2023屆甘肅省武威市高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)_第1頁
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高考模擬試題PAGEPAGE1武威市教育局第一次高三聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)第Ⅰ卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗解不等式求出集合,得到,再根據(jù)交集定義計算即可.〖詳析〗由得,,得.故選:B.2.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,再結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求.〖詳析〗因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,所以,所以.故選:D.3.在中,,則的范圍是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由余弦定理可得表達(dá)式,結(jié)合可得〖答案〗.〖詳析〗,因為,所以.又,所以的范圍是.故選:B4.某算法的程序框圖如圖所示,則該算法的功能是()A.計算 B.計算C.計算 D.計算〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗按流程圖順序計算可得結(jié)果.〖詳析〗初始值;第1次循環(huán),;第2次循環(huán),;第3次循環(huán),,;第4次循環(huán),,此時,跳出循環(huán),輸出.故選:A5.若,則()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先由誘導(dǎo)公式求出的值,再利用拆分角求得結(jié)果.〖詳析〗由,得.故選:C.6.若,滿足約束條件,則下列目標(biāo)函數(shù)中最大值為的是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗畫出可行域,求目標(biāo)函數(shù)的最大值,從而求得正確〖答案〗.〖詳析〗由解得,設(shè),畫出可行域如下圖所示,由圖可知,目標(biāo)函數(shù)在點處取得最大值,所以的最大值為.故選:B7.在正四棱柱中,是的中點,,則與平面所成角的正弦值為()A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)線面角定義,先證明為與平面所成的角,再根據(jù)題設(shè)條件求出利用正弦的定義即可求解.〖詳析〗依題意,可得如圖:設(shè)底面的中心為,易得平面,平面,所以,又,,平面,所以平面,取的中點,連接,則,所以平面,連接,則為與平面所成的角.因為,所以.所以.故選:A.8.隨著新能源技術(shù)的發(fā)展,新能源汽車行業(yè)也迎來了巨大的商機(jī).某新能源汽車加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車每年需要固定投入100萬元,此外每生產(chǎn)x輛該汽車另需增加投資g(x)萬元,當(dāng)該款汽車年產(chǎn)量低于400輛時,,當(dāng)年產(chǎn)量不低于400輛時,,該款汽車售價為每輛15萬元,且生產(chǎn)的汽車均能售完,則該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為()A.1500萬元 B.2100萬元 C.2200萬元 D.3800萬元〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先表示利潤函數(shù),利潤等于銷售收入減去投資和固定投入100萬元,再分別利用二次函數(shù)、均值不等式求最值.〖詳析〗設(shè)該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的年利潤為(萬元),由題意可知,,即,當(dāng)時,的對稱軸,則;當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最大值2200.綜上,該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為2200萬元.故選:C.9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,若在上恰有2個零點,則的取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得,由得,由在上恰有2個零點,得,即可解決.〖詳析〗由題可知,,先將函數(shù)圖象向右平移個單位長度,得,再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標(biāo)不變,得,當(dāng)時,,因為在上恰有2個零點,所以,解得所以的取值范圍為,故選:B10.已知正三角形的邊長為6,,,且,則點到直線距離的最大值為()A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由結(jié)合得出點在線段上運(yùn)動,進(jìn)而得出點到直線距離的最大值.〖詳析〗因為,所以,所以.如圖,設(shè),,則.因為,,所以點在線段上運(yùn)動,顯然,當(dāng)點與點重合時,點到直線的距離取得最大值.故選:D11.已知是離心率為的雙曲線的右支上一點,則到直線的距離與到點的距離之和的最小值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由雙曲線的定義,將點到左焦點的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點的距離,再求右焦點到直線的距離,進(jìn)而得出結(jié)果.