2025屆廣東省高三畢業(yè)班調(diào)研考試（一）數(shù)學試卷（含答案解析）

2025屆廣東省普通高中畢業(yè)班調(diào)研考試（一）數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式求得集合，進而求得.【詳解】集合.而，故.故選：B2.已知，是兩個虛數(shù)，則“，均為純虛數(shù)”是“為實數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】設(shè)且,可得，如，可得結(jié)論.【詳解】若均為純虛數(shù)，設(shè)且,則，所以“均為純虛數(shù)”是是實數(shù)充分條件，當，，所以“均為純虛數(shù)”是是實數(shù)的不必要條件，綜上所述：“均為純虛數(shù)”是是實數(shù)的充分不必要條件.故選：A.3.已知和的夾角為，且，則（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角和差公式以及倍角公式化簡求值可得答案.【詳解】由題干得所以，故選：B.5.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，.記分別為數(shù)列的前項和，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式求解q的值，再由數(shù)列的單調(diào)性進一步判斷即可.【詳解】，則.由于an為遞增數(shù)列，則，所以an的通項公式為所以，故選：C.6.已知體積為的球與正四棱錐的底面和4個側(cè)面均相切，已知正四棱錐的底面邊長為.則該正四棱錐體積值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，為底面中心，取的中點，設(shè)點在側(cè)面上的投影為點，則點在上，利用求出球心到四棱錐頂點的距離，再由棱錐的體積公式計算可得答案.【詳解】設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，為底面中心，由體積為得，連接，平面，球心在上，，取的中點，連接，設(shè)點在側(cè)面上的投影為點，則點在上，且，，球心到四棱錐頂點的距離為，所以，，解得，所以.故選：A.7.斐波那契數(shù)列因數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義：設(shè)為斐波那契數(shù)列，，其通項公式為，設(shè)是的正整數(shù)解，則的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】利用給定條件結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造，兩側(cè)同時平方求最值即可.【詳解】由題知是的正整數(shù)解，故，取指數(shù)得，同除得，，故，即，根據(jù)是遞增數(shù)列可以得到也是遞增數(shù)列，于是原不等式轉(zhuǎn)化為.而可以得到滿足要求的的最大值為5，故A正確.故選：A8.函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用參變分離將函數(shù)圖象有兩個交點問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個交點，由導數(shù)求得hx的單調(diào)性并求得最大值即可得出結(jié)論.【詳解】由得，則問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個交點，而，令h′x>0，解得，令h′故hx在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，hx結(jié)合圖象可知，的取值范圍是故選：D二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.現(xiàn)有十個點的坐標為，它們分別與關(guān)于點對稱.已知的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，極差為，則這組數(shù)滿足（）A.平均數(shù)為 B.中位數(shù)為C.方差為 D.極差為【答案】ABCD【解析】【分析】根據(jù)對稱知識可得，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的性質(zhì)，即可判斷出答案.【詳解】由于，它們分別與關(guān)于點對稱，則有，即有.則由平均數(shù)的性質(zhì)可得這組數(shù)的平均數(shù)為，結(jié)合中位數(shù)性質(zhì)可知中位數(shù)為，結(jié)合方差性質(zhì)可得方差為，極差非負，所以極差為.故選：ABCD10.設(shè)是非零復數(shù)，則下列選項正確的是（）A.B.C.若，則最小值為3D.若，則的最小值為.【答案】CD【解析】【分析】利用共軛復數(shù)的概念和加減運算性質(zhì)判斷A，舉反例判斷B，利用復數(shù)模的性質(zhì)得到軌跡方程，結(jié)合圓的性質(zhì)判斷C，利用復數(shù)模的性質(zhì)得到軌跡方程，結(jié)合橢圓的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】對于A.，設(shè)，則，所以，，當有1個為0或全為0時，，當均不為0時，無法比較大小，故錯誤，對于B，當，時，，此時，，故不成立，故錯誤，對于C，設(shè)，因為，所以，故有，可得,所以的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，而，故表示點到定點的距離，由圓的性質(zhì)可知，，故C正確，對于D，設(shè)，所以，，而，故，所以得到點到兩定點，的距離之和為4，故的軌跡是以，為焦點的橢圓，故軌跡方程為，而表示到原點的距離，由橢圓的幾何性質(zhì)可得當點在橢圓的左右頂點時，取得最小值，此時，故，則D正確.故選：.11.已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不間斷，當，且當x>0時，，則下列說法正確的是（）A.B.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C.若，則D.若是在內(nèi)的兩個零點，且，則【答案】ACD【解析】【分析】選項，令x=0，可求；選項，對兩邊求導，結(jié)合得，，可判斷單調(diào)性；C選項，的大小關(guān)系進行分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性，證明不等式；D選項，證明，利用函數(shù)單調(diào)性，證明且，可得結(jié)論.【詳解】選項，令x=0，則有，所以，故正確.選項，對兩邊求導，得，所以，代入，得當x>0時，，所以.又因為，所以，.因此，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增.故錯誤.C選項，對的大小關(guān)系進行分類討論：①當時，在上單調(diào)遞減，所以，顯然有；②當時，在上單調(diào)遞增，不符合題意；③當時，當時，.令，又因為，所以，因此.