廣東省茂名市2023-2024學年高一下學期7月期末考試數(shù)學

2024年茂名市普通高中高一年級教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.且2.若復數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C.3 D.53.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.已知函數(shù)，則的大致圖象為（）A. B.C. D.5.已知，則的最小值為（）A6 B.5 C.4 D.36.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標不變、橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮玫胶瘮?shù)的圖象.已知，則（）A. B.C. D.7.若是銳角三角形，，，則邊c的取值范圍是（）A. B. C. D.8.在四棱中，底面為正方形，底面，，E為線段的中點，F(xiàn)為線段上的動點.若，則（）A1 B. C. D.3二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知是邊長為1的正三角形，，分別為，的中點，則（）A與不能構(gòu)成一組基底 B.C. D.在上的投影向量為10.某學校開展“國學知識競賽”，共有“詩經(jīng)組”、“論語組”、“春秋組”、“禮記組”4個小組參賽，每組10位選手，若該組每位選手的失分不超過6分，該組獲得“優(yōu)秀”稱號，則根據(jù)每組選手的失分情況，下列小組一定獲得“優(yōu)秀”稱號的是（）A.詩經(jīng)組中位數(shù)為3，眾數(shù)為2B.論語組平均數(shù)為3，方差為1C.春秋組平均數(shù)為3，眾數(shù)為2D.禮記組中位數(shù)為2，極差為411.已知是定義域為的偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當時，，則（）A.當時，B.當時，C.在上單調(diào)遞增D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知棱長為的正方體的所有頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為______.13.若復數(shù)是關于x的方程的一個根，則______.14.在海面上，乙船以40km/h速度朝著北偏東的方向航行，甲船在乙船的正東方向30km處.甲船上有應急物資需要運送上乙船，由于乙船有緊急任務不能停止航行，所以甲船準備沿直線方向以的速度航行與乙船相遇.為了保證甲船能在2小時內(nèi)和乙船相遇，甲船航行速度的最小值為______（km/h）.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知的頂點，，.（1）若單位向量與方向相同，求的坐標；（2）求向量與的夾角.16.已知函數(shù).（1）若，求與交點橫坐標；（2）若在區(qū)間上恰有一個零點，求a的取值范圍.17.如圖1，菱形的邊長為2，，將沿著翻折到三角形的位置，連接，形成的四面體如圖2所示.（1）證明：；（2）若四面體的體積為，求二面角的大小.18.某市體質(zhì)健康測試標準包括身體形態(tài)、身體機能、軀體素質(zhì)、運動能力等方面.為了了解學生體質(zhì)健康情況，某校隨機抽取了200名學生進行測試，測試成績的頻率分布直方圖如下圖所示，其中成績不超過80分的有108人.（1）求圖中a，b的值；（2）并根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校學生測試分數(shù)的平均數(shù)和上四分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若抽取的200名學生中，男生120人，女生80人，其中男生分數(shù)的平均數(shù)為，方差為；女生分數(shù)的平均數(shù)為，方差為；200名學生分數(shù)的平均數(shù)為，方差為.①；②，請判斷公式①和公式②是否相等，并說明理由.19.如圖所示，在中，，AD平分，且.（1）若，求BC的長度；（2）求k的取值范圍；（3）若，求k為何值時，BC最短.2024年茂名市普通高中高一年級教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.且【答案】D【解析】【分析】由分式與二次根式有意義的條件可得、集合，結(jié)合交集定義即可得解.【詳解】由，可得，，則，故且.故選：D.2.若復數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C.3 D.5【答案】A【解析】【分析】解法一：先由已知利用復數(shù)的乘除法運算求出復數(shù)，再可求出復數(shù)的模，解法二：對已知等式變形后，利用復數(shù)模的性質(zhì)求解即可.【詳解】解法一：由，得，所以，解法二：由，得，所以.故選：A3.