1332等邊三角形（講練）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)(人教版)（原卷版）

13.3.2等邊三角形等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.注意：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形．題型1：等邊三角形的性質(zhì)求角度1.如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，若∠BEC＝90°，則∠ACE的度數(shù)（）A．60° B．45° C．30° D．15°【變式11】如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠CED=30° B．∠BDE=120° C．DE=BD D．DE=AB【變式12】如圖，AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠BAE=20°，則∠DCE等于()A．30° B．40° C．50° D．60°題型2：等邊三角形的性質(zhì)證明問(wèn)題2.如圖△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD．求證：DB＝DE．【變式21】如圖，已知等邊ΔABC，D，E分別在BC、AC上，且BD=CE，連接BE、AD交F點(diǎn)．求證：∠AFE=【變式22】如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)C作∠ACE＝60°，且CE=BD（點(diǎn)E與點(diǎn)A在射線BC同側(cè)），連接AD，ED.求證：AD=DE.等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．題型3：等邊三角形的判定3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．【變式31】如圖，△ABC≌△ADE，∠BAD＝60°．求證：△ACE是等邊三角形．【變式32】如圖，在△ABC中，∠B＝60°，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求證：△ABC是等邊三角形.題型4：等邊三角形與多選項(xiàng)問(wèn)題4.如圖所示，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則四個(gè)結(jié)論正確的是()①點(diǎn)P在∠A的平分線上；②AS=AR；③QP//AR；④△BRP≌△QSP．A．全部正確 B．①②正確 C．①②③正確 D．①③正確【變式41】已知，如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點(diǎn)P，下列說(shuō)法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【變式42】如圖點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，△CBE，△ADC都是等邊三角形，AE，BD相交于點(diǎn)O，且分別與CD，CE交于點(diǎn)M，N，連接M，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型5：等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合5.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接BD，CE交于點(diǎn)F，CE∥AB．（1）判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的長(zhǎng)．【變式51】如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，連接CD，BE交于點(diǎn)F．求證：（1）∠BFC＝120°；（2）FA平分∠DFE．【變式52】如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)α＝∠AOB，AO＝8cm時(shí)，求OC的長(zhǎng)度．題型6：等邊三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題6.如圖，等邊△ABC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，分別連結(jié)AP、BP、AQ、CQ，∠ABP=∠ACQ，BP=CQ.（1）求證：△ABP?△ACQ；（2）連結(jié)PQ，說(shuō)明△APQ是等邊三角形；【變式61】如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC方向，在線段BC上運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，連結(jié)AM，并以AM為邊在線段BC上方，作等邊△AMN，連結(jié)CN．（1）當(dāng)∠BAM＝°時(shí)，AB＝2BM；（2）請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：▲，使得△ABC為等邊三角形；當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求證：CN+CM＝AC．【變式62】三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，它的三個(gè)角都是60°．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC所在直線上運(yùn)動(dòng)，連接AD，在AD所在直線的右側(cè)作∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分線所在直線于點(diǎn)E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，請(qǐng)你猜想AD與AE的大小關(guān)系，并給出證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，依據(jù)題意補(bǔ)全圖形，請(qǐng)問(wèn)上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．題型7：等邊三角形探究性問(wèn)題（提升）7.問(wèn)題情境：如圖1，點(diǎn)D是△ABC外的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系．（1）特例探究：如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝；如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝；這兩個(gè)圖中，∠D與∠A度數(shù)的比是；（2）猜想證明：如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關(guān)系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若不成立，說(shuō)明理由．【變式71】“魅力數(shù)學(xué)”社團(tuán)活動(dòng)時(shí)，張老師出示了如下問(wèn)題：如圖①，已知四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B與∠D互補(bǔ)，試探究線段AB，AD，AC之間的數(shù)量關(guān)系；小敏反復(fù)探索，不得其解，張老師提示道：“數(shù)學(xué)中常通過(guò)把一個(gè)問(wèn)題特殊化來(lái)找到解題思路”，于是，小敏想，若將四邊形ABCD特殊化，看如何解決問(wèn)題：

（1）特殊情況入手添加條件：“∠B=∠D”，如圖②易知在Rt△CDA中，∠DCA=30°，所以，寫出邊AD與AC之間的數(shù)量關(guān)系，同理可得AB與AC的數(shù)量關(guān)系，由此得AB，AD，AC之間的數(shù)量關(guān)系；（2）解決原來(lái)問(wèn)題受到（1）的啟發(fā)，在原問(wèn)題上，添加輔助線，過(guò)點(diǎn)C分別作AB，AD的垂線，垂足分別為E、F，如圖③，請(qǐng)寫出探究過(guò)程；（3）解后反思“一題多解”是數(shù)學(xué)解題的魅力之一，小敏在張老師的引導(dǎo)下，受探究結(jié)論的啟發(fā)，結(jié)合圖中的60°角，通過(guò)構(gòu)造等邊三角形，利用三角形全等同樣解決了該問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)趫D①中作出輔助線，并簡(jiǎn)述你的探究過(guò)程．一、單選題1．下列說(shuō)法正確的是（）A．所有的等邊三角形都是全等三角形B．三角形的三條高一定在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)C．已知兩邊及其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形全等D．三角形的任意一條中線一定將這個(gè)三角形的面積等分2．下列命題正確的是（）A．等腰三角形的角平分線、中線、高線互相重合B．在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上C．有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形D．有兩邊及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等3．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．不等邊三角形 D．不能確定4．如圖，△ABC是等邊三角形，BC⊥CD，且AC=CD，則∠BAD的度數(shù)為（）

A．50° B．45° C．40° D．35°5．如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長(zhǎng)為（）A．13 B．12 C．26．如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，下面四個(gè)結(jié)論:①△ABQ≌△CAP；；②∠CMQ的度數(shù)不變，始終等于60°③BP＝CM；正確的有幾個(gè)()A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題7．如圖矩形ABCD中，AD=2，F(xiàn)是DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，則AB=．8．如圖，已知O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是線段BO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=．9．如圖，將邊長(zhǎng)為4個(gè)單位的等邊ΔABC沿邊BC向右平移3個(gè)單位得到ΔA′B′C三、解答題10．如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多長(zhǎng)？11．如圖，在等邊ΔABC中，D,E分別是BC,AC上的點(diǎn)，且AE=CD,AD與BE相交于點(diǎn)F,CF⊥BE，求AF:BF的值.

12．已知:在ΔABC中,AB=AC,D為AC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別為點(diǎn)E,F,且DE=DF.求證:ΔABC是等邊三角形.13．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，D，且AH⊥BC于H，試用三角形面積公式證明：PE+PF+PD=AH．四、綜合題14．如圖,△ABC是等