安徽省宿州市省市示范高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

宿州市省、市示范高中20232024學(xué)年度第二學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試卷（人教版）（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線傾斜角與斜率的關(guān)系求解即可.【詳解】由可得，則，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.故曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為.故選：D2.3個(gè)班分別從5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】每個(gè)班都有5種選法，由分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】解：由題意可知，每個(gè)班都有5種選法，則由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種方法.故選：D3.已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“公比”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】D【解析】【分析】等比數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是或，可得出答案.【詳解】等比數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是或故“公比”是“為遞增數(shù)列”的既非充分也非必要條件故選：D4.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助二項(xiàng)式定理可得，即可得解.【詳解】.故選：B.5.已知等比數(shù)列中，，等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，求得，得到，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可求解，得到答案.【詳解】在等比數(shù)列中，滿足，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，所以，又由，所以所以數(shù)列的前項(xiàng)和，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知圓C：，直線：，則直線與圓C的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定【答案】A【解析】【分析】求出直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而可得直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由直線，可得，所以直線過定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓相交.故選：A.7.作為泗縣地方傳統(tǒng)美食之一，傳承百余年的“劉圩大餅”，其制作技藝已被列入宿州市非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，深受廣大群眾的喜愛，遠(yuǎn)近聞名，是泗縣飲食文化的一張亮麗名片.用一個(gè)傳統(tǒng)的餅鐺烙餅，每次餅鐺上最多只能同時(shí)放兩張大餅，烙熟一張大餅需要8分鐘的時(shí)間，其中每烙熟一面需要4分鐘.那么要烙熟5張大餅，至少需要（）A.16分鐘 B.20分鐘 C.24分鐘 D.40分鐘【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意將5張大餅的10個(gè)面分成5組烙熟，每組需要4分鐘，可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，烙熟一張大餅需要兩面烙熟，這5張大餅的兩面分別記作，，，，，每次餅鐺上最多只能同時(shí)放兩張大餅，每烙熟一面需要4分鐘.可將上面5張大餅的10個(gè)面分成5組烙熟，比如，則至少需要20分鐘故選：B.8.已知，，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)式子特點(diǎn)，構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，再由的單調(diào)性比較大小，則可得結(jié)果.【詳解】令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，而，，因，，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，而，且，所以，所以，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C上任意點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率之積等于2，則關(guān)于曲線C的結(jié)論正確的有（）A.曲線C為雙曲線 B.曲線C是中心對稱圖形C.曲線C上所有的點(diǎn)都在圓外 D.曲線C是軸對稱圖形【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題中條件，列式求出點(diǎn)的軌跡方程，再逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意可得，即，且，化簡得，曲線是雙曲線除去頂點(diǎn)，，如圖所示，故A錯(cuò)誤；對于B，曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故B正確；對于C，曲線上所有點(diǎn)均在圓外，故C正確；對于D，曲線關(guān)于軸對稱，故D正確.故選：BCD.10.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即，則下列說法正確的有（）A. B.C.在上是減函數(shù) D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)判斷A、B、D，由正態(tài)曲線的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性的定義判斷C.【詳解】因，所以，故A正確；若，則，所以，故B正確；當(dāng)增大時(shí)也增大，所以在上是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則，又，所以不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知數(shù)列滿足，，則（）A.可以是3 B.可以是等比數(shù)列C.的最小值為0 D.可以是周期數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】對于選項(xiàng)A，舉出即可；對于選項(xiàng)B，用反證法證明不是等比數(shù)列即可；對于選項(xiàng)C，證明是奇數(shù)即可；對于選項(xiàng)D，舉出即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，注意到數(shù)列滿足條件，此時(shí)，故A正確；對于選項(xiàng)B，假設(shè)是等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，從而.