初一數(shù)學(xué)(人教版)實際問題與一元一次方程(六)-1教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號2020QJ07SXRJ057學(xué)科數(shù)學(xué)年級七年級學(xué)期第一學(xué)期課題實際問題與一元一次方程（六）—電話計費(fèi)問題（方案選擇）教科書書名：數(shù)學(xué)七年級上冊出版社：人民教育出版社出版日期：2012年6月教學(xué)人員姓名單位授課教師田悅北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)指導(dǎo)教師黃婉華北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能：正確理解問題情境，分析問題中的數(shù)量關(guān)系，找出合適的相等關(guān)系，借助表格、式子分析，選擇適當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系，建立一元一次方程；2.過程與方法：體驗建立方程模型解決問題的一般過程；逐步感悟分類是一種重要的思想，為什么要分類，如何分類，如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)，體會方程思想，增強(qiáng)應(yīng)用意識和應(yīng)用能.3.情感態(tài)度價值觀：在問題的解決中，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程與方法，感受到數(shù)學(xué)在生活中的價值，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并能用數(shù)學(xué)的眼光看待世界.教學(xué)重點(diǎn)：建立方程模型解決電話計費(fèi)問題教學(xué)難點(diǎn)：由實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型的探究過程教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動復(fù)習(xí)回顧梳理舊知創(chuàng)設(shè)情境探究3電話計費(fèi)問題月使用費(fèi)/元主叫限定時間/min主叫超時費(fèi)（元/min）被叫方式一581500.25免費(fèi)方式二883500.19免費(fèi)學(xué)習(xí)新知問題引申二、例題教學(xué)提問1：理解表格中這些數(shù)據(jù)的含義嗎？先來看方式一，先交58元，可以打150分鐘，超過150分鐘的部分，每分鐘收0.25元主叫時間為100分鐘，費(fèi)用是多少呢？主叫時間為200分鐘，費(fèi)用是多少呢？（58+（200-150）×0.25）再來看方式二，先交88元，可以打350分鐘，超過350分鐘的部分，每分鐘收0.19元主叫時間為200分鐘，費(fèi)用是多少呢？（200在350以內(nèi)收費(fèi)88元）通話時間450分鐘，費(fèi)用是多少呢（88+（450-350）×0.19）？月使用費(fèi)用固定收，主叫不超過限定時間不再收費(fèi)，主叫超時部分加收超時費(fèi)；被叫免費(fèi)。由此可知，計費(fèi)與主叫時間有關(guān)，計費(fèi)時首先要看主叫時間，時間不超過限定時間，即主叫時間小于或等于限定時間，這時只收“月使用費(fèi)”。主叫時間超過限定時間即主叫時間大于限定時間，這時收“月使用費(fèi)”加按超時量計算的超時費(fèi)150小于350（定性分析），方式一的限定時間短0.25大于0.19，說明超過限定時間后，方式一比方式二增長的快（超時費(fèi)的比較）問題2：時間相同時，兩種方式費(fèi)用分別時多少呢？費(fèi)用顯然與主叫時間相關(guān)，可以從具體的問題入手，先來看兩個問題當(dāng)主叫時間為100min時，兩種方式的費(fèi)用各是多少？（方式一；58，方式二：88）當(dāng)主叫時間為350min時，兩種方式的費(fèi)用各是多少？