣5，故答案為：5i﹣5；②m2+9＝（m+3i）（m﹣3i），故答案為：（m+3i）（m﹣3i）；（2）（1+2i）2＝1+4i+4i2＝﹣3+4i，∵a+bi是（1+2i）2的共軛復(fù)數(shù)，∴a＝﹣3，b＝﹣4，∴（b﹣a）2022＝（﹣4+3）2022＝1；（3）∵（a+i）（b+i）＝ab+（a+b）i﹣1＝2﹣4i，∴2＝ab﹣1，a+b＝﹣4，∴ab＝3，a+b＝﹣4，∴a﹣b＝±2，∵i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，…，∴in的運(yùn)算結(jié)果﹣1，﹣i，1，i循環(huán)出現(xiàn)，∵（2023﹣1）÷4＝505…2，∴i2+i3+i4+…+i2023＝﹣1﹣i，當(dāng)a﹣b＝2時(shí)，（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）＝﹣8（﹣1﹣i）＝8+8i；當(dāng)a﹣b＝﹣2時(shí)，（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）＝8（﹣1﹣i）＝﹣8﹣8i；綜上所述：（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值為8+8i或﹣8﹣8i．19．式子“1+2+3+4+…+100”表示從1開始的連續(xù)100個(gè)正整數(shù)的和，由于上述式子比較長(zhǎng)，書寫不方便，為了簡(jiǎn)便起見，可以將上述式子表示為，這里“∑”是求和的符號(hào)．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示為，“13+23+33+…+103”用“∑”可以表示為．（1）把寫成加法的形式是12+22+32+42+52+62；（2）“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示為2n；（3）計(jì)算：．解：（1）＝12+22+32+42+52+62，故答案為：12+22+32+42+52+62；（2）2+4+6+8+…+