專題01 平面向量（重難點突破）（解析版）-【教育機(jī)構(gòu)專用】2021年暑期高一升高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義（人教A版）

專題01平面向量

知識網(wǎng)絡(luò)

重難點突破

重難點突破一三角形的法則與平行四邊形的法則

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

(1)交換律：

求兩個向量和三角形法則

加法a+b=b+a；

的運(yùn)算

3

(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

平行四邊形法則

求a與b的相

反向量-b的

減法a-b=a+(-b)

和的運(yùn)算叫做a

三角形法則

a與b的差

Ma|=M||a|,當(dāng)R>0時，加的

求實數(shù)久與向

方向與a的方向相同；當(dāng)4<0X(〃a)=(4〃)a；(A+〃)a=Aa+/ja；

數(shù)乘量a的積的運(yùn)

時，曲的方向與a的方向相+b)=Xa+Xb

算

反；當(dāng)4=0時，B=0

常用結(jié)論

⑴在△48C中，A。為8c邊上的中線，則顯）=:（祀+亦）.

（2）0為4A8C的重心的充要條件是殖+初+求=0.

例1.（1）（2021?福清西山學(xué)校高一月考）在△ABC中，AD為8C邊上的中線，E為的中點，則

EB=

3—1—1一3——

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3—1—1——3—

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】

分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得詼=,麗+,配，之后應(yīng)用向量的加

22

一3一1一

法運(yùn)算法則------三角形法則，得到配=麗+近，之后將其合并，得到=下一

44

一3——1一

步應(yīng)用相反向量，求得EB=—AB——AC,從而求得結(jié)果.

44

【詳解】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-（BA+AC}=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424V724444

__3__1__

所以麗=—A耳一一AC,故選A.

44

【點睛】

該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角

形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.

（2）.（2021?南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué)高三其他模擬）設(shè)。為AABC所在平面內(nèi)一點，若

BC=3CD，則下列關(guān)系中正確的是

__14__14

K.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

C.AD=~AB+-ACD.AD=-AB--AC

3333

【答案】A

【詳解】

BC=3CD

----------------cUUIT_____、

AC-AS=3(ADAC)：

.uucr_4I-7-=

?■AD~—AC~-AB.

33

故選A.

【變式訓(xùn)練1-1】?(2020?安徽滁州市?高三月考(文))如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC與BD

交于點。，且荏=2旃，則訪=()

1__2--2__1——

A.—AD—ABB.—ADH—AB

3333

2——1——1__2—

C.—AD—ABD.—AD4—AB

3333

【答案】C

【分析】

畫出圖形，以麗，麗為基底將向量前進(jìn)行分解后可得結(jié)果.

【詳解】

畫出圖形，如下圖.

D

O

E

B

選取荏，而為基底，則荏=2而=4無不=_（血+而），

1171

ED=AD-AE^Ab——（AB+AD}=-AD——AB.

3V>33

故選C.

【點睛】

應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題

（1）只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無窮多組，在解決具體問題時，合

理選擇基底會給解題帶來方便.

（2）利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)

乘運(yùn)算.

【變式訓(xùn)練1-2】.（2021?河北高三月考）我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出

了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個

大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若病，,晶藁=3E*則晶=（）

12f9716-12-

A.——a-\bB.—a-\-----b

25252525

4f3f3T4-

C.—a+—bD.-a+-b

5555

【答案】B

【分析】

利用平面向量的加法法則和數(shù)乘向量求解.

【詳解】

由題得5/=8。+。/=8。+—￡4=8。+二EB+BA\=BC+-\--BF+BA

441)414

T3，3TT、f16T12Tf16f12T

即8尸=BC+——二8P+8A,解得8/=一5。+一84.即8/=一。+一匕，

25252525

故選：B

【點睛】

方法點睛：向量的線性運(yùn)算，一般主要考查平面向量的加法、減法法則、平行四邊形法則和數(shù)乘向量，要

根據(jù)已知條件靈活運(yùn)算這些知識求解.