（方式一：58+（350-150）×0.25=108,方式二：88）通過計算，同學(xué)們對電話計費(fèi)問題有什么新的認(rèn)識嗎？（時間不同時收費(fèi)不同，有時候方式一費(fèi)用少，有時候方式二費(fèi)用少，費(fèi)用與主叫時間有關(guān)）借助圖再來認(rèn)識一下兩種收費(fèi)方式：t150t1500加超時費(fèi)0.25元/分t0t0350加超時費(fèi)0.19元/分現(xiàn)在來看探究3的第一問設(shè)一個月內(nèi)用移動電話主叫時間為tmin.（t是正整數(shù)）.根據(jù)上表，列表說明，當(dāng)t在不同時間范圍內(nèi)取值時，按方式1和方式2如何計費(fèi)？問題3：如何列表呢？表中要體現(xiàn)哪些信息呢？時間相同方式一和方式二收費(fèi)不同，所以要按不同方式分類；通過前面的分析知道，費(fèi)用和時間相關(guān)，時間不同計費(fèi)方式不同，我們還要根據(jù)時間分類.從方式和時間兩個維度分類，圖表可以如下建立：主叫時間方式一計費(fèi)/元方式二計費(fèi)/元再來具體的看時間分類，把兩種收費(fèi)方式的對應(yīng)圖合在一起，在一個時間軸下呈現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)1503501503500加超時費(fèi)0.25元/分固定收費(fèi)58元（350分鐘以內(nèi)）加超時費(fèi)0.19元/分兩個主叫限定時間150min.350min是不同時間范圍的劃分點(diǎn)，我們可以把時間分成5段。邊界值單獨(dú)討論，主叫時間方式一計費(fèi)/元方式二計費(fèi)/元小于150150大于150且小于350350大于350通過前面計算，我們知道主叫時間是100，200，350，450時的費(fèi)用，能計算出兩種方式的費(fèi)用，但只是四個具體主叫時間對應(yīng)的情況，當(dāng)主叫時間是其他時間時，費(fèi)用是多少呢？主叫時間影響費(fèi)用，計算費(fèi)用要用到主叫時間，主叫時間又是變化的，怎么辦呢？這種情況下，我們可以借助數(shù)字、字母這樣的工具，把各個時間段的費(fèi)用表示出來，就像探究三第一問中設(shè)主叫時間為t,然后用t表示費(fèi)用：主叫時間t/分方式一計費(fèi)/元方式二計費(fèi)/元t小于1505888t=1505888t大于150且小于35058＋0.25(t－150)88t=35058＋0.25(350－150)＝10888t大于35058＋0.25(t－150)88＋0.19(t－350)再看問題（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費(fèi)方式嗎？通過計算驗證你的看法問題4：通過觀察列表，你可以確定哪一個時間范圍內(nèi)哪種方式更劃算嗎？主叫時間t/分方式一計費(fèi)/元方式二計費(fèi)/元t小于15058（計費(fèi)少）88t=15058（計費(fèi)少）88t大于150且小于35058＋0.25(t－150)88t=35058＋0.25(350－150)＝10888（計費(fèi)少）t大于35058＋0.25(t－150)88＋0.19(t－350)t小于150min,t等于150min，t等于350min這三種情況可以確定當(dāng)t小于或等于150時。按方式一的計費(fèi)少。當(dāng)t大于350時。按方式二的計費(fèi)少。時間分成幾段，分別去研究，分類可以幫助解決綜合變化問題追問：當(dāng)t大于150且小于350時和t大于350時這兩個時間范圍內(nèi)的情況是怎樣的呢？。①當(dāng)t小于或等于150時。按方式一的計費(fèi)少。②當(dāng)t從150增加到350時，按方式一的計費(fèi)，由58元增加到108元，而方式二的計費(fèi)一直是88元。