高考物理培優(yōu)一輪計(jì)劃全國(guó)創(chuàng)新版講義第4章　曲線運(yùn)動(dòng)第17課時(shí)水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)及其臨界問(wèn)題

第17課時(shí)水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)及其臨界問(wèn)題考點(diǎn)1圓錐類運(yùn)動(dòng)及其臨界問(wèn)題1．關(guān)于水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題，主要是臨界速度和臨界力的問(wèn)題，常見(jiàn)的是與繩的拉力、彈簧的彈力、接觸面的彈力和摩擦力等相關(guān)的問(wèn)題，通過(guò)受力分析來(lái)確定臨界狀態(tài)和臨界條件是常用的解題方法。2．(1)運(yùn)動(dòng)軌跡是在水平面內(nèi)圓。(2)物體所受合外力提供向心力。(3)向心力可以是一個(gè)力或幾個(gè)力的合力，也可以是某個(gè)力的分力。3．實(shí)例：圓錐擺、汽車和火車拐彎、飛機(jī)在水平面內(nèi)做勻速圓周飛行、錐斗、錐面等，臨界條件是恰好滿足或不滿足某條件。[例1]如圖所示，用一根長(zhǎng)為l＝1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m＝1kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí)，細(xì)線的張力為FT(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8,g取10m/s2，結(jié)果可用根式表示)。求：(1)若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？(2)若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？解析(1)若要小球剛好離開(kāi)錐面，則小球受到重力和細(xì)線拉力，如圖所示。小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向運(yùn)用牛頓第二定律及向心力公式得mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)lsinθ解得ωeq\o\al(2,0)＝eq\f(g,lcosθ)即ω0＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\f(5\r(2),2)rad/s。(2)同理，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60°角時(shí)，由牛頓第二定律及向心力公式得mgtanα＝mω′2lsinα解得ω′2＝eq\f(g,lcosα)即ω′＝eq\r(\f(g,lcosα))＝2eq\r(5)rad/s。答案(1)eq\f(5\r(2),2)rad/s(2)2eq\r(5)rad/s(1)圓錐類圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的物體，有些在錐面內(nèi)，有些在錐面外，有些屬于錐面問(wèn)題，如：汽車道路在拐彎時(shí)為什么修的是內(nèi)低外高，火車拐彎處的構(gòu)造等。(2)先對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡和狀態(tài)分析確定圓心和半徑及有關(guān)物理量，再對(duì)物體進(jìn)行受力分析。分析出提供向心力是什么力、列式求解。(3)當(dāng)轉(zhuǎn)速變化時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)繩子拉緊，繩子突然斷裂，上下移動(dòng)的接觸面會(huì)出現(xiàn)摩擦力達(dá)到極值，彈簧的彈力大小或方向發(fā)生變化等。鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形確定的，彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，內(nèi)外軌的高度差h的設(shè)計(jì)不僅與r有關(guān)，還與火車在彎道上的行駛速率有關(guān)。下表是鐵路設(shè)計(jì)人員技術(shù)手冊(cè)中彎道半徑r及與之對(duì)應(yīng)的內(nèi)外軌的高度差h的部分?jǐn)?shù)據(jù)關(guān)系：(g取10m/s2)彎道半徑r/m660330220165132110內(nèi)外軌的高度差h/mm50100150200250300(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出h和r關(guān)系的表達(dá)式，并求出r＝550m時(shí)h的值；(2)鐵路建成后，火車通過(guò)彎道時(shí)，為保證絕對(duì)安全，要求內(nèi)外軌均不向車輪施加側(cè)向壓力。已知我國(guó)鐵路內(nèi)外軌的間距設(shè)計(jì)值L＝1435mm，結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，算出我國(guó)火車的轉(zhuǎn)彎速率v(以km/h為單位，結(jié)果取整數(shù)。當(dāng)θ很小時(shí)tanθ≈sinθ)；(3)為了提高運(yùn)輸能力，國(guó)家不斷對(duì)火車進(jìn)行提速，這就要求火車轉(zhuǎn)彎速率也提高。請(qǐng)根據(jù)上述計(jì)算原理和表格中的數(shù)據(jù)分析提速時(shí)應(yīng)采取怎樣的有效措施。答案(1)60mm(2)55km/h(3)見(jiàn)解析解析(1)由題表中數(shù)據(jù)可知，每組的h與r之積為常數(shù)，即hr＝660×50×10－3m2所以當(dāng)r＝550m時(shí)h＝60mm。(2)當(dāng)內(nèi)外軌對(duì)車輪都沒(méi)有側(cè)向壓力時(shí)，對(duì)火車的受力分析如圖所示。則F＝mgtanθ＝meq\f(v2,r)因?yàn)棣群苄。瑃anθ≈sinθ＝eq\f(h,L)所以v＝eq\r(\f(ghr,L))＝eq\r(\f(10×33,1435×10－3))m/s≈15.2m/s≈55km/h。(3)由前面的計(jì)算可知，可采取的有效措施有：①適當(dāng)增大內(nèi)外軌的高度差h；②適當(dāng)增大鐵路彎道的軌道半徑r。