〖詳析〗已知雙曲線,可知,則,所以,分別為的左、右焦點,則,即,設(shè)到直線的距離為,到直線的距離為,且,則.故選:A.12.若函數(shù)有兩個極值點,,且,則取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)有兩個極值點,,由在上有兩個不等實根,求得a的范圍,進(jìn)而再根據(jù),得到的范圍,再由,得到,利用導(dǎo)數(shù)法求解.〖詳析〗因為,所以,令,因為函數(shù)有兩個極值點,,所以函數(shù)在上有兩個不等實根,則,解得,因為,且,,所以,且,所以,.令函數(shù),,則在上恒成立,故在上單調(diào)遞增,則,即的取值范圍為.故選:A〖『點石成金』〗關(guān)鍵『點石成金』:本題關(guān)鍵是根據(jù)題意,由在上有兩個不等實根,求得a的范圍,進(jìn)而再根據(jù),得到的范圍而得解.第Ⅱ卷二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把〖答案〗填在答題卡的相應(yīng)位置.13.已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為,,該圓臺的體積為,則該圓臺的高為______.〖答案〗3〖解析〗〖祥解〗由圓臺的體積公式直接求得.〖詳析〗圓臺的體積,得.所以該圓臺的高為3.故〖答案〗為:3.14.將8個人分成三組,其中一組由2人組成,另外兩組都由3人組成,則不同的分組方法種數(shù)為______.〖答案〗280〖解析〗〖祥解〗組合問題中既有均分又有非均分,先從8個人中選出3人為一組,再從5人中選出3人為一組,注意均分分組中的順序問題,剩余兩人為一組.〖詳析〗先從8個人中選出3人為一組,再從5人中選出3人為一組,剩余兩人為一組.滿足條件的分組方法種數(shù)為.故〖答案〗為:280.15.定義在上的奇函數(shù)滿足,當(dāng)時,,則__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由題可得,周期為4,據(jù)此可得〖答案〗.〖詳析〗因為是定義在上的奇函數(shù),所以,解得.又,所以,則,即是以4為周期的周期函數(shù),故.故〖答案〗為:.16.為橢圓上一點,曲線與坐標(biāo)軸的交點為,,,,若,則到軸的距離為__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗首先表示出,,,的坐標(biāo),依題意可得,即可得到為橢圓上一點,聯(lián)立兩橢圓方程,求出,即可得解.〖詳析〗解:不妨設(shè),,,,則,為橢圓的焦點,所以,又,所以,且,所以在以、為焦點的橢圓上,且,所以,所以為橢圓上一點,由,解得,則,故到軸的距離為.故〖答案〗為:三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,已知,且.(1)求的通項公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,證明:當(dāng)時,.〖答案〗(1)(2)證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式列式求,即可得結(jié)果;(2)利用分組求和可求得,再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明.〖小問1詳析〗設(shè)數(shù)列的公比為,∵,則,解得,故.〖小問2詳析〗由(1)知,所以∵在上單調(diào)遞增,則數(shù)列為遞增數(shù)列,∴當(dāng)時,,故當(dāng)時,.18.為了豐富大學(xué)生的課外生活,某高校團(tuán)委組織了有獎猜謎知識競賽,共有名學(xué)生參加,隨機(jī)抽取了名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將其整理后分成組,各組區(qū)間為,,,,并畫出如圖所示的頻率分布直方圖(1)估計所有參賽學(xué)生的平均成績各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表;(2)若團(tuán)委決定對所有參賽學(xué)生中成績排在前名的學(xué)生進(jìn)行表彰,估計獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線(3)以這名學(xué)生成績不低于分的頻率為概率,從參賽的名學(xué)生中隨機(jī)選名,其中參賽學(xué)生成績不低于分的人數(shù)記為,求的方差〖答案〗(1)分(2)分(3)〖解析〗〖祥解〗(1)利用頻率分布直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,求出,再求出這名參賽學(xué)生的平均成績,由此估計出所有參賽學(xué)生的平均成績;(2)求出可以獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率,設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為,根據(jù)條件建立關(guān)于的方程求解即可;(3)根據(jù)條件,可知,然后由方差公式求解即可.〖小問1詳析〗由,得這名參賽學(xué)生的平均成績約為分,故估計所有參賽學(xué)生的平均成績?yōu)榉帧夹?