例2.(202，?浙江高一期末)如圖，在AABC中，。是8C的中點，F(xiàn)在邊力8上，BE=2EA,AD與CE交

于點O.

(1)設(shè)5O=xA3+yAC,求％+>的值；

(2)若A月.4乙=646區(qū)e，求k的值.

【答案】(1)-1；(2)￡

【分析】

(1)由E,O,C三點共線，得而=/通+(1—0/=g而+(1—/)/，又由a0=機(jī)而，得

-3

t——

AO=-(AB+AC)=-AB+-AC,由此解得，,即可得到本題答案；

2221

(2)根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，逐步化簡，即可得到本題答案.

【詳解】

(1)因為E,O,C三點共線，所以其。=「而+(l—f)〃=§/^+(l—/)^,

設(shè)AO=mAD>所以A0=—(AB+AC)=—ABH—AC,

222

1m3

—t=-t=—

324

所以解得]

I2

所以布=」通+」祕，BO^BA+AO^-AB+-AB+-AC^--AB+-AC,

444444

所以x+y=-;；

(2)因為6布?成=6x；(而+前)]一，而+/)

=1L1AB2-AB-ACAC2]

2（3+3+）

=」|研+福林+二|否2

22

又A2?*=6布?反

所以一,|通|2+3|/|2=0'

22

^\AB\=y/3\AC\.

AB0

即---=73.

AC

【點睛】

本題主要考查平面向的數(shù)量積和平面向量的線性運(yùn)算，考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力以及運(yùn)算求

解能力.

重難點突破二平面向量的的坐標(biāo)運(yùn)算

1.平面向量基本定理

如果a,金是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)幾

不，使a=Aiei+小僉

其中，不共線的向量a,e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

運(yùn)算坐標(biāo)表示

已知a=（M,>4）,b=（及，/），貝lja+b=（M+越，%+/），a-b=（加一及，

和（差）

%一%）

數(shù)乘已知a=（xi,垃貝lHa=（/lx!,4㈤，其中R是實數(shù)

任一向量的坐標(biāo)已知4xi,yi）,隊xi,卜），貝yz-yi）

3.向量的夾角

定義圖示范圍共線與垂直

已知兩個非零向量a和

設(shè)8是a與b的夾8=0?；?=180°

b,作OA-a,OB-b,

Z角，則e的取值范圍0a〃b,8=

則/力。6就是a與b的夾-a、

0是0°^(9^180°90°?a±b

角

4.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個非零向量a,b的夾角為6,則數(shù)量|a||b|cos6叫做a與b的數(shù)

定義

量積，記作ab

|a|cos6叫做向量a在b方向上的投影，

投影

|b|cos6叫做向量b在a方向上的投影

幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos8的乘積

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=(M,yi),b=(w,㈤，a與b的夾角為4

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模同=正^同=..+必

abM-十

夾角cos0-.....COS0-\2212,2

lallblyjxi++yz

alb的充要條件ab=0M型+yiyz=0

|ab|與片的角關(guān)系|a-b|W自的/%及+j4/iwq必+必必+〃

6.必備結(jié)論

(1),平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式：

(a+b)(a-b)=az-b2；(a±b)?=a2±2ab+b2.

(2).有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論：

(1)兩個向量a與b的夾角為銳角，則有a-b>0,反之不成立(因為a與b夾角為0時不成立).

(2)兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有a-b<0,反之不成立(因為a與b夾角為rr時不成立).

例3.⑴(2021?黑龍江伊春市?伊春二中高三期中(文))已知向量&=(1,m)，5=(3,-2),且

（a+5）J_5,則

A.-8B.-6

C.6D.8

【答案】D

【分析】

由已知向量的坐標(biāo)求出G+b的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案.

【詳解】

a==(3,-2),r.1+5=(4,優(yōu)-2),又伍+B)_1_6,

.,.3x4+(-2)x(m-2)=0,解得m=8.