考點(diǎn)2水平轉(zhuǎn)盤(pán)上物體的運(yùn)動(dòng)及其臨界問(wèn)題1．在水平面上物體做圓周運(yùn)動(dòng)提供向心力的力可能是摩擦力、繩子的拉力、彈簧的彈力、桿的拉力(支持力)等，根據(jù)題意找出條件去判定。2．臨界極值分析物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，則有Fm＝eq\f(mv2,r)，靜摩擦力的方向一定指向圓心；如果除摩擦力以外還有其他力，具體問(wèn)題再具體分析。[例2](2014·全國(guó)卷Ⅰ)(多選)如圖，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤(pán)上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l，木塊與圓盤(pán)的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤(pán)從靜止開(kāi)始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，下列說(shuō)法正確的是(A．b一定比a先開(kāi)始滑動(dòng)B．a(chǎn)、b所受的摩擦力始終相等C．ω＝eq\r(\f(kg,2l))是b開(kāi)始滑動(dòng)的臨界角速度D．當(dāng)ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時(shí)，a所受摩擦力的大小為kmg解析因圓盤(pán)從靜止開(kāi)始繞轉(zhuǎn)軸緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng)，在某一時(shí)刻可認(rèn)為，小木塊隨圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其受到的靜摩擦力的方向指向轉(zhuǎn)軸，充當(dāng)向心力，兩木塊轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中角速度相等，則根據(jù)牛頓第二定律可得f＝mω2R，由于小木塊b的軌道半徑大于小木塊a的軌道半徑，故小木塊b做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力較大，先達(dá)到最大靜摩擦而滑動(dòng)，B錯(cuò)誤，A正確；當(dāng)b開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律可得kmg＝mωeq\o\al(2,b)·2l，可得ωb＝eq\r(\f(kg,2l))，C正確；當(dāng)a開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律可得kmg＝mωeq\o\al(2,a)l，可得ωa＝eq\r(\f(kg,l))，而轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度eq\r(\f(2kg,3l))<eq\r(\f(kg,l))，小木塊a未發(fā)生滑動(dòng)，其所需的向心力由靜摩擦力來(lái)提供，由牛頓第二定律可得f＝mω2l＝eq\f(2,3)kmg，D錯(cuò)誤。答案AC(1)關(guān)鍵分析物體的受力情況，找出向心力的來(lái)源，以及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變時(shí)力的變化，確定臨界點(diǎn)、臨界條件。如題中，物體靜摩擦力提供向心力、隨角速度增大，靜摩擦力增大，達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，物體開(kāi)始滑動(dòng)，這就是臨界點(diǎn)和臨界條件。(2)特別注意有彈簧和繩子時(shí)應(yīng)先滿足摩擦力的情況下去分析變化。(多選)如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤(pán)上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量相等的兩個(gè)物體A和B，它們與盤(pán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)到兩個(gè)物體剛好還未發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線，兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況是()A．物體B仍隨圓盤(pán)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．物體A發(fā)生滑動(dòng)，離圓盤(pán)圓心越來(lái)越遠(yuǎn)C．兩物體仍隨圓盤(pán)一起做圓周運(yùn)動(dòng)，不發(fā)生滑動(dòng)D．