詳析〗獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率為,設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為,由分?jǐn)?shù)在區(qū)間的頻率為,可知,由,得,故估計獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為分〖小問3詳析〗這名學(xué)生成績不低于分的頻率為,由題意,可知,故19.如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,,,,,,是棱的中點.(1)證明:平面;(2)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值的最大值.〖答案〗(1)證明見〖解析〗(2)〖解析〗〖祥解〗(1)由線面垂直判定可證得平面,進(jìn)而得到;利用勾股定理和線面垂直的判定得到平面,從而得到;利用勾股定理可證得,由此可得結(jié)論;(2)以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由二面角的向量求法可求得,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最大值.〖小問1詳析〗連接,,,,又,,為棱中點,,又,,平面,平面,又平面,;在直角梯形中,取中點,連接,,,又,,,四邊形為正方形,,,,又,,,,平面,平面,平面,;,,,,又,平面,平面.〖小問2詳析〗以為坐標(biāo)原點,正方向為軸,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,,,;,,;設(shè)平面的法向量為,則,令,解得:,,;軸平面,平面的一個法向量,設(shè)平面與平面所成的銳二面角為,則當(dāng)時,,,即平面與平面所成的銳二面角余弦值的最大值為.20.已知直線與拋物線交于,兩點,且(1)求的方程(2)若直線與交于兩點,點與點關(guān)于軸對稱,試問直線是否過定點?若過定點,求定點的坐標(biāo);若不過定點,說明理由〖答案〗(1)(2)過定點,〖解析〗〖祥解〗(1)聯(lián)立直線與拋物線,寫出根與系數(shù)關(guān)系,化簡已知條件來求得,進(jìn)而求得拋物線的方程.(2)連值直線拋物線,寫出根與系數(shù)關(guān)系,求得直線的方程,并求出定點的坐標(biāo).〖小問1詳析〗將代入,得,則,則,解得,故的方程為〖小問2詳析〗設(shè),則,聯(lián)立方程組,整理得,則,所以,因此直線的方程為,整理得,即,當(dāng)時,,故直線過定點.21.已知函數(shù).(1)求在上的極值;(2)若,求的最小值.〖答案〗(1)為極小值,無極大值.(2)〖解析〗〖祥解〗(1)求導(dǎo)后,借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性,借助單調(diào)性分析極值的情況;(2)令,令,設(shè),再借助導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性,分析原函數(shù)的單調(diào)性確定極值,再反推的單調(diào)性,判斷極大值情況.〖小問1詳析〗,令,得,在為負(fù),單調(diào)遞減,在為正,單調(diào)遞增,故為極小值,無極大值.〖小問2詳析〗由題知,令,令,則,設(shè)則,,為正,在單調(diào)遞增,,為負(fù),在單調(diào)遞減,故為極大值,若,即,此時,則在單調(diào)遞減,又,所以時,在單調(diào)遞增,時,,在單調(diào)遞減,故為極大值,所以,則當(dāng)時,符合條件;,即此時,存在,在上;,則在單調(diào)遞增,又,則在區(qū)間上所以在區(qū)間上,單調(diào)遞減,則,不滿足條件.綜上所述的最小值為.(二)選考題:共10分.請考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一個題目計分.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)過曲線上任意一點作與直線的夾角為45°的直線,且與交于點,求的最小值.〖答案〗(1)曲線的普通方程為;直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)〖解析〗〖祥解〗(1)對曲線的參數(shù)方程消去參數(shù),可得曲線的普通方程;將代入的極坐標(biāo)方程中,可得直線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè),利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.〖小問1詳析〗曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),由,消去參數(shù),可得曲線的普通方程為.將代入直線極坐標(biāo)方程中,可得直線的直角坐標(biāo)方程為.〖小問2詳析〗設(shè),則點到的距離其中.因為過點的直線與的夾角為45°,所以,故的最小值為.選修4-5:不等式選講23.已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)設(shè)函數(shù)的最大值為,若正數(shù),滿足,求的最小值.〖答案〗(1)(2)〖解析〗〖祥解〗(1)對分,及討論去掉絕對值號解不等式即可;(2)由絕對值不等式性質(zhì)可知,再利用基本不等式求最值即可.〖小問1詳析〗依題意,當(dāng)時,不等式轉(zhuǎn)化為,解得.當(dāng)時,不等式轉(zhuǎn)化為,解得.當(dāng)時,不等式轉(zhuǎn)化為,解得.綜上所述,不等式的解集為.〖小問2詳析〗由(1)得,,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng),時,等號成立,故的最小值為.

