第03講圖形的旋轉(zhuǎn)（原卷版）

第03講圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)1：旋轉(zhuǎn)的概念把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角（如下圖中的∠BOF），如果圖形上的點(diǎn)B經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)F，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn).注意:（1）圖形的旋轉(zhuǎn)就是一個(gè)圖形圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵。（2）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向。（3）旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，否則有可能旋轉(zhuǎn)成立體圖形，因而要注意此點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。注意：（1）旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度是確定旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.（2）性質(zhì)是通過學(xué)生操作驗(yàn)證得出的結(jié)論，性質(zhì)（1）和（2）是旋轉(zhuǎn)作圖的關(guān)鍵，整個(gè)性質(zhì)是旋轉(zhuǎn)這部分內(nèi)容的核心，是解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題的基礎(chǔ).（3）要正確理解旋轉(zhuǎn)中的變與不變，尋找等量關(guān)系，解決問題。知識(shí)點(diǎn)3：旋轉(zhuǎn)作圖（1）旋轉(zhuǎn)圖形的作法：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等，都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形。（2）旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨(dú)特的特點(diǎn)，決定圖形位置的因素較多，旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的圖形全等.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象【典例1】（2023秋?玉州區(qū)期中）下列現(xiàn)象屬于旋轉(zhuǎn)的是（）A．電梯的上下移動(dòng) B．飛機(jī)起飛后沖向空中的過程 C．幸運(yùn)大轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的過程 D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車【變式11】（2023春?杞縣期末）如圖，在新型俄羅斯方塊游戲中（出現(xiàn)的圖案可進(jìn)行順時(shí)針、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；向左、向右平移），已拼好的圖案如圖所示，現(xiàn)又出現(xiàn)一個(gè)形如的方塊正向下運(yùn)動(dòng)，你必須進(jìn)行以下哪項(xiàng)操作，才能拼成一個(gè)完整的圖形（）A．順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向右平移 B．逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向右平移 C．順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向左平移 D．逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，向左平移【變式12】（2023?禹會(huì)區(qū)模擬）北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日在北京和張家口聯(lián)合舉行，如圖是冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”，將如圖圖片按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖片是（）A．B． C．D．【變式13】（2022秋?惠東縣期末）下列現(xiàn)象中屬于旋轉(zhuǎn)的是（）A．汽車在急剎車時(shí)向前滑動(dòng) B．?dāng)Q開水龍頭 C．雪橇在雪地里滑動(dòng) D．電梯的上升與下降考點(diǎn)二：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度【典例2】（2023?瀘縣校級(jí)模擬）如圖，△ADE是由△ABC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，若∠BAC＝40°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A．80° B．50° C．40° D．10°【變式21】（2022秋?綿陽期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝70°，若將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到AD，連接BD和CD，則∠BDC＝（）A．19° B．20° C．21° D．22°【變式22】（2023秋?蒙陰縣期中）如圖，將△ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在斜邊AB上的B′處得△A'B'C，若∠A＝35°，則∠ACB′的度數(shù)為（）A．70° B．55° C．35° D．20°【變式23】（2023秋?嘉祥縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB'C'（點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C′），連接CC'，若∠CC'B'＝22°，則∠B的大小是（）A．63° B．64° C．66° D．67°考點(diǎn)三：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長度【典例3】（2022秋?岱岳區(qū)期末）如圖，已知△ABC為等邊三角形．P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△P′BA．（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離；（2）求∠APB的度數(shù)．【變式31】（2023春?渭濱區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADE，連接BD，若，DE＝2，則線段BD的長為（）A．6 B． C． D．【變式32】（2022秋?新會(huì)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，此時(shí)點(diǎn)A'恰好在邊AB上，則點(diǎn)B'與點(diǎn)B之間的距離為（）A．4 B．2 C．3 D．【變式33】（2023?東方一模）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB＝4，則BE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6考點(diǎn)四：旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形【典例4】（2023春?青羊區(qū)期末）下列正多邊形，繞其中心旋轉(zhuǎn)72°后，能和自身重合的是（）A． B． C． D．【變式41】（2023?朝陽區(qū)校級(jí)一模）觀察如圖所示的圖形，繞著它的中心旋轉(zhuǎn)120°后能與自身重合有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式42】（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)四模）如圖，香港特別行政區(qū)標(biāo)志紫荊花圖案繞中心旋轉(zhuǎn)n°后能與原來的圖案互相重合，則n的最小值為（）A．45 B．60 C．72 D．144【變式43】（2023?二道區(qū)校級(jí)模擬）如圖是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)團(tuán)旗上的圖案（圖案本身沒有字母）要想與原來圖形重合，則繞圓心至少旋轉(zhuǎn)（）A．36° B．