故選D.

【點睛】

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

⑵.(202。黑龍江鶴崗市?鶴崗一中高一期末(理))已知平面向量，石的夾角為135,且同=1,

忸+.=&，則忖=

A.夜B.2

C.73-1D.73

【答案】A

【解析】

【分析】

將=72進(jìn)行平方運(yùn)算可化為關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.

【詳解】

由|20+.=夜得:+=4a2+4a-b+b2=4同2+4同?|5卜0S135°+=2

即：2_2閨同+同=0,解得：忖=血

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查向量模長的求解，關(guān)鍵是能夠通過平方運(yùn)算，利用數(shù)量積運(yùn)算構(gòu)造出關(guān)于所求模長的方程，屬于

?？碱}型.

【變式訓(xùn)練3-1】.(2021?江蘇省丹陽高級中學(xué)高一月考)設(shè)向量2=(1,-1),5=(優(yōu)+1,2加一4),若

alb-則"2=-------------------

【答案】5

【分析】

根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.

【詳解】

由a_Lb可得=

又因為￡=（1,一1）1=（加+1,2加一4）,

所以￡%=1?（加+1）+（—1＞（2加-4）=0,

即〃?=5,

故答案為：5.

【點睛】

本題考查有關(guān)向量運(yùn)算問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.

【變式訓(xùn)練3-2】.（2019?福建漳州市?高三其他模擬（文））已知向量滿足同=1,問=2,

,+同=近，則＞力=

A.1B.72C.y/3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】

由題意可得：（&+5丫=G2+52+2無5=1+4+2&.5=7,

則a?B=1.

本題選擇A選項.

【點睛】

求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義.具體應(yīng)用時

可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用.

例4.(2021?浙江高一期末)已知向量2與5的夾角為。=亨，且同=3,W=2j5.

⑴若％Q+2/?與3Q+4B共線,求左；

⑵求。4,歸+耳；

(3)求汗與Z+B的夾角的余弦值

【答案】(1)-；(2)＞坂=一6，卜+同=6；(3)叵.

2115

【分析】

(1)利用向量共線定理即可求解.

(2)利用向量數(shù)量積的定義:小3=耶際(￡,今可得數(shù)量積，再將歸+,平方可求模.

(3)利用向量數(shù)量積即可夾角余弦值.

【詳解】

(1)若左。+2坂與3a+4分共線,

貝U存在2,使得左￡+2石=4(31+4石)

即(左一34)1+(2—4/1)3=。，

又因為向量日與B不共線，

fL=i

k—3/l=023

所以c-7解得；■所以％=3.

2-42=0,32

(2)ab=

^a+t^=ya~+2a-b+b~=19-12+8=V5-

a+ab_9-t)_y/5

)

(3)cos(a,a+b=麗+曠法=行

重難點突破三平面向量的的綜合應(yīng)用

1.向量在平面幾何中的應(yīng)用

⑴用向量解決常見平面幾何問題的技巧:

問題類型所用知識公式表示

a//ga-腔一小度=0,

線平行、點共線等問

共線向量定理其中J4),b=(X2,謁，

題

b關(guān)0

al.gab=0<=>為&+34及=0,

垂直問題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)其中a=(M,yi),b=(xz,%),且

a,b為非零向量

ab

cos6=百而(6為向量a.b的夾

夾角問題數(shù)量積的定義

角)，其中a,6為非零向量

\a\=yp=yjx+y,

長度問題數(shù)量積的定義

其中a=(x,必，a為非零向量

(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟

平面幾何問題里曳3向量問題」邁解決向量問題學(xué)區(qū)解決幾何問題。

例5.(1)(2021?黑龍江佳木斯市?佳木斯一中(理))已知同=1,忖=&,且則向量1

在B方向上的投影為

1V2

A.——B.—cD

22-12

【答案】D

【分析】

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可求萬.5,再根據(jù)定義即可求解

【詳解】

解：由日,(G+5)得，a-(a+h)=Q,

:.a2+ab=0

：,ab=一1，

a-b_G?b__1_也

向量萬在5方向上的投影為同cos。=\a\-麗二丁正故選z>

【點睛】

本題考查了平面向量的數(shù)量積的定義，運(yùn)算及投影的概念，屬于基礎(chǔ)題.