高考模擬試題PAGEPAGE1武威市教育局第一次高三聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)第Ⅰ卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗解不等式求出集合,得到,再根據(jù)交集定義計算即可.〖詳析〗由得,,得.故選:B.2.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,再結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求.〖詳析〗因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,所以,所以.故選:D.3.在中,,則的范圍是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由余弦定理可得表達(dá)式,結(jié)合可得〖答案〗.〖詳析〗,因為,所以.又,所以的范圍是.故選:B4.某算法的程序框圖如圖所示,則該算法的功能是()A.計算 B.計算C.計算 D.計算〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗按流程圖順序計算可得結(jié)果.〖詳析〗初始值;第1次循環(huán),;第2次循環(huán),;第3次循環(huán),,;第4次循環(huán),,此時,跳出循環(huán),輸出.故選:A5.若,則()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先由誘導(dǎo)公式求出的值,再利用拆分角求得結(jié)果.〖詳析〗由,得.故選:C.6.若,滿足約束條件,則下列目標(biāo)函數(shù)中最大值為的是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗畫出可行域,求目標(biāo)函數(shù)的最大值,從而求得正確〖答案〗.〖詳析〗由解得,設(shè),畫出可行域如下圖所示,由圖可知,目標(biāo)函數(shù)在點處取得最大值,所以的最大值為.故選:B7.在正四棱柱中,是的中點,,則與平面所成角的正弦值為()A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)線面角定義,先證明為與平面所成的角,再根據(jù)題設(shè)條件求出利用正弦的定義即可求解.〖詳析〗依題意,可得如圖:設(shè)底面的中心為,易得平面,平面,所以,又,,平面,所以平面,取的中點,連接,則,所以平面,連接,則為與平面所成的角.因為,所以.所以.故選:A.8.隨著新能源技術(shù)的發(fā)展,新能源汽車行業(yè)也迎來了巨大的商機(jī).某新能源汽車加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車每年需要固定投入100萬元,此外每生產(chǎn)x輛該汽車另需增加投資g(x)萬元,當(dāng)該款汽車年產(chǎn)量低于400輛時,,當(dāng)年產(chǎn)量不低于400輛時,,該款汽車售價為每輛15萬元,且生產(chǎn)的汽車均能售完,則該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為()A.1500萬元 B.2100萬元 C.2200萬元 D.3800萬元〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先表示利潤函數(shù),利潤等于銷售收入減去投資和固定投入100萬元,再分別利用二次函數(shù)、均值不等式求最值.〖詳析〗設(shè)該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的年利潤為(萬元),由題意可知,,即,當(dāng)時,的對稱軸,則;當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最大值2200.綜上,該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為2200萬元.故選:C.9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,若在上恰有2個零點,則的取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得,由得,由在上恰有2個零點,得,即可解決.〖詳析〗由題可知,,先將函數(shù)圖象向右平移個單位長度,得,再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變,得,當(dāng)時,,因為在上恰有2個零點,所以,解得所以的取值范圍為,故選:B10.已知正三角形的邊長為6,,,且,則點到直線距離的最大值為()A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由結(jié)合得出點在線段上運(yùn)動,進(jìn)而得出點到直線距離的最大值.〖詳析〗因為,所以,所以.如圖,設(shè),,則.因為,,所以點在線段上運(yùn)動,顯然,當(dāng)點與點重合時,點到直線的距離取得最大值.故選:D11.已知是離心率為的雙曲線的右支上一點,則到直線的距離與到點的距離之和的最小值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由雙曲線的定義,將點到左焦點的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點的距離,再求右焦點到直線的距離,進(jìn)而得出結(jié)果.〖詳析〗已知雙曲線,可知,則,所以,分別為的左、右焦點,則,即,設(shè)到直線的距離為,到直線的距離為,且,則.故選:A.12.若函數(shù)有兩個極值點,,且,則取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)有兩個極值點,,由在上有兩個不等實根,求得a的范圍,進(jìn)而再根據(jù),得到的范圍,再由,得到,利用導(dǎo)數(shù)法求解.〖詳析〗因為,所以,令,因為函數(shù)有兩個極值點,,所以函數(shù)在上有兩個不等實根,則,解得,因為,且,,所以,且,所以,.令函數(shù),,則在上恒成立,故在上單調(diào)遞增,則,即的取值范圍為.故選:A〖『點石成金』〗關(guān)鍵『點石成金』:本題關(guān)鍵是根據(jù)題意,由在上有兩個不等實根,求得a的范圍,進(jìn)而再根據(jù),得到的范圍而得解.第Ⅱ卷二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把〖答案〗填在答題卡的相應(yīng)位置.13.