2023屆陜西省西安市長安區(qū)高三下學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1長安區(qū)高三質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文科）試題注意事項(xiàng)：1．本試題共4頁，滿分150分．，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理：試題不回收．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗解指數(shù)不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答.〖詳析〗解不等式得：，則，而，又，所以.故選：A2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用復(fù)數(shù)的除法及乘方運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)作答.〖詳析〗，則，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：C3.甲乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員參加比賽，抽取連續(xù)6輪射擊比賽的成績情況如下：甲：80、70、80、90、90、70；乙：70、80、80、80、70、80則下列說法中正確的是（）A.甲比乙平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定B.甲比乙平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定C.乙比甲平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定D.乙比甲平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定數(shù)據(jù)，求出甲乙成績的平均數(shù)及方差，再比較判斷作答.〖詳析〗依題意，甲射擊成績的平均數(shù)，方差，乙射擊成績的平均數(shù)，方差，因此，所以甲比乙平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定.故選：B4.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用函數(shù)的奇偶性和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，排除選項(xiàng)得出正確〖答案〗．〖詳析〗是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B和D當(dāng)時(shí)，，，即，排除選項(xiàng)C故選：A5.在中，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用平行四邊形性質(zhì)及向量線性運(yùn)算求解作答.〖詳析〗在中，令，則是對(duì)角線的中點(diǎn)，.故選：C6.我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長1與太陽天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長度l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距正切值的乘積，即．對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽天頂距分別為，且，若第二次的“晷影長”與“表高”相等，則第一次的“晷影長”是“表高”的（）A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，可得，再利用和角的正切公式計(jì)算作答.〖詳析〗依題意，，則，所以第一次的“晷影長”是“表高”的2倍.故選：B7.下列是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.〖詳析〗，顯然，，，，所以函數(shù)圖像的對(duì)稱軸的是，ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D8.盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長最小時(shí)，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗棱長為8的正四面體放入正方體，使正方體面對(duì)角線長等于正四面體棱長，然后求出體積作答.〖詳析〗依題意，要使棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，且盲盒棱長最小，則當(dāng)且僅當(dāng)正方體的面對(duì)角線長等于正四面體的棱長，即它們有相同的外接球，如圖，正四面體的棱長為8cm，該正四面體的所有棱均為正方體對(duì)應(yīng)的面對(duì)角線，所以該正方體棱長為，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為.故選：C9.已知函數(shù)，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗在同一坐標(biāo)系中作的圖像,得到，借助的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.〖詳析〗在R上單調(diào)遞減，在同一坐標(biāo)系中作的圖像，如圖：所以，故，故選：A.10.已知點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B．若，則雙曲線C的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線距離公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式計(jì)算作答.〖詳析〗雙曲線的漸近線方程為：，不妨令點(diǎn)A在直線上，，如圖，因?yàn)?，則，而，即有，，，由知，點(diǎn)在y軸同側(cè)，于是，，，在中，，由得：，整理得：，化簡得，解得或（舍去），所以，，雙曲線方程為.故選：A11.在三棱錐，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由面面垂直的性質(zhì)結(jié)合直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)得出的外接圓圓心為該三棱錐的外接球的球心，再由正弦定理以及球的表面積公式求解.〖詳析〗解：過點(diǎn)作的垂線，垂足為，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切危缘耐饨訄A的圓心為，設(shè)的外接圓圓心為，其半徑為，則在上，所以，由面面垂直的性質(zhì)可知，平面，所以，即為該三棱錐的外接球的球心，由正弦定理可知，，故該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①；②若對(duì)任意，都有，則a的取值范圍是；③若方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出上的函數(shù)〖解析〗式并畫出部分函數(shù)圖象，求函數(shù)值判斷①；解不等式判斷②；利用切線結(jié)合已知求出m的范圍判斷③作答.