四川省涼山州安寧河聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

安寧河聯(lián)盟20232024學(xué)年度下期高2022級期中聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．考試時間共120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．答非選擇題時，必須使用0．5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知首項為1的數(shù)列中，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系逐項求解即可.【詳解】∵，，，，.故選:B.2.已知等差數(shù)列中，，公差，如果，，成等比數(shù)列，那么等于（）A.2或 B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式，進(jìn)行基本量代換，求出公差d即可.【詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，即，因為，所以，解得：d=2（d=0舍去）.故選：C3.已知，若，則等于（）A.0 B.1 C.e D.2e【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求解.【詳解】因為，由于時，均為單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù)值均為正，故在上單調(diào)遞增，又，而當(dāng)時，，故，則，故選：B4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析求出定義域，求導(dǎo)，求解單調(diào)性.【詳解】由的定義域為，，令，解得,當(dāng),則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A5.若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，分兩步，當(dāng)求出，當(dāng)時得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項公式；【詳解】解：因為①，當(dāng)時，，當(dāng)時②，①②得，所以，當(dāng)時也成立，所以；故選：D6.已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意函數(shù)在各段單調(diào)遞增且需滿足，即可得到不等式組，求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)，，且是遞增數(shù)列，則，解得．故選：C7.已知函數(shù)，，若，且關(guān)于x不等式在上恒成立，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分別求出，即，解不等式即可.【詳解】由，得，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故；由，得，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.因為在上恒成立，所以在上恒成立，即，解得，即實數(shù)m的取值范圍為.故選：D8.數(shù)列滿足，則等于（）A.2565 B.2575 C.2585 D.2595【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時，,當(dāng)時，,兩式相加可得，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】當(dāng)時，①；當(dāng)時，②，①+②，可得.所以，，…，所以.故選:D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.若，，則C.若，則數(shù)列是遞增數(shù)列D.若數(shù)列的前和，則【答案】AC【解析】【分析】利用等比數(shù)列的定義可判斷A選項的正誤；利用等比中項的性質(zhì)可判斷B選項的正誤；分和兩種情況討論，求得對應(yīng)的的取值范圍，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷C選項的正誤；求得、、，由求得的值，可判斷D選項的正誤.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，且.對于A選項，，所以，數(shù)列等比數(shù)列，A選項正確；對于B選項，由等比中項的性質(zhì)可得，又因為，則與同為正數(shù)，則，B選項錯誤；對于C選項，若，由可得，可得，解得，則，，則，此時，數(shù)列為遞增數(shù)列；若，由可得，可得，解得，則，，則，此時，數(shù)列為遞增數(shù)列.綜上所述，C選項正確；對于D選項，，，，由于數(shù)列是等比數(shù)列，則，即，解得，D選項錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查等比數(shù)列定義、等比中項的性質(zhì)以及等比求和相關(guān)命題正誤的判斷，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.10.已知在處取得極大值1，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.對稱中心為C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)以及，結(jié)合極值點的定義可得時，，即可求解ACD,根據(jù)圖象關(guān)于原點對稱，即可求解D.【詳解】由題意可得，且是函數(shù)的極大值點，即，可得，又極大值為1，所以，解得或；當(dāng)時，，此時，時，，時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；此時函數(shù)在處取得極小值，與題意不符，即舍去，故C錯誤；當(dāng)時，，此時，時，，時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；此時函數(shù)在處取得極大值，符合題意，所以，，即，所以A正確，此時，由于函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以關(guān)于對稱，故對稱中心為，B正確，即D正確．故選：ABD11.下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】通過證明，即可判斷A，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷D，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷D.【詳解】對于A，設(shè)，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，則恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，綜上可得當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故A正確；對于B，設(shè)，則，當(dāng)時，即單調(diào)遞增，當(dāng)時，即單調(diào)遞減，所以，即，故，故B正確；對于C，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即任意，，又，所以，故C錯誤；對于D，令，則，又，，所以，則在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.第Ⅱ卷（非選擇題，共77分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在等差數(shù)列中，，則________.【答案】20【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和指數(shù)運算和對數(shù)運算法則計算出答案.【詳解】在等差數(shù)列中，，所以，所以.故答案為：2013.