兩物體均沿半徑方向滑動(dòng)，離圓盤(pán)圓心越來(lái)越遠(yuǎn)答案AB解析當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛要發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，A物體靠細(xì)線的拉力與圓盤(pán)的最大靜摩擦力的合力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以燒斷細(xì)線后，A所受最大靜摩擦力不足以提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，A要發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，離圓盤(pán)圓心越來(lái)越遠(yuǎn)，但是B所需要的向心力小于B的最大靜摩擦力，所以B仍保持相對(duì)圓盤(pán)靜止?fàn)顟B(tài)，故C、D錯(cuò)誤，A、B正確。1.山城重慶的輕軌交通頗有山城特色，由于地域限制，彎道半徑很小，在某些彎道上行駛時(shí)列車的車身嚴(yán)重傾斜。每到這樣的彎道乘客都有一種坐過(guò)山車的感覺(jué)，很是驚險(xiǎn)刺激。假設(shè)某彎道鐵軌是圓弧的一部分，轉(zhuǎn)彎半徑為R，重力加速度為g，列車轉(zhuǎn)彎過(guò)程中傾角(車廂地面與水平面夾角)為θ，則列車在這樣的軌道上轉(zhuǎn)彎行駛的安全速度(軌道不受側(cè)向擠壓)為()A.eq\r(gRsinθ) B.eq\r(gRcosθ)C.eq\r(gRtanθ) D.eq\r(gRcotθ)答案C解析由題意畫(huà)出受力分析圖，可知合外力提供向心力，指向水平方向：mgtanθ＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gRtanθ)，故C正確。2.(2017·鄭州質(zhì)檢)如圖所示，兩個(gè)用相同材料制成的靠摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)的輪A和B水平放置，兩輪半徑RA＝2RB。當(dāng)主動(dòng)輪A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在A輪邊緣上放置的小木塊恰能相對(duì)靜止在A輪邊緣上。若將小木塊放在B輪上，欲使木塊相對(duì)B輪也靜止，則木塊距B輪轉(zhuǎn)動(dòng)軸的最大距離為()A.eq\f(RB,4)B.eq\f(RB,3)C.eq\f(RB,2)D．RB答案C解析由題圖可知，當(dāng)主動(dòng)輪A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A、B兩輪邊緣上的線速度相同，由ω＝eq\f(v,R)，得eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(\f(v,RA),\f(v,RB))＝eq\f(RB,RA)＝eq\f(1,2)。由于小木塊恰能在A輪邊緣靜止，則由靜摩擦力提供的向心力達(dá)最大值μmg，故μmg＝mωeq\o\al(2,A)RA'①，設(shè)放在B輪上能使木塊相對(duì)靜止的距B輪轉(zhuǎn)動(dòng)軸的最大距離為r，則向心力由最大靜摩擦力提供，故μmg＝mωeq\o\al(2,B)r'②，因A、B材料相同，故木塊與A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，①、②式左邊相等，故mωeq\o\al(2,A)RA＝mωeq\o\al(2,B)r，得r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ωA,ωB)))2RA＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2RA＝eq\f(RA,4)＝eq\f(RB,2)，C正確。3.(2017·莆田聯(lián)考)如圖所示，在半徑為R的半圓形碗的光滑表面上，一質(zhì)量為m的小球以轉(zhuǎn)速n(r/s)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，該平面離碗底的距離h為()A．R－eq\f(g,4π2n2) B.eq\f(g,4π2n2)C.eq\f(g,4πn2)－R D.eq\f(g,4π2n2)＋eq\f(R,2)答案A解析由題意知，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω＝2πn，小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力為F＝m·4π2n2r，向心力由重力與彈力的合力提供，即mgtanθ＝m·4π2n2r，如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系：sinθ＝eq\f(r,R)，聯(lián)立解得：cosθ＝eq\f(g,4π2n2R)，可得：h＝R－Rcosθ＝R－eq\f(g,4π2n2)，所以A正確，B、C、D錯(cuò)誤。4.(多選)如圖所示，在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放一個(gè)質(zhì)量M＝2.0kg的木塊，它與臺(tái)面間的最大靜摩擦力fm＝6.0N，繩的一端系住木塊，另一端穿過(guò)轉(zhuǎn)臺(tái)的光滑中心孔O懸吊一質(zhì)量m＝1.0kg的小球，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)以ω＝5.0rad/s的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，欲使木塊相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止，則木塊到O孔的距離可能是(重力加速度g＝10m/s2，木塊、小球均視為質(zhì)點(diǎn))()A．