湖南省郴州市2024年中考數(shù)學模試卷含解析

湖南省郴州市2024年中考數(shù)學模試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

1.如圖，AB/7CD,點E在CA的延長線上.若NBAE=40。，則NACD的大小為（）

A.150°B.140°D.120°

2.如圖，把一塊含有45。角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上.如果Nl=20。，那么N2的度數(shù)是（）

C.20D.15°

3.如圖，在矩形ABCD中，P、R分別是BC和DC上的點，E、F分別是AP和RP的中點，當點P在BC上從點B

向點C移動，而點R不動時，下列結論正確的是（）

A.線段EF的長逐漸增長B.線段EF的長逐漸減小

C.線段EF的長始終不變D.線段EF的長與點P的位置有關

4.如圖，平面直角坐標中，點A（l,2）,將AO繞點A逆時針旋轉90。，點O的對應點B恰好落在雙曲線y=_（x>0）

u

上，則k的值為（）

A.2C.4D.6

5.如圖，AB是0。的直徑，弦CD_LAB,/CDB=30，CD=2日則陰影部分的面積為（

A.In

6-有15位同學參加歌詠比賽，所得的分數(shù)互不相同，取得分前8位同學進入決賽.某同學知道自己的分數(shù)后，要判

斷自己能否進入決賽，他只需知道這15位同學的（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

7.股市有風險，投資需謹慎.截至今年五月底，我國股市開戶總數(shù)約95000000,正向1億挺進，95000000用科學計

數(shù)法表示為（）

A.9.5xl06B.9.5xl07C.9.5xl08D.9.5xl09

8.據(jù)統(tǒng)計,2015年廣州地鐵日均客運量均為6590000人次，將6590000用科學記數(shù)法表示為（）

A.6.59xlO4B.659xlO4C.65.9xlO5D.6.59xlO6

9.如圖，直線AB〃CD,ZA=70°,ZC=40°,則NE等于（）

A.30°B.40°

C.60°D.70°

10.如圖，在正方形OABC中，點A的坐標是（-3,1）,點B的縱坐標是4,則B,C兩點的坐標分別是（）

A.(-2,4),(1,3)B.(-2,4),(2,3)

C.(-3,4),(1,4)D.(-3,4),(1,3)

11.如圖，Rl-AOB中，AB1OB,且AB=OB=3,設直線x=t截此三角形所得陰影部分的面積為S,則S與

t之間的函數(shù)關系的圖象為下列選項中的（）

12.-3的相反數(shù)是（）

11

A.-B.3C.一一D.-3

33

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分

13.某同學對甲、乙、丙、丁四個市場二月份每天的白菜價格進行調查，計算后發(fā)現(xiàn)這個月四個市場的價格平均值相

2

同、方差分別為S甲2=8.5,S乙2=2.5,S內2=io.i,ST=7.4,二月份白菜價格最穩(wěn)定的市場是.

14.已知線段c是線段。和力的比例中項，且。、方的長度分別為2cm和8s〃，則c的長度為cm.

15.分解因式：x2+xy=.

16.在一個暗箱里放有a個除顏色外其他完全相同的球，這a個球中紅球只有3個.每次將球攪拌均勻后，任意摸出

一個球記下顏色再放回暗箱.通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0?25,那么可以推算出a大約是

17.如圖，四邊形A4CD內接于。。，AD.5C的延長線相交于點E,AB.0C的延長線相交于點尸.若NE+NF=

80°,則N4=。.

18.如圖所示，直線y=x+l（記為3與直線產(chǎn)機葉〃（記為切相交于點P（a,2）,則關于x的不等式x+\>mx+n的解集為

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）如圖，△ABC中，D是AB上一點，DE_LAC于點E,F是AD的中點，F(xiàn)G_LBC于點G,與DE交」于點

H,若FG=AF,AG平分NCAB,連接GE,GD.

求證：△ECG^AGHD；

20.（6分）如圖，在平面直角坐標系中，已知AARC三個頂點的坐標分別是A（2,2）,R（4,0）,C（4,-4）.請

在圖中，畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△AiBiG：以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的?，

2

得到AA2B2c2,請在圖中y軸右側，畫出AA2B2c2,并求出NA2c2B2的正弦值.

21.（6分）如圖，對稱軸為直線x=—l的拋物線丫=僦2+6*+（：但工0）與'軸相交于人、B兩點，其中A點的坐標

為（-3,0）.

x=T

（1）求點B的坐標；

（2）已知a=1,C為拋物線與y軸的交點.