60° C．72° D．90°考點(diǎn)五：作圖旋轉(zhuǎn)變換【典例5】（2022秋?天長市校級(jí)期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個(gè)單位長度，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）將△ABC向上平移1個(gè)單位長度，再向右平移5個(gè)單位長度后得到的△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（2）△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2O，按要求作出圖形；（3）如果△A2B2O，通過旋轉(zhuǎn)可以得到△A1B1C1，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)．【變式51】（2022秋?任城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），請(qǐng)解答下列問題：（1）若△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，已知點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（1，0）作出△A1B1C1并寫出其余兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將△ABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；（3）若將△A1B1C1繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．【變式52】（2022秋?任城區(qū)期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A1B1C1；（2）將（1）中所得△A1B1C1先向左平移4個(gè)單位再向上平移2個(gè)單位得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2；（3）若△A2B2C2可以看作△ABC繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得來，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．【變式53】（2023秋?柳南區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（3，4），B（1，2），C（5，3）．（1）將△ABC平移，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣2，4），在所給圖的坐標(biāo)系中畫出平移后的△A1B1C1；（2）將△A1B1C1繞點(diǎn)C1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C1，并直接寫出A2，B2的坐標(biāo)．過關(guān)檢測(cè)一．選擇題（共10小題）1．（2022春?武岡市期末）下列運(yùn)動(dòng)屬于旋轉(zhuǎn)的是（）A．足球在草地上滾動(dòng) B．火箭升空的運(yùn)動(dòng) C．汽車在急剎車時(shí)向前滑行 D．鐘表的鐘擺的擺動(dòng)2．（2022?玉林模擬）觀察下列圖案，其中旋轉(zhuǎn)角最大的是（）A． B． C． D．3．（2022秋?新會(huì)區(qū)期末）△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)65°后得到△COD，若∠AOB＝30°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．65°4．（2023春?通道縣期末）如圖，三角形乙是三角形甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換得到的，則說法正確的是（）A．繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° B．繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° C．繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180° D．繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°5．（2023?香坊區(qū)二模）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊AC上時(shí)，連接AD，若∠ACB＝30°，則∠DAC的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°6．（2022秋?海陽市期末）如圖，△ODC是由△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點(diǎn)D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，則∠C的度數(shù)是（）A．55° B．45° C．42° D．40°7．（2022秋?河口區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C，其中點(diǎn)A'與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)B'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)A到直線A'C的距離等于（）A．1 B． C． D．8．（2023?廬江縣模擬）如圖，在△ABC中，∠CAB＝64°，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A．64° B．52° C．42° D．36°9．（2022秋?溫嶺市期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A'BC'，若點(diǎn)C'在AB上，則AA'的長為（）A． B．4 C． D．510．（2022秋?寧陽縣期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得到△AB′C′，若點(diǎn)B′恰好落到邊BC上，則∠CB′C′的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°二．填空題（共4小題）11．（2022秋?上海期末）如圖，△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后與△COD重合．若∠AOD＝130°，則∠COB＝．12．（2023春?舞鋼市期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'BC'，連接AA'，則AA'的長為．13．（2023春?渠縣校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①PM＝PN恒成立；②△OMN的周長不變；③OM+ON的值不變；④四邊形PMON的面積不變，其中正確的為（請(qǐng)?zhí)顚懻_結(jié)論前面的序號(hào)）．14．（2022秋?東營區(qū)期末）如圖，在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，且AC在直線l上，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置①得到點(diǎn)P1，將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②得到點(diǎn)P2，…，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直到得到點(diǎn)P2023為止（P1，P2，P3…在直線l上）．則：AP2023＝．三．解答題（共4小題）15．（2023?廬江縣模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個(gè)單位長度，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）將△DEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△D1EF1，畫出△D1EF1．（2）若△DEF由△ABC繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，則這點(diǎn)的坐標(biāo)為．16．（2023秋?海門市期中）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，連接OD．（1）求證：△COD是等邊三角形；（2）當(dāng)∠AOC＝105°，∠BOC＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說