江蘇省無錫市江陰市三校聯(lián)考2023-2024學年高二下學期4月期中考試數學

20232024學年第二學期高二期中考試數學試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分，計40分）1.物體運動的方程為，則時的瞬時速度為（

）A．5 B．25 C．125 D．6252.某同學逛書店，發(fā)現3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（）A．4種 B．6種 C．7種 D．9種3．若函數，則函數的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C．D．4．已知函數，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．5.若，，，則（

）A． B． C． D．6.有4位游客來某地旅游，若每人只能從此處甲、乙、丙三個不同景錄點中選擇一處游覽，則每個景點都有人去游覽的概率為（）A． B． C． D．7．已知，則a，b，c的大關系為（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a8.若函數，在其定義域上只有一個零點，則整數a的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多選題（本大題共3小題，每題6分，計18分）9.關于，則A． B．C．D．10.下列正確的是（

）A．由數字1，2，3，4能夠組成24個沒有重復數字的三位數B．由數字1，2，3，4，能夠組成16個沒有重復數字的三位偶數C．由數字1，2，3，4能夠組成64個三位密碼D．由數字1，2，3，4能夠組成28個比320大的三位數11.已知函數，則下列結論正確的是（

）A．函數有極小值B．函數在處切線的斜率為4C．當時，恰有三個實根D．若時，，則的最小值為2三、填空題（本大題共3小題，每題5分，計15分）12.計算：______.（用數字作答）13.已知隨機變量的分布列如下，則______14.已知函數，若關于的方程恰有個不同實數根，則實數的取值范圍為________．四、解答題（本大題共5小題，計77分）15(13分)．已知函數，當時，取得極值．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最值．16（15分）.已知在的展開式中，前3項的系數成等差數列，求：(1)展開式中二項式系數最大的項；(2)展開式中系數最大的項．17（15分）.“國家反詐中心”APP集合報案助手、舉報線索、風險查詢、詐騙預警、騙局曝光、身份核實等多種功能于一體，是名副其實的“反詐戰(zhàn)艦”.2021年該APP于各大官方應用平臺正式上線，某地組織全體村民注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機抽取其中100份問卷，統(tǒng)計測試得分（滿分100分），將數據按照，，…，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值及這100份問卷的平均分（同一組數據用該組數據區(qū)間的中點值代替）；(2)若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識差”，不低于90分的村民“防范意識強”．現從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會，再從這7人中隨機抽取3人，記抽取的3人中“防范意識強”的人數為X，求X的分布列和數學期望．18（17分）.有6位同學報名參加2022年杭州亞運會4個不同的項目（記為）的志愿者活動，每位同學恰報1個項目.(1)6位同學站成一排拍照，如果甲乙兩位同學必須相鄰，丙丁兩位同學不相鄰，求不同的排隊方式有多少種？(2)若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？(3)若每個項目只招一名志愿者，且同學甲不參加項目，同學乙不參加項目，求一共有多少種不同錄用方式？19（17分）.已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)若函數存在單調遞減區(qū)間，求實數b的取值范圍；(3)設是函數的兩個極值點，證明：．20232024學年第二學期高二期中考試數學試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分，計40分）1.物體運動的方程為，則時的瞬時速度為（

）A．5 B．25 C．125 D．625【答案】C2.某同學逛書店，發(fā)現3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（）A．4種 B．6種 C．7種 D．9種【答案】A3．若函數，則函數的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C．D．答案：C4．已知函數，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．答案：A5.若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C6.有4位游客來某地旅游，若每人只能從此處甲、乙、丙三個不同景錄點中選擇一處游覽，則每個景點都有人去游覽的概率為（）A． B． C． D．【答案】D7．已知，則a，b，c的大關系為（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a答案：B8.若函數，在其定義域上只有一個零點，則整數a的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C二、多選題（本大題共3小題，每題6分，計18分）9.關于，則A． B．C．D．9．解：令，則，故正確，令，則①所以，故錯誤，令，則①②可得：③①②可得：④所以④③可得：，所以，故正確，展開式中含的項的系數為，故錯誤，故選：．10.下列正確的是（