6cmB．15cmC．30cmD．34cm答案BC解析轉(zhuǎn)臺(tái)以一定的角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，木塊所需的向心力與做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r成正比，在離O點(diǎn)最近處r＝r1時(shí)，木塊有靠近O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，這時(shí)摩擦力沿半徑向外，剛好達(dá)到最大靜摩擦力fm，即mg－fm＝Mω2r1，得r1＝eq\f(mg－fm,Mω2)＝8cm，同理，木塊在離O點(diǎn)最遠(yuǎn)處r＝r2時(shí)，有遠(yuǎn)離O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，這時(shí)摩擦力的方向指向O點(diǎn)，且達(dá)到最大靜摩擦力fm，即mg＋fm＝Mω2r2，得r2＝eq\f(mg＋fm,Mω2)＝32cm，則木塊能夠相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止，半徑應(yīng)滿足關(guān)系式r1≤r≤r2。B、C正確。5.(2017·開(kāi)封質(zhì)檢)(多選)如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤(pán)上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的兩個(gè)物體A和B，它們分居圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為RA＝r，RB＝2r，與盤(pán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ相同，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，下列說(shuō)法正確的是()A．此時(shí)繩子張力為T(mén)＝3μmgB．此時(shí)圓盤(pán)的角速度為ω＝eq\r(\f(2μg,r))C．此時(shí)A所受摩擦力方向沿半徑指向圓外D．此時(shí)燒斷繩子，A仍相對(duì)盤(pán)靜止，B將做離心運(yùn)動(dòng)答案ABC解析A和B隨著圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合外力提供向心力，則F＝mω2r，B的運(yùn)動(dòng)半徑比A的半徑大，所以B所需向心力大，繩子拉力相等，所以當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，B的靜摩擦力方向沿半徑指向圓心，A的最大靜摩擦力方向沿半徑指向圓外，根據(jù)牛頓第二定律得：對(duì)A有T－μmg＝mω2r，對(duì)B有T＋μmg＝mω2·2r，解得：T＝3μmg，ω＝eq\r(\f(2μg,r))，故A、B、C正確；此時(shí)燒斷繩子，A的最大靜摩擦力不足以提供向心力，則A做離心運(yùn)動(dòng)，故D錯(cuò)誤。6.(2017·寧波聯(lián)考)如圖所示，放于豎直面內(nèi)的光滑金屬細(xì)圓環(huán)半徑為R，質(zhì)量為m的帶孔小球穿于環(huán)上，同時(shí)有一長(zhǎng)為R的細(xì)繩一端系于球上，另一端系于圓環(huán)最低點(diǎn)，繩的最大拉力為2mg。當(dāng)圓環(huán)以角速度ω繞豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)小球受三個(gè)力作用，則ω可能為()A．3eq\r(\f(g,R))B.eq\f(3,2)eq\r(\f(g,R))C.eq\r(\f(3g,2R))D.eq\r(\f(g,2R))答案B解析因?yàn)閳A環(huán)光滑，所以這三個(gè)力肯定是重力、環(huán)對(duì)球的彈力、繩子的拉力。細(xì)繩要產(chǎn)生拉力，繩要處于拉伸狀態(tài)，根據(jù)幾何關(guān)系可知，此時(shí)細(xì)繩與豎直方向的夾角為60°。如圖所示，當(dāng)圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時(shí)，小球繞豎直軸做圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由三個(gè)力在水平方向的合力提供，其大小為F＝mω2r，根據(jù)幾何關(guān)系，其中r＝Rsin60°一定，所以當(dāng)角速度越大時(shí)，所需要的向心力越大，繩子拉力越大，所以對(duì)應(yīng)的臨界條件是小球在此位置剛好不受拉力，此時(shí)角速度最小，需要的向心力最小，對(duì)小球進(jìn)行受力分析得Fmin＝mgtan60°，即mgtan60°＝mωeq\o\al(2,min)Rsin60°解得ωmin＝eq\r(\f(2g,R))；當(dāng)繩子的拉力達(dá)到最大時(shí)，角速度達(dá)到最大，同理可知，最大角速度為ωmax＝eq\r(\f(6g,R))，故只有B正確。7.如圖所示，水平桿固定在豎直桿上，兩者互相垂直，水平桿上O、A兩點(diǎn)連接有兩輕繩，兩繩的另一端都系在質(zhì)量為m的小球上，OA＝OB＝AB。