故，這意味著，從而與無關(guān)，故，但這又意味著，矛盾，所以不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以或，而，歸納即知的每一項(xiàng)都是整數(shù)，且相鄰兩項(xiàng)的奇偶性相反，所以是五個(gè)奇數(shù)和五個(gè)偶數(shù)之和，從而一定是奇數(shù)，不可能為零.這表明，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，由于數(shù)列，滿足條件，而此時(shí)顯然有，故可以是周期數(shù)列，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)的關(guān)鍵利用反證法，C選項(xiàng)的關(guān)鍵是通過遞推式得到是奇數(shù).三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，，則_______.【答案】【解析】【分析】借助二項(xiàng)分布期望公式與方差公式，結(jié)合方差的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】由，故，則，則.故答案為：.13.已知是的導(dǎo)函數(shù)，且，則_______.【答案】【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算即可得.【詳解】，故.故答案為：.14.2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線.用垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；用平行于圓錐的軸的平面截取，可得到雙曲線的一支（把圓錐面換成相應(yīng)的二次錐面時(shí)，則可得到雙曲線）.現(xiàn)用一個(gè)垂直于母線的平面去截一個(gè)等邊圓錐（軸截面為等邊三角形），則所得的圓錐曲線的離心率為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定信息可得圓錐曲線為橢圓，過圓錐底面圓周上一點(diǎn)作符合要求的截面，結(jié)合幾何圖形求出橢圓長短軸長的倍分關(guān)系即可.【詳解】如圖是等邊三角形，設(shè)棱長為12，不妨過點(diǎn)作垂直于母線的平面，得到截面曲線為橢圓，截面過的中點(diǎn)，則橢圓長軸長，取線段的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，過作交底面圓于點(diǎn)，連接分別交橢圓于點(diǎn)，則橢圓短軸長，且，取中點(diǎn)，連接，則，，因此，即，顯然是線段的兩個(gè)3等分點(diǎn)，即，由相交弦定理得，解得，于是，，所以橢圓的離心率.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知.（1）求拋物線的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示焦點(diǎn)弦長公式，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示三角形的高，即可求解面積.【小問1詳解】設(shè)方程為，，由并化簡得，則，，故所以拋物線方程為.【小問2詳解】由（1）知方程為，則原點(diǎn)O到的距離所以.16.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）借助等差數(shù)列的性質(zhì)，借助等差數(shù)列基本量計(jì)算即可得；（2）借助裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得，即可得證.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可得：，解得，故；【小問2詳解】由，故，.17.如圖，圓臺(tái)上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為2，為圓臺(tái)下底面的一條直徑，圓上點(diǎn)C滿足，是圓臺(tái)上底面的一條半徑，點(diǎn)P，C在平面的同側(cè)，且.（1）證明：平面平面；（2）若圓臺(tái)的高為2，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，由題意可得，證明四邊形為平行四邊形，則面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角即可.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接、、，，則∴且，且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又面∴面，面，∴面面.【小問2詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)面的法向量，則，令，得，所以，所以，即與面所成角的正弦值為.18.某校高二年級(jí)數(shù)學(xué)競賽選拔賽分為初賽和決賽兩階段進(jìn)行.初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)班級(jí)派出兩名同學(xué)，且每名同學(xué)都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學(xué)才具備參與決賽的資格.高二某班派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是、，乙通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是、，且每名同學(xué)所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.（1）若該班獲得決賽資格的同學(xué)個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入A，B兩個(gè)紙箱中，A箱中有3道選擇題和3道填空題，B箱中有4道選擇題和4道填空題.決賽中要求每位參賽同學(xué)在A，B兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.甲先從A箱中依次抽取2道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入B箱中，然后乙再從B箱中抽取題目.①求乙從B箱中抽取的第一題是選擇題的概率；②已知乙從B箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從A箱中抽出的是2道選擇題的概率.【答案】（1）分布列見解析，（2）①；②【解析】【分析】（1）分析題意，X為該班獲得決賽資格的同學(xué)個(gè)數(shù)，因此需要分別計(jì)算出甲和乙進(jìn)入決賽的概率和.進(jìn)入決賽的人數(shù)，求出概率，列出分布列，利用期望計(jì)算公式得到期望.（2）能夠直接計(jì)算出的是甲取到道選擇題的概率()，以及分別在甲抽取道選擇題條件下乙再抽取到選擇題的概率，利用全概率公式和條件概率公式、乘法公式，可以得到①、②兩問的結(jié)果.【小問1詳解】甲獲得決賽資格的概率，乙獲得決賽資格的概率.由題意得，；；.的分布列為：012.【小問2詳解】設(shè)事件“甲取到道選擇題”，；事件“乙取到第一題是選擇題”.，，.，，.①由全概率公式可得：.②由條件概率公式和乘法公式可得：.19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，求函數(shù)的極值；（2）若，對于任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）極小值為，極大值為（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列式求參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的極值；（2）首先不等式變形為，再構(gòu)造函數(shù)，