）A．由數字1，2，3，4能夠組成24個沒有重復數字的三位數B．由數字1，2，3，4，能夠組成16個沒有重復數字的三位偶數C．由數字1，2，3，4能夠組成64個三位密碼D．由數字1，2，3，4能夠組成28個比320大的三位數【答案】ACD11.已知函數，則下列結論正確的是（

）A．函數有極小值B．函數在處切線的斜率為4C．當時，恰有三個實根D．若時，，則的最小值為2【答案】AD三、填空題（本大題共3小題，每題5分，計15分）12.計算：______.（用數字作答）【答案】6513.已知隨機變量的分布列如下，則______【答案】914.已知函數，若關于的方程恰有個不同實數根，則實數的取值范圍為________．【答案】四、解答題（本大題共5小題，計77分）15(13分)．已知函數，當時，取得極值．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最值．【分析】（1）利用極值定義可求得，可得解析式；（2）利用導函數判斷出函數在區(qū)間上的單調性，比較端點處的值可得結論.【詳解】（1）依題意可得，1分又當時，取得極值，所以，2分即；解得；2分所以；1分（2）由（1）可知，令，可得或，1分當變化時，的變化情況如下表所示：（表格列好寫完整5分）單調遞增單調遞減單調遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.1分16（15分）.已知在的展開式中，前3項的系數成等差數列，求：(1)展開式中二項式系數最大的項；(2)展開式中系數最大的項．【詳解】（1）的展開式的通項為，（，1，…，n），2分因為前3項的系數成等差數列，所以，2分化簡得，解得或（舍）．2分展開式共有9項，二項式系數最大的項為.1分（2）由（1）知，展開式的通項為，（，1，…，8），設第項的系數最大，則，3分即，解得，則或，3分所以展開式的第3項與第4項系數最大，即和.2分17（15分）.“國家反詐中心”APP集合報案助手、舉報線索、風險查詢、詐騙預警、騙局曝光、身份核實等多種功能于一體，是名副其實的“反詐戰(zhàn)艦”.2021年該APP于各大官方應用平臺正式上線，某地組織全體村民注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機抽取其中100份問卷，統(tǒng)計測試得分（滿分100分），將數據按照，，…，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值及這100份問卷的平均分（同一組數據用該組數據區(qū)間的中點值代替）；(2)若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識差”，不低于90分的村民“防范意識強”．現從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會，再從這7人中隨機抽取3人，記抽取的3人中“防范意識強”的人數為X，求X的分布列和數學期望．【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，，解得．2分100份問卷的平均分為（分）3分．（2）從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人，則“防范意識差”的人數為，“防范意識強”的人數為．2分則的所有可能的值為0，1，2．則，，，6分故的分布列為012.2分18（17分）.有6位同學報名參加2022年杭州亞運會4個不同的項目（記為）的志愿者活動，每位同學恰報1個項目.(1)6位同學站成一排拍照，如果甲乙兩位同學必須相鄰，丙丁兩位同學不相鄰，求不同的排隊方式有多少種？(2)若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？(3)若每個項目只招一名志愿者，且同學甲不參加項目，同學乙不參加項目，求一共有多少種不同錄用方式？【詳解】（1）根據題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進行排列，再把丙丁插空進行排列，所以共有.5分（2）先分為4組，則按人數可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；再分到4個項目，即可得共有；6分（3）先考慮全部，則共有種排列方式，其中甲參加項目共有種，同學乙參加項目共有種；甲參加項目同時乙參加項目共有種，根據題意減去不滿足題意的情況共有種.6分19（17分）.已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)若函數存在單調遞減區(qū)間，求實數b的取值范圍；(3)設是函數的兩個極值點，證明：．【解析】（1），

定義域為

當時，在上遞增，上遞減；1分當時，若，在上單調遞增；1分若時，在上遞增，遞減，遞增；1分當時，在上遞增