①若點P在拋物線上，且SWJCM^ABOC，求點P的坐標；

②設點Q是線段AC上的動點，作QD_Lx軸交拋物線于點D,求線段QD長度的最大值.

22.（8分）計算：2'+\-|+Vl2+2COS300

23?（8分）先化簡，再求值：1+口.（1?三），其中x=2cos300+Um45，

ZHJ

24,（10分）襄陽市精準扶貧工作己進入攻堅階段.貧困戶張大爺在某單位的幫扶下，把一片坡地改造后種植了優(yōu)質

水果藍莓，今年正式上市銷售.在銷售的30天中，第一天賣出20千克，為了擴大銷量，采取了降價措施，以后每天

fnx-76m（\<x<20,x為整數(shù)）

比前一天多賣出4千克.第x天的售價為y元/千克，y關于x的函數(shù)解析式為八八，/°八"，敕新、且

/?p0<x<30,x為整數(shù)）

第12天的售價為32元/千克，第26天的售價為25元/千克.已知種植銷售藍莓的成木是18元/千克，每天的利潤是W

元（利潤=銷售收入■成本）.m=,n=；求銷售藍莓第幾天時，當天的利潤最大？最大利潤是多少？在

銷售藍莓的30天中，當天利潤不低于870元的共有多少天？

25.（10分）（11分）閱讀資料：

如圖1,在平面之間坐標系xOy中，A,B兩點的坐標分別為A（xi，yi）,B（xi，yi）,由勾股定理得-xip+|yi

-yil1,所以A,B兩點間的距離為AB=

我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點的集合，如圖1,在平面直角坐標系xoy中，A（x,y）為圓上任意一

點，則A到原點的距離的平方為OAgx-Op+LOp，當。O的半徑為r時，。。的方程可寫為：x'+y^r1.

問題拓展：如果圓心坐標為P（a,b）,半徑為r,那么。P的方程可以寫為.

綜合應用：

如圖3,0P與x軸相切于原點O,P點坐標為（0,6）,A是。P上一點，連接OA,使tanNPOA=,作PD_LOA,

垂足為D,延長PD交x軸于點B,連接AB.

①證明AB是。P的切點；

②是否存在到四點O,P,A,B距離都相等的點Q?若存在，求Q點坐標，并寫出以Q為圓心，以OQ為半徑的。O

的方程；若不存在，說明理由.

26.(12分)如圖，在。O中，弦AB與弦CD相交于點G,OA1CD于點E,過點B的直線與CD的延長線交于點F,

AC/7BF.

(1)若NFGB=NFBG,求證：BF是。O的切線；

3

(2)若tanNF=一，CD=a,請用a表示。O的半徑;

4

(3)求證：GF2-GB2=DF*GF.

27.(12分)(1)觀察猜想

如圖①點B、A、C在同一條直線上，DBXBC,EC_LBC且NDAE=90。，AD=AE,則BC、BD、CE之間的數(shù)量關系

為;

(2)問題解決

如圖②，在RtAABC中，ZABC=90°,CB=4,AB=2,以AC為直角邊向外作等腰RSDAC,連結BD,求BD的長;

(3)拓展延伸

如圖③，在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,請直接寫出BD的長.

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、B

【解析】

試題分析：如圖，延長DC到F,則

VABZ^CD,ZBAE=40°,AZECF=ZBAE=40°.

:.ZACD=1800-ZECF=140°.

故選B.

考點：1.平行線的性質；2,平角性質.

2、B

【解析】

根據(jù)題意可知Nl+N2+45°=90°,:.Z2=90°-Z1-45°=25°,

3、C

【解析】

試題分析：連接AR,根據(jù)勾股定理得出AR切AD?+DR2的長不變，根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=；AR,即

可得出線段EF的長始終不變，

故選C.

BPC

考點：1、矩形性質，2、勾股定理，3、三角形的中位線

4、B

【解析】

作AC_Ly軸于C,AOx軸，5O_Lj，軸，它們相交于O,有A點坐標得到AC=LOC=1,由于AO繞點A逆時針旋轉

90。，點O的對應3點，所以相當是把A40C繞點A逆時針旋轉90。得到AAR九根據(jù)旋轉的性質得AO=AC=L

BD=OC=1,原式可得到〃點坐標為（2,1）,然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征計算M的值.