〖詳析〗依題意，，當(dāng)時(shí)，，且在區(qū)間上的最大值為1，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上的最大值為2，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上的最大值為4，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上的最大值為8，顯然，①正確；作出函數(shù)的部分圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，必有，由整理得：，于是得，因?yàn)閷?duì)任意，都有，因此，所以a的取值范圍是，②正確；方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)，顯然直線與在區(qū)間上的圖象有且只有1個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線與在區(qū)間上的圖象相切時(shí)，由消去y整理得：，則，解得，而在區(qū)間上的最大值為，直線，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)該直線與在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，因此直線與函數(shù)在時(shí)的圖象有公共點(diǎn)時(shí)，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)大于3，不符合題意，當(dāng)直線與在區(qū)間上的圖象相切時(shí)，由消去y整理得：，則，解得，當(dāng)直線與在區(qū)間上的圖象相切時(shí)，由消去y整理得：，則，解得，觀察圖象知，方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是，③錯(cuò)誤.所以正確結(jié)論個(gè)數(shù)是2.故選：C〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若是偶函數(shù)，則__________，此時(shí)，曲線在原點(diǎn)處的切線方程為______________．〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗由偶函數(shù)的定義得出的值，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.〖詳析〗，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上恒成立，則恒成立，故.因?yàn)椋?，所以曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，即.故〖答案〗為：；14.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，若，則__________．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用圓的弦長公式求出圓心到直線l的距離即可求解作答.〖詳析〗圓的圓心，半徑，因?yàn)閳AO的弦AB長為2，則點(diǎn)O到直線l的距離，而，因此，解得，所以.故〖答案〗為：15.已知在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，且，則周長的取值范圍為______________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.〖詳析〗在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，而，則，所以周長的取值范圍為.故〖答案〗為：16.在生活中，可以利用如下圖工具繪制橢圓，已知O是滑桿上的一個(gè)定點(diǎn)，D可以在滑桿上自由移動(dòng)，線段，點(diǎn)E滿足，則點(diǎn)E所形成的橢圓的離心率為____________．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合幾何關(guān)系求出橢圓方程即可求解作答.〖詳析〗由，得，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，過E作于C，交OA的延長線于P，過A作于B，有軸，而，即，則點(diǎn)B是的中點(diǎn)，且有，因此，即，設(shè)，有，于是，整理得點(diǎn)E的軌跡方程為，該橢圓長半軸長，短半軸長，所以點(diǎn)E所形成的橢圓的離心率.故〖答案〗為：〖『點(diǎn)石成金』〗思路『點(diǎn)石成金』：求解軌跡方程問題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡整理求解，還應(yīng)特別注意：補(bǔ)上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點(diǎn)，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點(diǎn).三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，_____________．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并解答（注：如果選擇多個(gè)條件，按照第一個(gè)解答給分．在答題前應(yīng)說明“我選_____________”）（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算可得，進(jìn)而即得；（2）利用分組求和法即得.〖小問1詳析〗設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為若選擇條件①，則由，得，解得，；若選擇條件②，則由，得，解得，；若選擇條件③，則由，得，解得，；〖小問2詳析〗由（1）知，選擇三個(gè)條件中的任何一個(gè)，都有，則，的前n項(xiàng)和18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，滿足．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)給定條件證明即可推理作答.（2）由等體積法得出所求體積.〖小問1詳析〗在四棱錐中，平面，而平面，則，因，，平面，所以平面.〖小問2詳析〗由（1）可知，平面，而PD在平面PAD中，所以，則，因?yàn)椋?，則即.因?yàn)?，所?19.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，，Q在準(zhǔn)線上，Q的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)M到F與到定點(diǎn)的距離之和的最小值為4．（1）求拋物線C的方程；（2）過F且斜率為2的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，求的面積．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由已知可推得，求出的坐標(biāo)代入，即可得出關(guān)于的方程，求解即可得出；（2）由已知可求得直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出弦長.然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出面積.〖小問1詳析〗由已知可得，，.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.又，所以，即，整理可得，因?yàn)椋?所以，拋物線C的方程為.〖小問2詳析〗由（1）知，，所以直線的方程為，.聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，.設(shè)，，則由韋達(dá)定理可得.所以.又點(diǎn)到直線，即直線的距離為，所以，的面積.〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：求圓錐曲線中的有關(guān)三角形的面積時(shí)，常聯(lián)立直線與曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出弦長.然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求出三角形的高，即可得出.20.為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x123456繁殖個(gè)數(shù)y36132545100（1）判斷（為常數(shù)）與（為常數(shù)，且）哪一個(gè)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）對(duì)于非線性回歸方程（為常數(shù)，且），令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系及一些統(tǒng)計(jì)量的值，3.50322.8517.530712.12（?。┳C明：對(duì)于非線性回歸方程，令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系（即為常數(shù)）；（ⅱ）根據(jù)（?。┑呐袛嘟Y(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．〖答案〗（1）以更適宜作為繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的回歸方程類型；（2）（?。┳C明見〖解析〗；（ⅱ）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，再借助散點(diǎn)圖即可判斷作答.（2）（ⅰ）由（1）選定的回歸方程類型，取對(duì)數(shù)即可得關(guān)于x的直線方程作答；（ⅱ）由（?。┑慕Y(jié)果，利用最小二乘法求解作答.〖小問1詳析〗作出繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的散點(diǎn)圖，如圖，觀察散點(diǎn)圖知，樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線周圍，所以更適宜作為繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的回歸方程類型.〖小問2詳析〗（ⅰ）由（1）知，（為常數(shù)，且），又，因此，令，即有為常數(shù)，所以繁殖個(gè)數(shù)對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系.（ⅱ），，由（ⅰ）知，，，因此，所以y關(guān)于x的回歸方程為.21.已知函數(shù)，求證：（1）存在唯一零點(diǎn)；（2）不等式恒成立．〖答案〗（1）見〖解析〗（2）見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；（2）先證明，再由的單調(diào)性，證明不等式即可.〖小問1詳析〗，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；所以，即.所以在上單調(diào)遞增，.則在上，存在，使得，即存在唯一零點(diǎn)；〖小問2詳析〗，令，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；即，故.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.即.故不等式恒成立.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：在證明第二問時(shí)，關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)證明，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明，在做題時(shí)，要察覺到這一點(diǎn).（二）選考題：共10分．考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．〖選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〗22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（，t為參數(shù)）．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）已知直線與x軸的交點(diǎn)為F，且曲線C與直線l交于A、B兩點(diǎn)，求的值．〖答案〗（1）（2）24〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程為（，t為參數(shù)），由兩邊平方求解；（2）易知直線的參數(shù)方程為，代入，利用參數(shù)的幾何意義求解.〖小問1詳析〗解：因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為（，t為參數(shù)），所以由兩邊平方得：，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程；〖小問2詳析〗易知直線與x軸的交點(diǎn)為,直線的參數(shù)方程為，代入得，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.〖選修4-5：不等式選講〗23.已知．（1）求解集；（2）已知在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）把函數(shù)化成分段函數(shù)，再分段解不等式作答.（2）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最大值作答.〖小問1詳析〗依題意，，不等式化為：或或，解得或或，即有，所以的解集為.〖小問2詳析〗依題意，，，，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

高考模擬試題PAGEPAGE1長安區(qū)高三質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文科）試題注意事項(xiàng)：1．本試題共4頁，滿分150分．，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理：試題不回收．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗解指數(shù)不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答.〖詳析〗解不等式得：，則，而，又，所以.故選：A2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用復(fù)數(shù)的除法及乘方運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)作答.〖詳析〗，則，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：C3.甲乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員參加比賽，抽取連續(xù)6輪射擊比賽的成績情況如下：甲：80、70、80、90、90、70；乙：70、80、80、80、70、80則下列說法中正確的是（）A.