因為，由的單調(diào)性得，.故C正確.選項，因為，所以.先證，即證，即，只需證，即證.事實上，，因此得證.此時有.因為，又，所以，因為，又，所以.綜上，，故D正確故選：ACD.【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．證明不等式，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.三、填空題：本題共3題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列的首項，公差，求第10項的值為__.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得正確答案.【詳解】依題意.故答案為：13.若，則____________.【答案】【解析】【分析】利用賦值法令，，聯(lián)立方程組求解即可.【詳解】令，得，令，得，則，且，故.故答案為：.14.如圖，在矩形中，分別是矩形四條邊的中點，點在直線上，點在直線上，，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為_______________.【答案】【解析】【分析】以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，求出直線的方程與直線的方程，聯(lián)立求解即可.【詳解】以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系.因為，所以，所以，又因為，所以，所以.因為，所以直線的方程為①，因為，所以直線的方程為②.由①可得，代入②化簡可得，結(jié)合圖象易知點可到達，但不可到達，所以點的軌跡方程為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在△中，角的對邊分別為，已知（1）求;（2）若分別為邊上的中點，為的重心，求的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)二倍角公式將已知條件變形轉(zhuǎn)化，再根據(jù)正弦定理邊角互化，帶入到余弦定理即可求得；(2)根據(jù)已知設(shè)，表達出，再根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以，即由正弦定理得，由余弦定理得，因為【小問2詳解】設(shè)，依題意可得所以所以.16.設(shè)兩點的坐標分別為.直線相交于點，且它們的斜率之積是.設(shè)點的軌跡方程為.（1）求;（2）不經(jīng)過點的直線與曲線相交于、兩點，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)點的坐標為，然后表示出直線的斜率，再由它們的斜率之積是，列方程化簡可得點的軌跡方程；（2）設(shè)，當直線斜率不存在時，求得直線為0，當直線斜率存在時，設(shè)直線，由得，將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入上式化簡可得，從而可求得直線恒過的定點.【小問1詳解】設(shè)點的坐標為，因為點的坐標是，所以直線的斜率，同理，直線的斜率，由已知，有，化簡，得點的軌跡方程為，即點的軌跡是除去兩點的橢圓.【小問2詳解】證明：設(shè)①當直線斜率不存在時，可知，且有，解得，此時直線為0，②當直線斜率存在時，設(shè)直線，則此時有：聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去可得：，根據(jù)韋達定理可得：，，所以，所以，所以所以，則或，當時，則直線恒過點與題意不符，舍去，故，直線恒過原點，結(jié)合①，②可知，直線恒過原點，原命題得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中直線過定點問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知條件求解，考查計算能力，屬于較難題.17.如圖所示，四邊形是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線，是與BD的交點，.（1）記圓柱的體積為，四棱錐的體積為，求；（2）設(shè)點在線段上，且存在一個正整數(shù)，使得，若已知平面與平面的夾角的正弦值為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用圓柱以及棱錐的體積公式，即可求得答案.（2）建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點坐標，利用空間角的向量求法，結(jié)合平面與平面的夾角的正弦值，即可求得答案.【小問1詳解】在底面中，因為是底面直徑，所以，又，故≌，所以.因為是圓柱的母線，所以面，所以，,因此；【小問2詳解】以為坐標原點，以為軸正方向，在底面內(nèi)過點C作平面的垂直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以≌，故，所以，，因此，，因為，所以，則設(shè)平面和平面的法向量分別為，則有:，，取，設(shè)平面與平面的夾角為，則所以有：，整理得，（無解，舍），由于k為正整數(shù)，解得.18.已知函數(shù)，（1）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，試求；（2）證明；（3）設(shè)是的根，則證明：曲線在點處的切線也是曲線的切線.【答案】（1）.（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由，得，再利用換元法求；（2）分區(qū)間討論各因式的符號或利用導數(shù)證明；（3）取曲線上的一點，設(shè)在處的切線即是在處的切線，證明直線的斜率等于在處的切線斜率和在處的切線斜率即可.【小問1詳解】因為的圖象與的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，所以.又因，所以，令，則，所以，因此.【小問2詳解】證明：解法1：當時，且，此時；當時，且，此時，故綜上.解法2：，令，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，因此當時，；當；因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.【小問3詳解】證明：不妨取曲線上的一點，設(shè)在處的切線即是在處的切線，則，得，則的坐標，由于，所以，則有，綜上可知，直線的斜率等于在處的切線斜率和在處的切線斜率，所以直線AB既是曲線在點處的切線也是曲線的切線.19.如果函數(shù)Fx的導數(shù)為，可記為，若，則表示曲線y=f(x)，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積.如：，其中為常數(shù)；，則表及軸圍成圖形面積為4.（1）若，求的表達式；（2）求曲線與直線所圍成圖形的面積；（3）若，其中，對，若，都滿足，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義及計算得解；（2）根據(jù)新定義，構(gòu)造函數(shù)即可得出面