（2）.（2021?烏魯木齊市第四中學(xué)高一期末）若向量送=（0,-2）,n=（A1）,則與2而+3共線的向量

可以是（）

A.（百,-1）B.（-1,73）C.（-73,-1）D.（-1,-73）

【答案】B

【分析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量2沅+萬，然后利用向量平行的條件判斷即可.

【詳解】

,.1桃=（0,—2）,萬=（6,1）

/.2m+n=（百,一3）

卜1,網(wǎng)=一點（"一3）

故選B

【點睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定，屬于基礎(chǔ)題，在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對應(yīng)，縱坐標(biāo)與縱

坐標(biāo)對應(yīng),切不可錯位.

（3）.（2020?寧夏高三月考（文））已知向量M=（4,—7）石=（3,T）,則萬—2方在日方向上的投影為

A.2B.-2C.一2舊D.275

【答案】B

【分析】

先得到；2%,計算出i2）與坂的夾角余弦值，和：-2%的模長，再由模長乘夾角余弦值，得到投影.

【詳解】

?.?￡=（4,-7）,5=（3,-4）

:.a-2b=(-2,1y口_20=J(_2j+1=有

(a-2^)-^=-2x3+lx(-4)=-10

!!（a-2b\b一］02\/5

設(shè)〃一2。與B的夾角為夕貝ijcose=yr：--j-pj-=—）=—=——

卜-2。卜網(wǎng)v5x55

???所求的；一2方在分方向上的投影為忖一24以九6=石、一半］=—2

故選B項.

【點睛】

考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量在某個方向上的投影的求法，屬于簡單題.

-1ff|->

【變式訓(xùn)練5-1】.（2021?江蘇高三專題練習(xí)）如圖，在AABC中，AD=-AB,AE^-AC,BE和

42

CO相交于點/，則向量/等于（）

I->3f

B.-AB+-AC

77

]T3-

—AB+—AC

1414

【答案】B

【分析】

過點/分別作EW//A3交AC于點”.作F7V//AC交A3于點N,由平行線得出三角形相似，得出

T1->->1—>—>Q—>—>1->

線段成比例，結(jié)合AO=-AB.AE^-AC,證出AM==AC和AN=-AB,最后由平面向量基本

4277

定理和向量的加法法則，即可得幾和AC表示

【詳解】

解：過點尸分別作EM//AB交AC于點/，作FN//AC交AB于點N,

T1->->1f

已知AD=—AB,AE=-AC,

42

-,-FN//AC,則AA/FE?△ABE和AMC/?△AC。，

?MFMEoMFMC

貝n卜----=----且----=----

ABAEADAC

.MF_MC

即：弁#27=聾且了正,所以板2ME-MC

4___

ABA。4AS布=正

AC

3

則：MC=SME,所以AM=—AC,

7

T3T

解得：AM=-AC,

7

同理KM//AR4NBF-AABE和4NFD?△ACO

n?NFNB°NFND

AEABACAD

NFNBNFND1

-------=----------=--------NR

即：1“A3且AC所以即4ND、

—AC—AB----=--2-----=-------

24ACABAB

則：NB=8ND、即AB_A7V=8（AD_?W）,

所以AB—AN=8（；AB—AN）,即AB—/W=2/W—8/W，

得：AN=-AB.

7

解得：AN^-AB,

7

???四邊形AMFN是平行四邊形，

???由向量加法法則,得AA=A^+AIT

t1f3f

所以A/=—AB+—AC.

77

故選：B.

【點睛】

本題考查平面向量的線性運(yùn)算、向量的加法法則和平面向量的基本定理，考查運(yùn)算能力.

