2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一年級(jí)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一年級(jí)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本小題共8小題，每小題5分，共40分，每小題4個(gè)選項(xiàng)只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，，則如圖中陰影部分表示的集合為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由自然數(shù)集的定義化簡(jiǎn)集合，解二次不等式化簡(jiǎn)集合，由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，由此得解.【詳解】易知，由得，故，則，由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，而，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：B.2.命題“”的否定是A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：全稱命題的否定是存在性命題，所以，命題“”的否定是，選C.考點(diǎn)：全稱命題與存在性命題.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先解分式不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可．【詳解】解：因，所以，，，或，當(dāng)時(shí)，或一定成立，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)或時(shí)，不一定成立，所以“”是“”的不必要條件．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A4.已知集合，集合，則C的子集的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.8 C.7 D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到集合，然后求子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意得，所以集合的子集的個(gè)數(shù)為.故選：B.5.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)已知可得函數(shù)的定義域需滿足：,解得，即函數(shù)定義域?yàn)?，故選B.考點(diǎn)：求函數(shù)定義域6.已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2]【答案】D【解析】【分析】直接由兩段函數(shù)分別為減函數(shù)以及端點(diǎn)值的大小關(guān)系解不等式組即可.【詳解】由函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)可得解得.故選：D.7.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，，.若函數(shù)，則函數(shù)是（）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.單調(diào)遞增函數(shù) D.值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義得出函數(shù)的解析式，作出圖形，由圖象可得選項(xiàng).【詳解】解：由于，所以，由此作出函數(shù)的圖象，由圖示可以得出是非奇非偶函數(shù)，不是單調(diào)遞增函數(shù)，值域?yàn)?故選：D.8.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則關(guān)于x的不等式的解集為（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由題設(shè)條件證得在R上單調(diào)遞增，再將題干中不等式轉(zhuǎn)化為，由的單調(diào)性得可，從而求得，即求得所求不等式的解集.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，即，令，則在R上單調(diào)遞增，因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，由得，即，所以由的單調(diào)性得，即，即，所以，即的解集為.故選：B.二.多項(xiàng)選擇題（共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，每個(gè)小題有多項(xiàng)符合題目要求，全對(duì)5分，部分選對(duì)得2分）9.設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用一元二次方程的解法、集合間的運(yùn)算及關(guān)系運(yùn)算分析即可得解.【詳解】解：由題意，集合，由可得，則或或或，當(dāng)時(shí)，滿足即可；當(dāng)時(shí)，需滿足，解得：；當(dāng)時(shí)，需滿足，解得：；因?yàn)闀r(shí)有且只有一個(gè)根，所以.所以的值可以為.故選：ABD.10.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，的取值可以是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】分離常數(shù)得，若在單調(diào)遞增，則滿足，檢驗(yàn)選項(xiàng)即可求解.【詳解】在上單調(diào)遞增,則滿足:,即,故，滿足，，滿足，故選:AC11.已知?jiǎng)t下列說法正確的是（）A.若，則函數(shù)的最小值為2B.若，則的最小值為1C.若，且，則最小值為2D.若，且，則最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式及其推論求解即可.【詳解】對(duì)于A，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為1，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，解得（舍去）或，所以最小值為2，故C正確；對(duì)于D，由，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為，故D正確.故選：BCD.12.函數(shù)對(duì)任意總有，當(dāng)時(shí)，，，則下列命題中正確的是（）A.是上的減函數(shù)B.在上的最小值為C.是奇函數(shù)D.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】本題首先可取、，求出，然后令，即可證得函數(shù)是奇函數(shù)，C正確，再然后通過定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)是上的增函數(shù)，A錯(cuò)誤，最后根據(jù)增函數(shù)得出函數(shù)在上的最小值為，根據(jù)求出，B正確，根據(jù)增函數(shù)性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，即可判斷出D正確.