甲比乙平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定B.甲比乙平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定C.乙比甲平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定D.乙比甲平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定數(shù)據(jù)，求出甲乙成績的平均數(shù)及方差，再比較判斷作答.〖詳析〗依題意，甲射擊成績的平均數(shù)，方差，乙射擊成績的平均數(shù)，方差，因此，所以甲比乙平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定.故選：B4.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用函數(shù)的奇偶性和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，排除選項(xiàng)得出正確〖答案〗．〖詳析〗是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B和D當(dāng)時(shí)，，，即，排除選項(xiàng)C故選：A5.在中，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用平行四邊形性質(zhì)及向量線性運(yùn)算求解作答.〖詳析〗在中，令，則是對(duì)角線的中點(diǎn)，.故選：C6.我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長1與太陽天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長度l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距正切值的乘積，即．對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽天頂距分別為，且，若第二次的“晷影長”與“表高”相等，則第一次的“晷影長”是“表高”的（）A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，可得，再利用和角的正切公式計(jì)算作答.〖詳析〗依題意，，則，所以第一次的“晷影長”是“表高”的2倍.故選：B7.下列是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.〖詳析〗，顯然，，，，所以函數(shù)圖像的對(duì)稱軸的是，ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D8.盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長最小時(shí)，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗棱長為8的正四面體放入正方體，使正方體面對(duì)角線長等于正四面體棱長，然后求出體積作答.〖詳析〗依題意，要使棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，且盲盒棱長最小，則當(dāng)且僅當(dāng)正方體的面對(duì)角線長等于正四面體的棱長，即它們有相同的外接球，如圖，正四面體的棱長為8cm，該正四面體的所有棱均為正方體對(duì)應(yīng)的面對(duì)角線，所以該正方體棱長為，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為.故選：C9.已知函數(shù)，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗在同一坐標(biāo)系中作的圖像,得到，借助的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.〖詳析〗在R上單調(diào)遞減，在同一坐標(biāo)系中作的圖像，如圖：所以，故，故選：A.10.已知點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B．若，則雙曲線C的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線距離公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式計(jì)算作答.〖詳析〗雙曲線的漸近線方程為：，不妨令點(diǎn)A在直線上，，如圖，因?yàn)椋瑒t，而，即有，，，由知，點(diǎn)在y軸同側(cè)，于是，，，在中，，由得：，整理得：，化簡得，解得或（舍去），所以，，雙曲線方程為.故選：A11.在三棱錐，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由面面垂直的性質(zhì)結(jié)合直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)得出的外接圓圓心為該三棱錐的外接球的球心，再由正弦定理以及球的表面積公式求解.〖詳析〗解：過點(diǎn)作的垂線，垂足為，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，所以的外接圓的圓心為，設(shè)的外接圓圓心為，其半徑為，則在上，所以，由面面垂直的性質(zhì)可知，平面，所以，即為該三棱錐的外接球的球心，由正弦定理可知，，故該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①；②若對(duì)任意，都有，則a的取值范圍是；③若方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出上的函數(shù)〖解析〗式并畫出部分函數(shù)圖象，求函數(shù)值判斷①；解不等式判斷②；利用切線結(jié)合已知求出m的范圍判斷③作答.〖詳析〗依題意，，當(dāng)時(shí)，，且在區(qū)間上的最大值為1，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上的最大值為2，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上的最大值為4，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上的最大值為8，顯然，①正確；作出函數(shù)的部分圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，必有，由整理得：，于是得，因?yàn)閷?duì)任意，都有，因此，所以a的取值范圍是，②正確；方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)，顯然直線與在區(qū)間上的圖象有且只有1個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線與在區(qū)間上的圖象相切時(shí)，由消去y整理得：，則，解得，而在區(qū)間上的最大值為，直線，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)該直線與在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，因此直線與函數(shù)在時(shí)的圖象有公共點(diǎn)時(shí)，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)大于3，不符合題意，當(dāng)直線與在區(qū)間上的圖象相切時(shí)，由消去y整理得：，則，解得，當(dāng)直線與在區(qū)間上的圖象相切時(shí)，由消去y整理得：，則，解得，觀察圖象知，方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是，③錯(cuò)誤.