【詳解】

作軸于C,AO_Lx軸，軸，它們相交于O,如圖，丁A點坐標為（1,1）,AAC=1,OC=1,

*：AO繞點A逆時針旋轉90。,點O的對應3點，即把△AOC繞點A逆時針旋轉90。得到△ABDf：.AD=AC=\fBD=OC=lf

???3點坐標為（2,1）,.\Jl=2xl=2.

故選B.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)產(chǎn)_?為常數(shù)，"0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x,y）

W

的橫縱坐標的積是定值A,即盯=A.也考查了坐標與圖形變化■旋轉.

5、D

【解析】

分析：連接則根據(jù)垂徑定理可得出CE=DE,繼而將陰影部分的面積轉化為扇形030的面積，代入扇形的面積

公式求解即可.

詳解：連接

VCD14B,

：.CE=DE=-CD=y/3,（垂徑定理），

2

故S.OCE=S.ODE，

即可得陰影部分的面積等于扇形OBD的面積，

又丁NCO8=30。,

:./COB=60（圓周角定理）,

：.0C=2,

故S扇形0BD=60KX*=2n

3603

即陰影部分的面積為用.

故選D.

A

點睛：考查圓周角定理，垂徑定理，扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解題的關鍵.

6、B

【解析】

由中位數(shù)的概念，即最中間一個或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)；可知15人成績的

中位數(shù)是第8名的成績.根據(jù)題意可得：參賽選手要想知道自己是否能進入前8

名，只需要了解自己的成績以及全部成績的中位數(shù)，比較即可.

【詳解】

解：由于15個人中，第8名的成績是中位數(shù)，故小方同學知道了自己的

分數(shù)后，想知道自己能否進入決賽，還需知道這十五位同學的分數(shù)的中位數(shù).

故選B.

【點睛】

此題主要考查統(tǒng)計的有關知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義.反

映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等，各有局限性，因此要對統(tǒng)

計量進行合理的選擇和恰當?shù)倪\用.

7、B

【解析】

試題分析：15000000=1.5x2.故選B.

考點：科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)

8、D

【解析】

科學記數(shù)法就是將一個數(shù)字表示成(axlO的n次第的形式)，其中l(wèi)<|a|<10,n表示整數(shù).n為整數(shù)位數(shù)減1,即從左

邊第一位開始，在首位非零的后面加上小數(shù)點，再乘以10的n次第.

【詳解】

解：6590000=6.59x1.

故選：D.

【點睛】

本題考查學生對科學記數(shù)法的掌握，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法.

9、A

【解析】

VAB/7CD,ZA=70°,

AZ1=ZA=7O°,

VZ1=ZC+ZE,ZC=40°,

AZE=Z1-ZC=70°-40°=30°.

故選A.

10、A

【解析】

作于。，作AEJLx軸于E,作于尸，由AAS證明AAOEg/kOCD,得出AE=O&,OE=CDt由點

A的坐標是(-3,1),得出OE=3,AE=lf：.OD=ltCD=3,得出C(L3),同理：A得出AE=5尸=1,

OE-BF=3-1=2,得出8(?2,4)即可.

【詳解】

解：如圖所示：作CO_Lx軸于O,作AE_Lx軸于E,作B以LAE于凡則NAEO=NO&C=N〃E4=90。，

；?NOAE+NAOE=90。.

V四邊形OABC是正方形，???O4=CO=R4,NAOC=90。，,NAOE+NCOD=9。。，；?ZOAE=ZCOD.在AAOE和^OCD

NAEO=NODC

中，Y<NOAE=NCOD,：.AAOE^AOCD(AAS),：.AE=ODtOE=CD.

OA=CO

?

??點A的坐標是(?3,1),：.OE=3fAE=1,；?OD=1,CD=3,：.C(1,3).

同理：AAOE^^BAFf：.AE=BF=lfOE-BF=3-1=2,：,B(-2,4).

故選A.

【點睛】

本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、坐標與圖形性質；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是

解決問題的關鍵.

11>D

【解析】

RSAOB中，AB1OB,且AB=OB=3,所以很容易求得NAOB=NA=45。；再由平行線的性質得出NOCD=NA,即

ZAOD=ZOCD=45°,進而證明OD=CD=t；最后根據(jù)三角形的面積公式，解答出S與t之間的函數(shù)關系式，由函數(shù)解

析式來選擇圖象.