已知函數(shù)在上存在遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)得，由題意可得在區(qū)間上能成立，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意得的定義域為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上存在遞減區(qū)間，即在區(qū)間上能成立.設(shè)，，開口向上，對稱軸為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以，則，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為:.14.已知，關(guān)于x的方程有三個不同實數(shù)根，則m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，作出函數(shù)的圖象，令，則所求等價于有兩個不同實根，則.當(dāng)時，不滿足，舍去．則或，根據(jù)二次方程根的分布即可求解.【詳解】，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時函數(shù)有最小值．當(dāng)時，，且時，；當(dāng)時，，且時，.作出函數(shù)的圖象如圖所示：令，則所求等價于有兩個不同實根，則.不妨設(shè)，當(dāng)時，不滿足，舍去．則或．當(dāng)時，可得,與矛盾，故舍去；當(dāng)，設(shè)，因為，所以,即，所以.故答案為:.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知是數(shù)列的前n項和，是以1為首項1為公差的等差數(shù)列．（1）求的表達(dá)式和數(shù)列的通項公式；（2）證明：【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出給定的等差數(shù)列通項公式，再利用前項和求通項的方法求解作答即可；（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合裂項相消法即可得解.【小問1詳解】因為是以1為首項1為公差的等差數(shù)列,所以，即，當(dāng)時，，即，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，滿足上式，所以通項公式是.【小問2詳解】由（1）知：,所以，即16.設(shè)數(shù)列滿足：，，且，對成立.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求和的通項公式.【答案】（1）證明見解析（2），【解析】【分析】（1）變換得到，計算，得到證明；（2）確定，變換得到，解得答案.【小問1詳解】移項得到，，相加得，所以，因為，所以是首項為5，公比為的等比數(shù)列；【小問2詳解】，，所以對成立，解得，對成立，故和.17.已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，求a的范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出的單調(diào)區(qū)間即可.（2）利用（1）的結(jié)論，分類討論求出最大值，結(jié)合已知列出不等式求解即得.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由得或，由得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，由得或，由得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，【小問2詳解】由（1）知，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時在上的最大值為；②當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上的最大值只有可能是或，由在上的最大值為，得，則，③當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上的最大值可能是或，由在上的最大值為，得，則，綜上，a的范圍.18.雪花是一種美麗的結(jié)晶體，放大任意一片雪花的局部，會發(fā)現(xiàn)雪花的局部和整體的形狀竟是相似的，如圖是瑞典科學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，其作法如下：將圖①中正三角形的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形，再去掉底邊，得到圖②；將圖②的每條邊三等分，重復(fù)上述的作圖方法，得到圖③；……按上述方法，所得到的曲線稱為科赫雪花曲線（Kochsnowflake）．現(xiàn)將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為、、…、、…．小明為了研究圖形的面積，把圖形的面積記為，假設(shè)a1＝1，并作了如下探究：P1P2P3P4…Pn邊數(shù)31248192…從P2起，每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)31248…從P2起，每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積…根據(jù)小明的假設(shè)與思路，解答下列問題．（1）填寫表格最后一列，并寫出與的關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）得到的遞推公式，求的通項公式；（3）從第幾個圖形開始，雪花曲線所圍成的面積大于．參考數(shù)據(jù)（，）【答案】（1）填表見解析；（2）（3）第7個【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)的規(guī)律及等比數(shù)列的通項公式填寫表格最后一列，進(jìn)而得出與的關(guān)系式；（2）利用累加法求解；（3）由題意，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)求解．【小問1詳解】圖形、、…、、…的邊數(shù)是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列，則圖形的邊數(shù)為；從P2起，每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列，則比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)為；從P2起，每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則比前一個圖形多出的每一個三角形的面積是．P1P2P3P4…Pn邊數(shù)31248192…從P2起，每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)31248…從P2起，每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積…所以，即．【小問2詳解】當(dāng)時，，又因為，符合上式，所以．【小問3詳解】由，得，則，所以，故，由，，故，又因為，所以，所以從第7個圖形開始雪花曲線所圍成的面積大于．19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求在處切線方程．（2）設(shè)分別為的極大值點和極小值點，記，；①證明：直線與曲線交于另一個點C；②在①的條件下，判斷是否存在常數(shù)，使得，若存在，求n；若不存在，說明理由．附：，【答案】（1）（2）①證明見解析，②存在，【解析】【分析】（1）當(dāng)，求解在的切線方程；（2）①求出直線的方程，然后與聯(lián)立得，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解有個零點即可求解；②中由①可得，假設(shè)存在，則，從而可求得，再構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出的零點，從而可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，故，所以當(dāng)時，，所以在處的切線方程是，即【小問2詳解】因為，則，令得或，當(dāng)與時，；當(dāng)時，；所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．所以