所以正確結(jié)論個(gè)數(shù)是2.故選：C〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若是偶函數(shù)，則__________，此時(shí)，曲線在原點(diǎn)處的切線方程為______________．〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗由偶函數(shù)的定義得出的值，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.〖詳析〗，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上恒成立，則恒成立，故.因?yàn)椋?，所以曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，即.故〖答案〗為：；14.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，若，則__________．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用圓的弦長公式求出圓心到直線l的距離即可求解作答.〖詳析〗圓的圓心，半徑，因?yàn)閳AO的弦AB長為2，則點(diǎn)O到直線l的距離，而，因此，解得，所以.故〖答案〗為：15.已知在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，且，則周長的取值范圍為______________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.〖詳析〗在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，而，則，所以周長的取值范圍為.故〖答案〗為：16.在生活中，可以利用如下圖工具繪制橢圓，已知O是滑桿上的一個(gè)定點(diǎn)，D可以在滑桿上自由移動(dòng)，線段，點(diǎn)E滿足，則點(diǎn)E所形成的橢圓的離心率為____________．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合幾何關(guān)系求出橢圓方程即可求解作答.〖詳析〗由，得，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，過E作于C，交OA的延長線于P，過A作于B，有軸，而，即，則點(diǎn)B是的中點(diǎn)，且有，因此，即，設(shè)，有，于是，整理得點(diǎn)E的軌跡方程為，該橢圓長半軸長，短半軸長，所以點(diǎn)E所形成的橢圓的離心率.故〖答案〗為：〖『點(diǎn)石成金』〗思路『點(diǎn)石成金』：求解軌跡方程問題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡整理求解，還應(yīng)特別注意：補(bǔ)上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點(diǎn)，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點(diǎn).三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，_____________．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并解答（注：如果選擇多個(gè)條件，按照第一個(gè)解答給分．在答題前應(yīng)說明“我選_____________”）（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算可得，進(jìn)而即得；（2）利用分組求和法即得.〖小問1詳析〗設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為若選擇條件①，則由，得，解得，；若選擇條件②，則由，得，解得，；若選擇條件③，則由，得，解得，；〖小問2詳析〗由（1）知，選擇三個(gè)條件中的任何一個(gè)，都有，則，的前n項(xiàng)和18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，滿足．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)給定條件證明即可推理作答.（2）由等體積法得出所求體積.〖小問1詳析〗在四棱錐中，平面，而平面，則，因，，平面，所以平面.〖小問2詳析〗由（1）可知，平面，而PD在平面PAD中，所以，則，因?yàn)?，所?，則即.因?yàn)?，所?19.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，，Q在準(zhǔn)線上，Q的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)M到F與到定點(diǎn)的距離之和的最小值為4．（1）求拋物線C的方程；（2）過F且斜率為2的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，求的面積．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由已知可推得，求出的坐標(biāo)代入，即可得出關(guān)于的方程，求解即可得出；（2）由已知可求得直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出弦長.然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出面積.〖小問1詳析〗由已知可得，，.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.又，所以，即，整理可得，因?yàn)?，所?所以，拋物線C的方程為.〖小問2詳析〗由（1）知，，所以直線的方程為，.聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，.設(shè)，，則由韋達(dá)定理可得.所以.又點(diǎn)到直線，即直線的距離為，所以，的面積.〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：求圓錐曲線中的有關(guān)三角形的面積時(shí)，常聯(lián)立直線與曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出弦長.然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求出三角形的高，即可得出.20.為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x123456繁殖個(gè)數(shù)y36132545100（1）判斷（為常數(shù)）與（為常數(shù)，且）哪一個(gè)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）對(duì)于非線性回歸方程（為常數(shù)，且），令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系及一些統(tǒng)計(jì)量的值，3.50322.8517.530712.12（?。┳C明：對(duì)于非線性回歸方程，令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系（即為常數(shù)）；（ⅱ）根