已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為,,該圓臺的體積為,則該圓臺的高為______.〖答案〗3〖解析〗〖祥解〗由圓臺的體積公式直接求得.〖詳析〗圓臺的體積,得.所以該圓臺的高為3.故〖答案〗為:3.14.將8個人分成三組,其中一組由2人組成,另外兩組都由3人組成,則不同的分組方法種數(shù)為______.〖答案〗280〖解析〗〖祥解〗組合問題中既有均分又有非均分,先從8個人中選出3人為一組,再從5人中選出3人為一組,注意均分分組中的順序問題,剩余兩人為一組.〖詳析〗先從8個人中選出3人為一組,再從5人中選出3人為一組,剩余兩人為一組.滿足條件的分組方法種數(shù)為.故〖答案〗為:280.15.定義在上的奇函數(shù)滿足,當(dāng)時,,則__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由題可得,周期為4,據(jù)此可得〖答案〗.〖詳析〗因為是定義在上的奇函數(shù),所以,解得.又,所以,則,即是以4為周期的周期函數(shù),故.故〖答案〗為:.16.為橢圓上一點,曲線與坐標(biāo)軸的交點為,,,,若,則到軸的距離為__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗首先表示出,,,的坐標(biāo),依題意可得,即可得到為橢圓上一點,聯(lián)立兩橢圓方程,求出,即可得解.〖詳析〗解:不妨設(shè),,,,則,為橢圓的焦點,所以,又,所以,且,所以在以、為焦點的橢圓上,且,所以,所以為橢圓上一點,由,解得,則,故到軸的距離為.故〖答案〗為:三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,已知,且.(1)求的通項公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,證明:當(dāng)時,.〖答案〗(1)(2)證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式列式求,即可得結(jié)果;(2)利用分組求和可求得,再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明.〖小問1詳析〗設(shè)數(shù)列的公比為,∵,則,解得,故.〖小問2詳析〗由(1)知,所以∵在上單調(diào)遞增,則數(shù)列為遞增數(shù)列,∴當(dāng)時,,故當(dāng)時,.18.為了豐富大學(xué)生的課外生活,某高校團(tuán)委組織了有獎猜謎知識競賽,共有名學(xué)生參加,隨機(jī)抽取了名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將其整理后分成組,各組區(qū)間為,,,,并畫出如圖所示的頻率分布直方圖(1)估計所有參賽學(xué)生的平均成績各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表;(2)若團(tuán)委決定對所有參賽學(xué)生中成績排在前名的學(xué)生進(jìn)行表彰,估計獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線(3)以這名學(xué)生成績不低于分的頻率為概率,從參賽的名學(xué)生中隨機(jī)選名,其中參賽學(xué)生成績不低于分的人數(shù)記為,求的方差〖答案〗(1)分(2)分(3)〖解析〗〖祥解〗(1)利用頻率分布直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,求出,再求出這名參賽學(xué)生的平均成績,由此估計出所有參賽學(xué)生的平均成績;(2)求出可以獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率,設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為,根據(jù)條件建立關(guān)于的方程求解即可;(3)根據(jù)條件,可知,然后由方差公式求解即可.〖小問1詳析〗由,得這名參賽學(xué)生的平均成績約為分,故估計所有參賽學(xué)生的平均成績?yōu)榉帧夹?詳析〗獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率為,設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為,由分?jǐn)?shù)在區(qū)間的頻率為,可知,由,得,故估計獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為分〖小問3詳析〗這名學(xué)生成績不低于分的頻率為,由題意,可知,故19.如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,,,,,,是棱的中點.(1)證明:平面;(2)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值的最大值.〖答案〗(1)證明見〖解析〗(2)〖解析〗〖祥解〗(1)由線面垂直判定可證得平面,進(jìn)而得到;利用勾股定理和線面垂直的判定得到平面,從而得到;利用勾股定理可證得,由此可得結(jié)論;(2)以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由二面角的向量求法可求得,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最大值.〖小問1詳析〗連接,,,,又,,為棱中點,,又,,平面,平面,又平面,;在直角梯形中,取中點,連接,,,又,,,四邊形為正方形,,,,又,,,,平面,平面,平面,;,,,,又,平面,平面.〖小問2詳析〗以為坐標(biāo)原點,正方向為軸,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,,,;,,;設(shè)平面的法向量為,則,令,解得:,,;軸平面,平面的一個法向量,設(shè)平面與平面所成的銳二面角為,則當(dāng)時,,,即平面與平面所成的銳二面角余弦值的最大值為.20.已知直線與拋物線交于,兩點,且(1)求的方程(2)若直線與交于兩點,點與點關(guān)于軸對稱,試問直線是否過定點?若過定點,求定點的坐標(biāo);若不過定點,說明理由〖答案〗(1)(2)過定點,〖解析〗〖祥解〗(1)聯(lián)立直線與拋物線,寫出根與系數(shù)關(guān)系,化簡已知條件來求得,進(jìn)而求得拋物線的方程.(2)連值直線拋物線,寫出根與系數(shù)關(guān)系,求得直線的方程,并求出定點的坐標(biāo).〖小問1詳析〗將代入,得,則,則,解得,故的方程為〖小

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