因此當(dāng)t大于150并且小于350時，可能在某主叫時間按方式1和方式按2的計費(fèi)方式相等（類比兩個人跑步，方式一落后，方式二領(lǐng)先，方式一的速度快，中間一定存在某個時間點(diǎn)，兩人相遇，即方式一和方式二費(fèi)用相等），數(shù)學(xué)里面的相等對應(yīng)著一個等式，式子中含有字母t，由此得到了一個方程：58＋0.25(t－150)=8858＋0.25t－37.5=880.25t=67.5t=270當(dāng)t=270分時，兩種計費(fèi)方式的費(fèi)用相等，都是88元，主叫時間大于150min小于270min時，哪種方式更劃算呢？方式二是88元不變，方式一是從58元逐漸增加到88元的，或者我們計算269min時，方式一會比88元減少0.25元所以主叫時間大于150min小于270min時，按方式一的計費(fèi)少于按方式二的計費(fèi)。如果主叫時間大于270min且小于350min,按方式一的計費(fèi)多于按方式2的計費(fèi)。③當(dāng)t等于350時。按方式二的計費(fèi)少。④當(dāng)t>350分時，兩種計費(fèi)方式哪種更合算呢？t大于350時，方式一的計費(fèi)方式還可以看作108元加上超過350min部分的超時費(fèi)（0.25（t-350））,方式二的計費(fèi)為88元加上超過350min部分的超時費(fèi)（0.19（t-350））對比兩式對應(yīng)的各項，可以看出方式二計費(fèi)少或者t等于350時，按方式二的費(fèi)用88元比方式一費(fèi)用108元少。t大于350時，超過限定時間另付費(fèi)的單價方式二0.19小于方式一0.25，方式二增加的速度慢，所以方式二計費(fèi)少剛才是分段研究的，綜合以上分析，現(xiàn)在概括的說可得：t小于150，t等于150，t大于150小于270時，方式一劃算，所以t小于270分時，選擇方式一劃算；t大于270小于350,t=350,t大于350時，方式二劃算，t大于270分時，選擇方式二省錢．課堂小結(jié)小結(jié)：請回顧電話計費(fèi)問題的探究過程，并回答以下問題：探究解題的過程大致包含哪幾個步驟？找出關(guān)鍵點(diǎn)，分類討論，列方程電話計費(fèi)問題的核心問題是什么？t=270是怎么算出來的？方程分類，解釋實際問題方程t=270電話計費(fèi)問題方程t=270電話計費(fèi)問題實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題電話計費(fèi)問題的核心是建立模型，建立模型的關(guān)鍵有兩個，一是應(yīng)用分類思想對不同情況分別進(jìn)行分析，二是發(fā)現(xiàn)并利用相等關(guān)系確立方程模型，其中分類思想是解決綜合性問題時的重要策略，需要學(xué)生在適當(dāng)條件下具有較強(qiáng)的分類意識和確定分類節(jié)點(diǎn)的能力，同時本節(jié)課問題中的相等關(guān)系比之前的問題具有更強(qiáng)的隱蔽性，需要同學(xué)們根據(jù)數(shù)量間的大小變化來確定和解決，這增加了列方程的難度。我們在探究過程中用到了哪些方法，你有哪些收獲？分類討論（初步分類，再分類），方程思想鞏固練習(xí)利用我們在“電話計費(fèi)問題”中學(xué)會的方法，探究下面的問題：用A4紙在某謄印社復(fù)印文件，復(fù)印頁數(shù)不超過20時每頁收費(fèi)0.12元；復(fù)印頁數(shù)超過20頁時，超過部分每頁收費(fèi)0.09元.在某圖書館復(fù)印同樣的文件,不論復(fù)印多少頁，每頁收費(fèi)0.1元.如何根據(jù)復(fù)印的頁數(shù)選擇復(fù)印的地點(diǎn)使總價格比較便宜？（復(fù)印的頁數(shù)不為零）分析：頁數(shù)不同導(dǎo)致費(fèi)用不同，所以設(shè)復(fù)印頁數(shù)為x頁這個問題比較復(fù)雜，借助表格分析和整理數(shù)據(jù)如下。復(fù)印頁數(shù)x謄印社復(fù)印費(fèi)用/元圖書館復(fù)印費(fèi)用/元x小于200.12x0.1xx等于200.12×20＝2.40.1×20＝2x大于202.4＋0.09(x－20)0.1x解答：設(shè)復(fù)印頁數(shù)為x頁（1）當(dāng)x小于20時，0.12x大于0.1x恒成立，圖書館價