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】首先求不等式，再根據(jù)集合間的關系判斷選項.【詳解】，則，而推不出，但，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.已知函數(shù)，則的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷在上變化情況可得答案.【詳解】因為函數(shù)定義域為R，，所以為奇函數(shù)，則其圖象關于原點對稱，所以排除A，當時，，所以排除D，因為由冪函數(shù)的性質(zhì)可知當時，在直線的上方，所以排除B，故選：C5.已知，則的最小值為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】借助基本不等式計算即可得.【詳解】由，則，故，當且僅當時，等號成立.故選：D.6.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標不變、橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律結(jié)合題意求解即可.【詳解】由題意可知將的圖象上各點的縱坐標不變、橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得，再將的圖象向右平移個單位，得的圖象，則，故選：B7.若是銳角三角形，，，則邊c的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)正弦定理表示，再消去，轉(zhuǎn)化為關于角的三角函數(shù)，根據(jù)銳角三角形求角的范圍，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求邊的取值范圍.【詳解】由正弦定理可知，，則，因為，則，因為是銳角三角形，所以，則，，所以.故選：D8.在四棱中，底面為正方形，底面，，E為線段的中點，F(xiàn)為線段上的動點.若，則（）A1 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可得，即可設，從而可利用表示出、，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關系，利用余弦定理計算即可得.【詳解】由底面，、平面，故，，由底面為正方形，故，又、平面，，故平面，又平面，則，由，則，由為線段的中點，則，設，則，，由，則，則由余弦定理可得，解得，故.故選：C.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知是邊長為1的正三角形，，分別為，的中點，則（）A.與不能構(gòu)成一組基底 B.C. D.在上的投影向量為【答案】ABD【解析】【分析】對A：由題意可得，即可得與不能構(gòu)成一組基底；對B：借助平面向量線性運算計算即可得；對C：借助平面向量數(shù)量積公式計算即可得；對D：借助投影向量定義計算即可得.【詳解】對A：由，分別為，的中點，則，即，故與不能構(gòu)成一組基底，故A正確；對B：由題意可得，，故，故B正確；對C：，故C錯誤；對D：，故D正確.故選：ABD.10.某學校開展“國學知識競賽”，共有“詩經(jīng)組”、“論語組”、“春秋組”、“禮記組”4個小組參賽，每組10位選手，若該組每位選手的失分不超過6分，該組獲得“優(yōu)秀”稱號，則根據(jù)每組選手的失分情況，下列小組一定獲得“優(yōu)秀”稱號的是（）A.詩經(jīng)組中位數(shù)為3，眾數(shù)為2B.論語組平均數(shù)為3，方差為1C.春秋組平均數(shù)為3，眾數(shù)為2D.禮記組中位數(shù)為2，極差為4【答案】BD【解析】【分析】利用列舉法判斷AC，根據(jù)方差公式，判斷B，根據(jù)極差的定義，判斷D.【詳解】A.若該組選手的失分情況如下，1,2,2,2,3,3,4,5,6,7,滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，但有選手失分超過6分，故A錯誤；B.該組每位選手的失分情況按照從小到大排列，，，則方差，即，若，，所以每位選手的得分都不超過6分，故B正確；C.若該組選手的失分情況如下，0,2,2,2,2,2,4,4,5,7,這組數(shù)據(jù)滿足平均數(shù)為3，眾數(shù)為2，但有選手失分超過6分，故C錯誤；D.因為中位數(shù)為2，則最低分小于等于2，又因為極差為4，所以最該分小于等于6，該組選手失分沒有超過6分的，故D正確.故選：BD.11.已知是定義域為的偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當時，，則（）A.當時，B.當時，C.在上單調(diào)遞增D.【答案】ACD【解析】【分析】對A：由為偶函數(shù)，結(jié)合時的解析式計算即可得；對B：由為奇函數(shù)，結(jié)合A中所得即可得；對C：由題意可得函數(shù)周期性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解；對D：由函數(shù)周期性計算即可得.