【詳解】

解：YRtAAOB中，AB±OB,且AB=OB=3,

AZAOB=ZA=45O,

VCD±OB,

ACD/7AB,

AZOCD=ZA,

AZAOD=ZOCD=45°,

/.OD=CD=t,

ASOCD="xODxCD=-12(0<t<3),&PS=-t2(0<t<3).

A222

故S與t之間的函數(shù)關系的圖象應為定義域為[0,3],開口向上的二次函數(shù)圖象；

故選D.

【點睛】

本題主要考查的是二次函數(shù)解析式的求法及二次函數(shù)的圖象特征，解答本題的關鍵是根據(jù)三角形的面積公式，解答出

S與t之間的函數(shù)關系式，由函數(shù)解析式來選擇圖象.

12、B

【解析】

根據(jù)相反數(shù)的定義與方法解答.

【詳解】

解：一3的相反數(shù)為一(-3)=3.

故選：B.

【點睛】

本題考查相反數(shù)的定義與求法，熟練掌握方法是關鍵.

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13、乙.

【解析】

據(jù)方差的意義可作出判斷.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)

偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，即可得出答案.

【詳解】

解：TS甲2=8.5,S乙2=2.5,S丙2=i0.i,s丁2=7.4,

乙2Vs丁2Vs甲2vs/,

???二月份白菜價格最穩(wěn)定的市場是乙；

故答案為：乙.

【點睛】

本題考查方差的意義.解題關鍵是掌握方差的意義：方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)

據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)

越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

14、1

【解析】

根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可得出中項，注意線段長度不能為負.

【詳解】

根據(jù)比例中項的概念結合比例的基本性質，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積.

所以C2=2X8,

解得c=±l(線段是正數(shù)，負值舍去)，

故答案為L

【點睛】

此題考查了比例線段.理解比例中項的概念，這里注意線段長度不能是負數(shù).

15、x(x+y).

【解析】

將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完

全平方式或平方差式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式.

【詳解】

直接提取公因式x即可：x2+xy=x(x+y).

16、12

【解析】

在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，根據(jù)紅球的個數(shù)

除以總數(shù)等于頻率，求解即可.

【詳解】

:摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25,

3

:.-=0.25

a

解得：a=12

故答案為：12

【點睛】

此題主要考查了利用頻率估計概率，解答此題的關鍵是利用紅球的個數(shù)除以總數(shù)等于頻率.

17、50

【解析】

試題分析：連結EF,如圖，根據(jù)圓內接四邊形的性質得NA+NBCD=180。，根據(jù)對頂角相等得NBCD=NECF,則

ZA+ZECF=180°,根據(jù)三角形內角和定理得NECF+N1+N2=18O。，所以N1+N2=NA,再利用三角形內角和定理得

到NA+NAEB+N1+N2+NAFD=18O。，則NA+80<>+NA=180。，然后解方程即可.

試題解析：連結EF,如圖，

V四邊形ABCD內接于。O,

AZA+ZBCD=180°,

MZBCD=ZECF,

AZA+ZECF=180°,

VZECF+Z1+Z2=18O°,

/.Z1+Z2=ZA,

VZA+ZAEF+ZAFE=180°,

BPZA+ZAEB+Z1+Z2+ZAFD=18O°,

.?.ZA+8（）°+ZA=180°,

AZA=50°.

考點：圓內接四邊形的性質.

18、x>l

【解析】

把y=2代入y=x+L得x=L

，點P的坐標為（1,2）,

根據(jù)圖象可以知道當x>l時，y=x+l的函數(shù)值不小于y=mx+n相應的函數(shù)值，

因而不等式x+1之mx+n的解集是：x>1,

故答案為x>l.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)與不等式（組）的關系及數(shù)形結合思想的應用.解決此類問題關鍵是仔細觀察圖形，注意幾個關

鍵點（交點、原點等），做到數(shù)形結合.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、見解析

【解析】

依據(jù)條件得出NC=NDHG=90。，ZCGE=ZGED,依據(jù)F是AD的中點，F(xiàn)G/7AE,即可得到FG是線段ED的垂直

平分線，進而得到GE=GD,ZCGE=ZGDE,利用AAS即可判定4ECG^AGHD.

【詳解】

證明：VAF=FG,

AZFAG=ZFGA,

VAG平分NCAB,

AZCAG=ZFAG,

AZCAG=ZFGA,

，AC〃FG.