現(xiàn)通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)豎直桿，使水平桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，三角形OAB始終在豎直平面內(nèi)，若轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程O(píng)B、AB兩繩始終處于拉直狀態(tài)，則下列說(shuō)法正確的是()A．OB繩的拉力范圍為0～eq\f(\r(3),3)mgB．OB繩的拉力范圍為eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mgC．AB繩的拉力范圍為eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mgD．AB繩的拉力范圍為0～eq\f(2\r(3),3)mg答案B解析當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為零時(shí)，OB繩的拉力最小，AB繩的拉力最大，這時(shí)兩者的值相同，設(shè)為F1，則2F1cos30°＝mg，F(xiàn)1＝eq\f(\r(3),3)mg，增大轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，當(dāng)AB繩的拉力剛好等于零時(shí)，OB繩的拉力最大，設(shè)這時(shí)OB繩的拉力為F2，則F2cos30°＝mg，F(xiàn)2＝eq\f(2\r(3),3)mg，因此OB繩的拉力范圍為eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mg，AB繩的拉力范圍為0～eq\f(\r(3),3)mg，B正確。8.(2017·晉江月考)如圖所示，AB為豎直轉(zhuǎn)軸，細(xì)繩AC和BC的結(jié)點(diǎn)C系一質(zhì)量為m的小球，兩繩能承受的最大拉力均為2mg。當(dāng)細(xì)繩AC和BC均拉直時(shí)∠ABC＝90°，∠ACB＝53°，BC＝1m。細(xì)繩AC和BC能繞豎直軸AB勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，因而小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球的線速度增大時(shí)，兩繩均會(huì)被拉斷，則最先被拉斷的那根繩及另一根繩被拉斷時(shí)的速度分別為(重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A．AC5m/s B．BC5m/sC．AC5.24m/s D．BC5.24m/s答案B解析當(dāng)小球線速度增至BC被拉直后，由牛頓第二定律可得，豎直方向上：TAsin∠ACB＝mg①，水平方向上：TAcos∠ACB＋TB＝meq\f(v2,r)②，由①式可得：TA＝eq\f(5,4)mg，小球線速度增大時(shí)，TA不變，TB增大，當(dāng)BC繩剛要被拉斷時(shí)，TB＝2mg，由②可解得此時(shí)，v≈5.24m/s；BC繩斷后，隨小球線速度增大，AC線與豎直方向間夾角增大，設(shè)AC線被拉斷時(shí)與豎直方向的夾角為α，由TAC·cosα＝mg，TACsinα＝meq\f(v′2,r′)，r′＝LAC·sinα，可解得，α＝60°，LAC＝eq\f(5,3)m，v′＝5m/s，故B正確。9.(江蘇高考)如圖所示，“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個(gè)座椅A、B質(zhì)量相等，通過(guò)相同長(zhǎng)度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)上。不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，下列說(shuō)法正確的是()A．A的速度比B的大B．A與B的向心加速度大小相等C．懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等D．懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小答案D解析A、B兩個(gè)座椅都繞中心軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度相等，由于B的半徑大，由v＝ωr可知，B的線速度大，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由a＝rω2可知，B的向心加速度大，B項(xiàng)錯(cuò)誤；由F＝mω2r可知，B受到的向心力大，而向心力是由纜繩拉力的水平分力提供的，設(shè)纜繩與豎直方向的夾角為θ，即Tsinθ＝mω2r，而豎直方向Tcosθ＝mg，因此，tanθ＝eq\f(ω2r,g)，因此懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角不等，C項(xiàng)錯(cuò)誤；B的半徑大所以對(duì)應(yīng)的θ大，由Tcosθ＝mg可知，對(duì)應(yīng)的拉力就大，D項(xiàng)正確。10．(2016·浙江高考)(多選)如圖所示為賽車場(chǎng)的一個(gè)水平“梨形”賽道，兩個(gè)彎道分別為半徑R＝90m的大圓弧和r＝40m的小圓弧，直道與彎道相切。大、小圓弧圓心O、O′距離L＝100m。賽車沿彎道路線行駛時(shí)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍。假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。要使賽車不打滑且繞賽道一圈時(shí)間最短(發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大，重力加速度g＝10m/s2，π＝3.14)，則賽車()A．在繞過(guò)小圓弧彎道后加速B．在大圓弧彎道上的速率為45m/sC．