湖北省部分市州新高考聯(lián)考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

湖北省部分市州2024年春季高一年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.?？荚図樌⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列說(shuō)法中正確的是（）A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)，有且僅有一條母線C.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱D.過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面中軸截面面積最大【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用棱柱、圓臺(tái)、圓錐的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，棱柱側(cè)面是平行四邊形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將圓臺(tái)還原成圓錐，則過(guò)圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)有且僅有一條還原成圓錐的母線，因此通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)，有且僅有一條母線，B正確；對(duì)于C，當(dāng)四棱柱的相對(duì)兩個(gè)側(cè)面平行且是矩形時(shí)，不能確保四棱柱是直四棱柱，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)圓錐軸截面頂角大于時(shí)，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面等腰三角形頂角為時(shí)，面積最大，該截面面積大于軸截面面積，D錯(cuò)誤.故選：B2.當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合即可下結(jié)論.【詳解】,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以，所以點(diǎn)位于第四象限.故選：D3.若空間中四條不同的直線，，，滿足，，，則下面結(jié)論正確的是（）A. B.C.，既不垂直也不平行 D.，的位罝關(guān)系不確定【答案】A【解析】【分析】將直線，，，為放在正方體中，由此即可判斷出答案.【詳解】構(gòu)造如圖所示的正方體，取為，為，為，為，則.故選：A4.（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式將鈍角化簡(jiǎn)為銳角，再結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.5.已知，是兩個(gè)不同的平面，是內(nèi)的一條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合面面垂直的判定判斷得解.【詳解】由，，得，反之，，當(dāng)平面內(nèi)的直線平行于平面的交線時(shí)，，即不垂直于，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B6.中，點(diǎn)M，N滿足，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量的基本定理求解即得.【詳解】依題意，，又，且不共線，所以，.故選：A7.四名同學(xué)A，B，C，D各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).根據(jù)各自的統(tǒng)計(jì)如下結(jié)果，則可以判斷出一定有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為2，中位數(shù)為1 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.中位數(shù)為3，方差為2.0 D.平均數(shù)為3，方差為2.4【答案】D【解析】【分析】對(duì)于ABC舉出反例，對(duì)于D利用方差公式證明點(diǎn)數(shù)只能為.【詳解】對(duì)于A：點(diǎn)數(shù)可為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：點(diǎn)數(shù)可為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：點(diǎn)數(shù)為即符合條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槠骄鶖?shù)為3，點(diǎn)數(shù)與平均數(shù)差的平方為，根據(jù)方差公式可知點(diǎn)數(shù)與平均數(shù)差的平方和為，從而點(diǎn)數(shù)與平均數(shù)差的平方為只可能是，所以.點(diǎn)數(shù)只能為，則出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D正確.故選：D8.在中，已知.點(diǎn)是邊BC上靠近的三等分點(diǎn).AD的長(zhǎng)等于邊AB上的高，則（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】使用向量法建立，得到從而得到結(jié)果.【詳解】如圖，所以，則，即，由，所以，所以，，可得或（舍），故，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分.部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對(duì)稱(chēng)形態(tài)，圖（2）形成不規(guī)則形態(tài)，圖（3）形成“右拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖形作出以下判斷，正確的是（）A.圖（1）中平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù) B.圖（2）中眾數(shù)平均數(shù)C.圖（3）中眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù) D.圖（3）中眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.【詳解】圖（1）的分布直方圖是對(duì)稱(chēng)的，所以平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)，故A錯(cuò)誤；圖（2）頻率直方圖可知，眾數(shù)位于第二組，而平均數(shù)位于第二組后，所以眾數(shù)平均數(shù)，故B正確；圖（3）頻率直方圖可得，單峰不對(duì)稱(chēng)且“右拖尾”，最高峰偏左，眾數(shù)最小，平均數(shù)易受極端值的影響，與中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“拖尾”那邊，平均數(shù)大于中位數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC.10.平面向量，滿足，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則（）A.與的夾角為 B.為定值C.的最小值為 D.在上的投影向量為【答案】AD【解析】【分析】由題意可得恒成立，則，得，即可判斷A；根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可判斷B；根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)投影向量的概念計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：對(duì)任意恒成立，得，即，整理得，設(shè)的夾角為（），所以，即，得，解得，故A正確；B：，不是定值，故B錯(cuò)誤；C：由選項(xiàng)A知，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；D：在上的投影向量為，故D正確.故選：AD11.在矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接得到四棱錐，在翻折到的過(guò)程中，二面角的大小為，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)四棱錐體積為最大值時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為C.若是的中點(diǎn)，則存在使與平面不平行D當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，四棱錐體積為最大值時(shí)是平面面時(shí)，故結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理即可得證；對(duì)于B，求出中點(diǎn)F滿足即可得到為三棱錐的外接球的球心，進(jìn)而得解；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，則求證出四邊形為平行四邊形，再結(jié)合線面平行判定定理即可得解；對(duì)于D，取中點(diǎn)中點(diǎn)，延長(zhǎng)，過(guò)作于，證明平面，再在中求出AG，即可利用勾股定理在中求出.