VDE±AC,

AFG±DE,

VFG±BC,

.?.DE/7BC,

/.AC±BC,

VF是AD的中點，F(xiàn)G〃AE,

AH是ED的中點

AFG是線段ED的垂直平分線，

AGE=GD,ZGDE=ZGED,

，NCGE=/GDE,

AAECG^AGHD.(AAS).

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定，線段垂直平分線的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決問題的關鍵.

20、(1)見解析(2)

lo-

【解析】

試題分析：(1)直接利用平移的性質得出對應點位置進而得出答案；

(2)利用位似圖形的性質得出對應點位置，再利用銳角三角三角函數(shù)關系得出答案.

試題解析：(1)如圖所示：AAiBiG,即為所求；

(2)如圖所示：△A2B2C2,即為所求，由圖形可知，NA2CZB2=NACB,過點A作AD_LBC交BC的延長線于點D,

由A(2,2),C(4,-4),B(4,0),易得D(4,2),故AD=2,CD=6,AC=g：+6；=＞而，

/.sinNACB==—,即sinNA2c2B2=2^2.

AC2V101010

考點：作圖-位似變換；作圖-平移變換；解直角三角形.

21、（1）點B的坐標為（1,0）.

（2）①點P的坐標為（4,21）或（-4,5）.

9

②線段QD長度的最大值為;.

4

【解析】

（1）由拋物線的對稱性直接得點B的坐標.

（2）①用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點C的坐標，得到SAB℃，設出點P的坐標，根據(jù)SAPOC=4SA80c

列式求解即可求得點P的坐標.

②用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由點Q在線段AC上，可設點Q的坐標為（q,?q?3）,從而由QD_Lx軸交拋物

線于點D,得點D的坐標為（q,q2+2q-3）,從而線段QD等于兩點縱坐標之差，列出函數(shù)關系式應用二次函數(shù)最值原理

求解.

【詳解】

解：（1）,:A、B兩點關于對稱軸x=-l對稱，且A點的坐標為（-3,0）,

，點B的坐標為（1,0）.

（2）①;拋物線a=1,對稱軸為x=—l,經(jīng)過點A（-3,0）,

a=1

a=1

b=2.

c=-3

9a2-3b+c=0

???拋物線的解析式為y=xi2+32x-3.

13

點的坐標為（0,-3）.AOB=1,OC=3.ASABOC=-xlx3=-.

i3

設點P的坐標為（p,p2+2p?3）,則SAP0c=-x3x|p|=-|p|.

/J

3

=

?:S&p0c=4sAe0c，：，~|p|6,解得p=±4.

當p=4時p2+2p—3=21；當p=-4時，p2+2p-3=5,

，點P的坐標為（4,21）或（-4,5）.

②設直線AC的解析式為y=kx+b,將點A,C的坐標代入，得:

-3k+b=0

解得:

b=-3

:.直線AC的解析式為y=-X-3.

V點Q在線段AC上，???設點Q的坐標為（q,?q?3）?

又???QD_Lx軸交拋物線于點D,???點D的坐標為(q,q2+2q?3).

Va=-l＜0,-3＜一一＜0

2

9

，線段QD長度的最大值為二.

4

1L

22、—+473.

【解析】

原式利用負整數(shù)指數(shù)幕法則，二次根式性質，以及特殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值.

【詳解】

原式=—+\/3+2-\/3+2*=—+4\/3?

【點睛】

本題考查了實數(shù)的運算，涉及了負整數(shù)指數(shù)第、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡等，熟練掌握各運算的運算法

則是解本題的關鍵.

23、婦

【解析】

先化簡分式，再計算x的值，最后把X的值代入化簡后的分式,計算出結果.

【詳解】

原式Z二

=1+

—=—3

二.—)二

=1+J_

3-1

當x=2cos30°+tan45

=2x_+1

=vfJ+l時.

5ZJ-=/+7

【點睛】

本題主要考查了分式的加減及銳角三角函數(shù)值.解決本題的關鍵是掌握分式的運算法則和運算順序.

24、(1)m=-n=25；(2)18,W最大=968；(3)12天.

2

【解析】

【分析】(D根據(jù)題意將第12天的售價、第26天的售價代入即可得；

(2)在(1)的基礎上分段表示利潤，討論最值；

(3)分別在(2)中的兩個函數(shù)取值范圍內討論利潤不低于870的天數(shù)，注意天數(shù)為正整數(shù).