在直道上的加速度大小為5.63m/s2D．通過(guò)小圓弧彎道的時(shí)間為5.58s答案AB解析賽車做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由F＝eq\f(mv2,R)知，在小圓弧上的速度小，故賽車?yán)@過(guò)小圓弧后加速，A正確；在大圓弧彎道上時(shí)，根據(jù)F＝meq\f(v2,R)知，其速率v＝eq\r(\f(FR,m))＝eq\r(\f(2.25mgR,m))＝45m/s，B正確；同理可得在小圓弧彎道上的速率v′＝30m/s。如圖所示，由邊角關(guān)系可得α＝60°，直道的長(zhǎng)度x＝Lsin60°＝50eq\r(3)m，據(jù)v2－v′2＝2ax知在直道上的加速度a≈6.50m/s2，C錯(cuò)誤；小彎道對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，弧長(zhǎng)為s＝eq\f(2πr,3)，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(s,v′)≈2.79s，D錯(cuò)誤。11.(2017·湖南懷化一模)(多選)如圖所示，粗糙水平圓盤(pán)上，質(zhì)量相等的A、B兩物塊疊放在一起，隨圓盤(pán)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是()A．A、B都有沿切線方向且向后滑動(dòng)的趨勢(shì)B．B運(yùn)動(dòng)所需的向心力等于A運(yùn)動(dòng)所需的向心力C．盤(pán)對(duì)B的摩擦力是B對(duì)A的摩擦力的2倍D．若B相對(duì)圓盤(pán)先滑動(dòng)，則A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μA小于盤(pán)與B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μB答案BC解析把A、B當(dāng)成一個(gè)整體，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物塊所受合外力，其作為向心力保證物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以，摩擦力方向指向圓心，物塊有沿徑向向外滑動(dòng)的趨勢(shì)，故A錯(cuò)誤；物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力F＝meq\f(v2,R)，A、B質(zhì)量相同，一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度、半徑也相等，所以，兩者運(yùn)動(dòng)所需的向心力相等，故B正確；由受力分析可知B對(duì)A的摩擦力等于F，盤(pán)對(duì)B的摩擦力等于2F，故C正確；若B相對(duì)圓盤(pán)先滑動(dòng)，則2μBmg－μAmg<μAmg，即μB<μA，故D錯(cuò)誤。12．(2017·四川資陽(yáng)一診)(多選)如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上有一個(gè)質(zhì)量為m的物塊，用長(zhǎng)為l的輕質(zhì)細(xì)繩將物塊連接在轉(zhuǎn)軸上，細(xì)繩與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角θ＝30°，此時(shí)細(xì)繩伸直但無(wú)張力，物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝eq\f(1,3)，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，物塊隨轉(zhuǎn)臺(tái)由靜止開(kāi)始緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，重力加速度為g，則()A．當(dāng)ω＝eq\r(\f(g,2l))時(shí)，細(xì)繩的拉力為0B．當(dāng)ω＝eq\r(\f(3g,4l))時(shí)，物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間的摩擦力為0C．當(dāng)ω＝eq\r(\f(4g,3l))時(shí)，細(xì)繩的拉力大小為eq\f(4,3)mgD．當(dāng)ω＝eq\r(\f(g,l))時(shí)，細(xì)繩的拉力大小為eq\f(1,3)mg答案AC解析當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度比較小時(shí)，物塊只受重力、支持力和摩擦力，當(dāng)細(xì)繩恰好要產(chǎn)生拉力時(shí)μmg＝mωeq\o\al(2,1)lsin30°，解得ω1＝eq\r(\f(2g,3l))，隨角速度的增大，細(xì)繩上的拉力增大，當(dāng)物塊恰好要離開(kāi)轉(zhuǎn)臺(tái)時(shí)，物塊受到重力和細(xì)繩的拉力的作用，mgtan30°＝mωeq\o\al(2,2)lsin30°，解得ω2＝eq\r(\f(2\r(3)g,3l))，由于ω1<eq\r(\f(3g,4l))<ω2，所以當(dāng)ω＝eq\r(\f(3g,4l))時(shí)，物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間的摩擦力不為零，故B錯(cuò)誤；由于eq\r(\f(g,2l))<ω1，所以當(dāng)ω＝eq\r(\f(g,2l))時(shí)，細(xì)繩的拉力為零，故A正確；由于ω1<eq\r(\f(g,l))<ω2，由牛頓第二定律得f＋Fsin30°＝meq\b\lc\(\rc\)(