【詳解】對(duì)于，由題意可知,所以，即，，其底面積為定值，當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的的體積最大，此時(shí)因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面，又平面，故，故正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，，連，則由A以及題意知，則，三棱錐的外接球的球心為，半徑為1，所以球的表面積為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，取的中點(diǎn)，則，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又面，面，所以面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，取中點(diǎn)中點(diǎn)，由選項(xiàng)A和B及題意可知，，，，所以由知平面，故是二面角的平面角，且，延長(zhǎng)，過(guò)作于，則，且由平面得，又，所以平面，所以，，故，所以，，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：通過(guò)已知條件找到并作出過(guò)P點(diǎn)且垂直于平面的垂線段，再利用勾股定理即可在中求出.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則復(fù)平面內(nèi)滿足的點(diǎn)Z的集合的圖形面積是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解即得.【詳解】復(fù)平面內(nèi)滿足的點(diǎn)Z在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及內(nèi)部，所以點(diǎn)Z的集合的圖形面積是.故答案為：13.如圖，所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，現(xiàn)有一擬柱體，上下底面均為正六邊形，下底面邊長(zhǎng)為且上底面各頂點(diǎn)在下底面的射影點(diǎn)為下底面各邊的中點(diǎn)，高為，則該擬柱體的表面積為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出該擬柱體的上底面邊長(zhǎng)，上底面正六邊形的邊為底邊的等腰三角形底邊上的高，再依次求出面積即得.【詳解】如圖，上底面正六邊形的頂點(diǎn)在下底面上的射影分別為點(diǎn)，則，顯然，四邊形為矩形，點(diǎn)是下底面正六邊形邊的中點(diǎn)，則，，，底邊上的高為，則，因此，該擬柱體上底面面積為，下底面面積為，側(cè)面積為，所以該擬柱體的表面積為.故答案為：14.已知正的邊長(zhǎng)為，內(nèi)切圓圓心為，點(diǎn)滿足，則_________.【答案】57【解析】【分析】根據(jù)向量加法運(yùn)算有，，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)有，，代入計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】，同理可得，，又有，，所以，原式.故答案為：57四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出相應(yīng)文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.如圖，單位圓與軸交于A，B兩點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，.（1）若，設(shè)點(diǎn)為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值：（2）若，向量，.求的最大值及對(duì)應(yīng)的值.【答案】（1）；（2）最大值為，或【解析】【分析】（1）求出的坐標(biāo)，設(shè)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量模的坐標(biāo)表示即可求解.（2）求出，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問(wèn)1詳解】依題意，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.【小問(wèn)2詳解】依題意，，而，于是，由，得，當(dāng)或，即或時(shí)，，，所以的最大值為，此時(shí)或.16.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，.（1）求角的大??；（2）設(shè)的平分線與交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解；（2）由（1），根據(jù)余弦定理可得，利用基本不等式和三角形面積公式知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)滿足題意，結(jié)合正弦定理計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】，所以，由正弦定理得，即，得，又，所以，即，又，所以；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得即，而，，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)此時(shí)，則，在中，由正弦定理得，即，解得.17.如圖所示，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，點(diǎn)是AE的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）求直線FG與平面所成角的正弦值.【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，分別連結(jié)，利用等體積法將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合棱錐的體積公式可得答案；（2）分別取的中點(diǎn)，連結(jié)，先將FG與平面所成的角轉(zhuǎn)化為MN與平面所成的角，再解三角形即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，分別連結(jié)，由于平面平面，平面平面，，平面，所以面，又，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】分別取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，，，，所以，，四邊形為平行四邊形，所以，MN與平面所成的角即為FG與平面所成的角，又平面平面，平面平面，，平面，所以面，即為直線與平面所成的角.，.所以直線FG與平面所成角的正弦值為.18.2024年4月25日，神舟十八號(hào)載人飛船在長(zhǎng)二F遙十八運(yùn)載火箭的托舉下，成功將葉光富、李聰、李廣送到中國(guó)空間站，圓滿完成飛行任務(wù)，為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)揚(yáng)并傳承中國(guó)航天精神，我市隨機(jī)抽取1000名學(xué)生進(jìn)行航天知識(shí)競(jìng)賽并記錄得分（滿分100分），將學(xué)生的成績(jī)整理后分成五組，從左到右依次記為，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求n的值并估計(jì)這1000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和80%分位數(shù)（求平均數(shù)時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層抽樣的方法抽取240人，若第三、四、五各組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)依次為，方差依次為，求這240人中分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生成績(jī)的方差（精確到0.001）.【答案】（1）；平均數(shù)為，分位數(shù)為（2）55.667【解析】【分析】（1）求出成績(jī)落在的頻率，進(jìn)而求得，利用頻率分布直方圖求出平均數(shù)、百分位數(shù)的方法計(jì)算即可求解；（2）由分層抽樣可知第三?四?五組抽樣比為，求出平均數(shù)，結(jié)合題意即可求出方差.【小問(wèn)1詳解】成績(jī)落在的頻率為，.這1000名學(xué)生平均成績(jī)（分）設(shè)分位數(shù)為，則，解得.【小問(wèn)2詳解】由分層抽樣可知，第三?四?五組抽樣比為，.19.如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，側(cè)面是矩形，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）試在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使得平面，并求出線段的長(zhǎng)度【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）0（3）2【解析】【分析】（1）由題意可得、，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）由（1）可得平面，由線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合面面垂直的判定定理可證明平面