【詳解】(1)當?shù)?2天的售價為32元/件，代入y=mx-76m得

32=12m-76m,

解得,

2

當?shù)?6天的售價為25元/千克時，代入y=n,

則n=25,

故答案為m=-!，n=25；

2

(2)由(1)第x天的銷售量為20+4(x-1)=4x+16,

當1金〈20時，

VV=(4x+16)(--x+38-18)=-2x2+72x+320=-2(x-18)2+968,

2

???當x=18時,W量大=968,

當200x530時，W=(4x+16)(25-18)=28x+112,

V28>0,

；?W隨x的增大而增大，

,當x=30時,W最大=952,

V968>952,

，當x=18時，W.大=968；

(3)當lqV20時，4--2X2+72X+320=870,

解得xi=25,X2=ll,

:拋物線W=-2X2+72X+320的開口向下，

，11金￡25時，W>870,

/.ll<x<20,

??"為正整數(shù)，

，有9天利潤不低于870元，

當200x330時，令28x+l12>870,

解得x>27—,

14

.*.27—<x<30

14

???x為正整數(shù)，

???有3天利潤不低于870元，

，綜上所述，當天利潤不低于870元的天數(shù)共有12天.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的應用，弄清題意，找準題中的數(shù)量關系，運用分類討論思想是解題

的關鍵.

25、問題拓展：(x?a)'+(y-b)Jr】綜合應用：①見解析②點Q的坐標為(4,3),方程為(x-4)'+(y-3)展15.

【解析】

試題分析：問題拓展：設A(x,y)為。P上任意一點，則有AP=r,根據(jù)閱讀材料中的兩點之間距離公式即可求出。P

的方程；

綜合應用：①由PO=PA,PD_LOA可得NOPD=NAPD,從而可證到△POBg2\PAB,則有NPOB=NPAB.由。P

與x軸相切于原點O可得NPOB=90。，即可得到NPAB=90。，由此可得AB是OP的切線；

②當點Q在線段BP中點時，根據(jù)直角二角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得QO=QP=BQ=AQ.易證

NOBP=NPOA,則有tanZOBP==.由P點坐標可求出OP、OB.過點Q作QH±OB于H,易證△BHQ^ABOP,

根據(jù)相似三角形的性質可求出QH、BH,進而求出OH,就可得到點Q的坐標，然后運用問題拓展中的結論就可解決

問題.

試題解析：解：問題拓展：設A(x,y)為。P上任意一點，

VP(a,b),半徑為r,

/.AP1=(x-a),+(y-b)i=rL

故答案為(x-a)l+(y-b)

綜合應用：

@VFO=EA,ED±OA,

.*.ZOPD=ZAPD.

在APOB和APAB中,

/.△POB^APAB,

AZPOB=ZPAB.

TOP與x軸相切于原點O,

AZPOB=90°,

，NPAB=90。，

???AB是。P的切線；

②存在到四點O,P,A,B距離都相等的點Q.

當點Q在線段RP中點時，

VZPOB=ZPAB=90°,

AQO=QP=BQ=AQ.

此時點Q到四點O,P,A,B距離都相等.

VZPOB=90°,OA±PB,

/.ZOBP=90°-ZDOB=ZPOA,

Z.tanZOBP==tanZPOA=4

???P點坐標為（0,6）,

AOP=6,OB=OP=3.

過點Q作QH_LOB于H,如圖3,

則有NQHB=NPOB=9。。，

???QH〃PO,

AABHQ^ABOP,

■?■——————,

AQH=OP=3,BH=OB=4,

AOH=3-4=4,

???點Q的坐標為（%3）,

AOQ==5,

:.以Q為圓心，以OQ為半徑的。O的方程為(x-4)4(y-3)?=15.

考點：圓的綜合題；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；切線的判

定與性質；相似三角形的判定與性質；銳角三角函數(shù)的定義.

25

26、(1)證明見解析；(2)r=—a；(3)證明見解析.

48

【解析】

(1)根據(jù)等邊對等角可得NOAB=NOBA,然后根據(jù)OA_LCD得到NOAB+NAGC=90。，從而推出

ZFBG+ZOBA=90°,從而得到OB_LFB,再根據(jù)切線的定義證明即可.

(2)根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得NACF=NF,根據(jù)垂徑定理可得CE=[cD=1a,連接03設圓的半徑為r,

表示出OE,然后利用勾股定理列式計算即可求出r.

(3)連接BD