【詳解】對A：由為偶函數(shù)，則，當時，，則，即當時，，故A正確；對B：由為奇函數(shù)，則有，即，即，故當時，，則，即，故B錯誤；對C：由，，則，，即，故為周期為的周期函數(shù)，由當時，，可得在上單調(diào)遞增，故上單調(diào)遞增，故C正確；對D：，故D正確.故選：ACD.【點睛】結(jié)論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關于對稱：若函數(shù)關于直線軸對稱，則，若函數(shù)關于點中心對稱，則，反之也成立；（2）關于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知棱長為的正方體的所有頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方體的體對角線即為球的直徑可得答案.【詳解】棱長為正方體的所有頂點都在同一個球面上，則正方體的體對角線即為球的直徑，所以球的直徑為，，則該球的表面積為.故答案為：.13.若復數(shù)是關于x的方程的一個根，則______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意方程的另外一個根為，利用韋達定理可得，，即得.【詳解】因復數(shù)是關于x的方程的一個根，則其另外一根為，故，，得，，故，故答案為：14.在海面上，乙船以40km/h的速度朝著北偏東的方向航行，甲船在乙船的正東方向30km處.甲船上有應急物資需要運送上乙船，由于乙船有緊急任務不能停止航行，所以甲船準備沿直線方向以的速度航行與乙船相遇.為了保證甲船能在2小時內(nèi)和乙船相遇，甲船航行速度的最小值為______（km/h）.【答案】【解析】【分析】畫出具體圖形后，借助余弦定理及二次函數(shù)性質(zhì)計算即可得.【詳解】如圖，、分別為乙船與甲船所處位置，則km，，設點為兩船相遇位置，相遇時間在小時后，則，即，則當，即時，有，即甲船航行速度的最小值為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知的頂點，，.（1）若單位向量與方向相同，求的坐標；（2）求向量與的夾角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）計算出后結(jié)合單位向量定義計算即可得；（2）借助平行四邊形的性質(zhì)可計算出與，再結(jié)合向量夾角公式計算即可得.【小問1詳解】，則，即；【小問2詳解】由題意可得，，，則，故，因為，所以.16.已知函數(shù).（1）若，求與交點的橫坐標；（2）若在區(qū)間上恰有一個零點，求a的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）求出，再解與組成的方程組可得答案；（2）時不符合題意，時只須解不等式可得答案.【小問1詳解】若，則，解得，所以，由解得，或，所以與交點的橫坐標為或；【小問2詳解】若，則在區(qū)間上沒零點，不符合題意，所以，所以的圖象為拋物線，對稱軸為，所以要使在區(qū)間上恰有一個零點，只須，即，解得.的取值范圍.17.如圖1，菱形的邊長為2，，將沿著翻折到三角形的位置，連接，形成的四面體如圖2所示.（1）證明：；（2）若四面體的體積為，求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）取中點，連接、，借助菱形的性質(zhì)可得線線垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理推導即可得證；（2）找出二面角的平面角后，結(jié)合體積公式計算即可得解.【小問1詳解】取中點，連接、，由四邊形為菱形，則，故，，又，、平面，故平面，又平面，故；【小問2詳解】由，，平面平面，故為二面角的平面角，又菱形的邊長為2，，則，，又，故，即或，即二面角的大小為或.18.某市體質(zhì)健康測試標準包括身體形態(tài)、身體機能、軀體素質(zhì)、運動能力等方面.為了了解學生體質(zhì)健康情況，某校隨機抽取了200名學生進行測試，測試成績的頻率分布直方圖如下圖所示，其中成績不超過80分的有108人.（1）求圖中a，b的值；（2）并根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校學生測試分數(shù)的平均數(shù)和上四分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若抽取的200名學生中，男生120人，女生80人，其中男生分數(shù)的平均數(shù)為，方差為；女生分數(shù)的平均數(shù)為，方差為；200名學生分數(shù)的平均數(shù)為，方差為.①；②，請判斷公式①和公式②是否相等，并說明理由.【答案】（1）；；（2）平均數(shù)78.8；上四分位數(shù)87；（3）相等，理由見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)低于80分的人數(shù)為108求出，在根據(jù)頻率之和為1求出；（2）根據(jù)平均數(shù)的公式直接計算