【變式訓(xùn)練5-2】.（2019?贛州中學(xué)高三期中（理））已知。為AA6c的外心，其外接圓半徑為1,且

前=彳反5+〃型.若NABC=60°,則義+〃的最大值為

【答案】|

【解析】

以。為原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖

3=60°

.-.ZAOC=120°

設(shè)A(l,0),C(g,#),B(x,y),則麗=(l-x,-y),肥=(-T7，￥-巧,麗=(-乂7)

BO=ABA+^BC

[21

f1//

—勺+x)=TX=

??.\r,解得r

1小、A/3

-2y+〃(虧一y)=-y彳〃

，，y=--乙---

4+〃一1

?/B在圓上，代入

(2-^//)2+(^y//)2=(2+//-1)2

即中=2(力了)-1?弓與2

；(2+〃)2_g(4+〃)+gz0

292

解得/L+〃W§或X+(舍去)故最大值為],故填

7T

【變式訓(xùn)練5-3】?(2021?浙江高二期末)如圖，已知P是半徑為2,圓心角為一的一段圓弧AB上一點,

3

通=2比，則定?中的最小值為.

AB

【答案】5-2>/13

【分析】

..,21*2?29

設(shè)圓心為。AB中點為D,先求出——AC=PM一一,再求PM的最小值得解.

44

【詳解】

設(shè)圓心為QAB中點為D,

TT

由題得AB=2-2-sin-=2,r.AC=3.

6

…一，PA+PC=2PM

取AC中點M,由題得《一—一.

PC-PA=AC

兩方程平方相減得PC-PA=PM2--AC2=PM'--,

44

要使PCS/M取最小值，就是PM最小，

當(dāng)圓弧AB的圓心與點P、M共線時，PM最小.

此時DM=DM=J(g)2+療=',

所以PM有最小值為2-恒，

2

代入求得定.⑸的最小值為5-2屈.

故答案為5-2而

【點睛】

本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查平面向量的數(shù)量積及其最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌

握水平和分析推理能力.

重難點突破四平面向量與三角的“五心”

例6.（1）（2020?全國高三專題練習(xí)）。是平面a上一定點AB,C是平面a上△ABC的三個頂點,

ZB,NC分別是邊AC,A3的對角.以下命題正確的是.（寫出所有正確命題的序號）

①動點P滿足爐=函+而+前，則AAbC的外心一定在滿足條件P點集合中；

②動點尸滿足。。=。4+/1則△ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點集合中；

③動點P滿足。戶=OA+2（/1>0）,則△ABC的重心一定在滿足條件的P點

7

集合中；

(—

ABAC1

④動點P滿足歷=礪+丸（A>0）,則AABC的垂心一定在滿足條件的P點

cosBIACICOSC

7

集合中.

【答案】234

【分析】

根據(jù)△AHC的外，1>、內(nèi)心、重心、垂心分別是三邊中垂線的交點、角平分線的交點、中線的交點、高的

交點，這些幾何特征與向量建立聯(lián)系，進(jìn)而判斷每個命題的正誤。

【詳解】

對于1.由麗=蘇+方+正知蘇+而+定=6，故點「是443。的重心，故1錯；對于2,由

ABAC知"—P［同AB御AC"為國A與B國AC

OP^OA+A、網(wǎng)同分別表示AB與AC方向上的

單位向量，故A尸平分44C,因此△A8C的內(nèi)心一定在滿足條件的P點集合中，故2正確；

AC,

AC

^a由CP—044-2石丁江n4P—J

XJj0,出U廠—C/rl十AaJ大口人——人在AABC

ABsinBACsinCABsin8ACsinC

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—**—*2./—?\24.

中，由于A8sin3=ACsinC,均表示8c邊上的高〃，故AP=-A8+AC=—AO(其中。為

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5c的中點），即AP在邊的中線所在的直線上，因此△A8C的重心一定在滿足條件的尸點集合中,

故3正確；

所以而?元=（）,即AP_LBC因此AABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中，

故4正確.

綜上所述，故填：②③④。

【點睛】

本題考查三角形中重心、內(nèi)心、外心、垂心的向量表達(dá)形式，考查向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對邏輯

推理能力和運(yùn)算求解能力要求較高。

（2）.（2021?山東高三專題練習(xí)）點MN,。在AABC所在平面內(nèi)，滿足加+訕+碇=0，

|M4|=|A?|=|7VC|,且麗.麗=產(chǎn)區(qū)尸仁=定.中，則股、N、2依次是AA5c的（）

A.重心，外心，內(nèi)心B.重心，外心，垂心

C.外心，重心，內(nèi)心D.外心，重心，垂心

【答案】B

【分析】

由三角形五心的性質(zhì)即可判斷出答案.

【詳解】

：VMA+MB+MC-6-MA+MB=-MC.

設(shè)A3的中點。,則磁+福=2礪，

：.C,M,。三點共線，即"為AA3C的中線CO上的點，且MC=2MD.

為AABC的重心.

■.]NA\^NB\^NC\,

.[M4HN8HNCI,

.?.N為AABC的外心；

PA-PB=PB?PC

PB?(PA-PC)=O,

即方&=0，PB1.AC

同理可得：Q4L3C,PC±AB

r.P為AABC的垂心；

故選：B

【點睛】

本題考查了三角形五心的性質(zhì)，平面向量的線性運(yùn)算的幾何意義，屬于中檔題.

【變式訓(xùn)練6-1】?（2021?上海高一課時練習(xí)）已知O,N,P在AA8C所在平面內(nèi)，且

|（?A|=|OB|=^OC\,NA+NB+NC=0,且麗?麗=麗?正=正?西，則點0,N,P依次是

AABC的

（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）

A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心

C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心

【答案】C

【詳解】

試題分析：因為|礪|=|礪|=|花卜所以0到定點A8,C的距離相等，所以0為AABC的外心，由

法+礪+汨=（），則麗+而=一配，取的中點E,則麗+麗=一2詬=西.所以

2|7VE|=|Ov|,所以N是AABC的重心；由序?而=麗.前=月?⑸，得（再i—定）?而=（）.即

衣?麗=0，所以4CLPB,同理ABJ.PC,所以點P為AABC的垂心，故選C.

考點：向量在幾何中的應(yīng)用.

【變式訓(xùn)練6-2】.（2020,衡水市第十四中學(xué)高一月考）已知點尸是AABC所在平面內(nèi)一點，且滿足

一-^BAC

Q=/l（7=i—-+ra—-）（＞teR）,則直線Ap必經(jīng)過ZVLBC的

ABcosBACcosC

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】D

【分析】

兩邊同乘以向量方，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得衣.配=0從而得到結(jié)論.

【詳解】

|AB|COSB|AC|COSCJ

兩邊同乘以向量死得.?.而，覺

法（1,揚(yáng)

即點P在BC邊的高線上，所以P的軌跡過△ABC的垂心,

故選D.

【點睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義，屬中檔題

【變式訓(xùn)練6-3】.（2020?臨猗縣臨晉中學(xué)高一開學(xué)考試）。為AABC所在平面上動點，點P滿足

OP=OA+A普+笛，4e[0,+o）），則射線AP過AABC的

U明時

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】

將"二次+"湍r器卜形為篇+器,ToAC

因為不和心、的模長都是L根

|AB||AC|

據(jù)平行四邊形法則可得，過三角形的內(nèi)心.

【詳解】

?/OP=0A+2+

/______、

:.OP-OA=AP=^普+至

ABAC\)

~ARAC

因為擊和a分別是而和恁的單位向量

"I\AC\

AfiATT?Ar

所以是以后和為鄰邊的平行四邊形的角平分線對應(yīng)的向量

\AB\\AC\IAB|\AC\

所