【詳解】取，，則，解得，令，則，即，函數(shù)是奇函數(shù)，C正確，令，且，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，則，即，函數(shù)是上的增函數(shù)，A錯(cuò)誤，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以函數(shù)在上的最小值為，，，，故，在上的最小值為，B正確，，即，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，，實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷、定義法證明函數(shù)單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值和不等式，若定義域關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)滿足，則函數(shù)是奇函數(shù)，若滿足，則函數(shù)是偶函數(shù)，考查計(jì)算能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性，是中檔題.三、填空題（共4分小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】利用二次根式被開方數(shù)非負(fù)和分式分母不為零，列不等式組可求得答案【詳解】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?4.已知命題：“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】命題：“，”是假命題等價(jià)于命題：“，”是真命題，再解決含參的不等式恒成立問題即可.【詳解】命題：“，”是假命題，即命題：“，”是真命題，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，，,則，解得；綜上所述，a的取值范圍是.故答案為：.15.為了引導(dǎo)居民節(jié)約用電，某城市對(duì)居民生活用電實(shí)行“階梯電價(jià)”，按月用電量計(jì)算，將居民家庭每月用電量劃分為三個(gè)階梯，電價(jià)按階梯遞增.第一階梯：月用電量不超過千瓦時(shí)的部分，電價(jià)為元/千瓦時(shí)；第二階梯：月用電量超過千瓦時(shí)但不超過千瓦時(shí)的部分，電價(jià)為元/千瓦時(shí)；第三階梯：月用電量超過千瓦時(shí)的部分，電價(jià)為元/千瓦時(shí).若某戶居民月份交納的電費(fèi)為元，則此戶居民月份的用電量為___________千瓦時(shí).【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，寫出電費(fèi)與用電量的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)值即可求解.【詳解】設(shè)用電量為千瓦時(shí)，電費(fèi)元，，若時(shí)。當(dāng)時(shí)，則，解得，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，則，解得，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，則，解得，滿足題意.故答案為：16.若定義在R上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可求解不等式.【詳解】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以在上也是單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得：或或，解得或.故答案為：.四、解答題（本小題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知集合，.（1）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得出，然后分和兩種情況討論，根據(jù)列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出即可；（2）分和兩種情況討論，根據(jù)列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出即可.【小問1詳解】由得，當(dāng)時(shí)，則有，解得；當(dāng)時(shí)，則有，解得；綜上所訴：實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【小問2詳解】若，則有當(dāng)時(shí)，則有，解得；當(dāng)時(shí)或得或，綜上所訴：實(shí)數(shù)m取值范圍為.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求m的值，并出函數(shù)的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題意首先可以求出，然后根據(jù)當(dāng)時(shí)，，且，，從而即可得解，要注意檢驗(yàn).（2）首先根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性、奇偶性得到的單調(diào)性，從而將不等式等價(jià)變形為，解不等式組即可得解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，，得，因?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，滿足題意，所以.【小問2詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，由，，，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.已知是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）4（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)知，求解后根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增即可求m（2）化簡(jiǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與的關(guān)系分三類討論，可求出函數(shù)的最小值.【詳解】（1）是冪函數(shù)，∴，解得或；又上單調(diào)遞增，∴，∴的值為4；（2）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上先減后增，最小值為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，二次函數(shù)分類討論求最小值，屬于中檔題.20.如下圖所示，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.（1）現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？最大面積為多少？（2）若使每間虎籠面積為24，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最?。孔钚≈禐槎嗌?？【答案】（1）當(dāng)長(zhǎng)為，寬為時(shí)，面積最大，最大面積為；（2）當(dāng)長(zhǎng)為，寬為時(shí)，鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小，最小值為.【解析】【分析】（1）求得每間虎籠面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得最大值.（2）求得鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得最小值.【詳解】（1）設(shè)長(zhǎng)為，寬為，都為正數(shù)，每間虎籠面積為，則，則，所以每間虎籠面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.（2）設(shè)長(zhǎng)為，寬為，都為正數(shù)，每間虎籠面積為，則鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為，所以鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小為，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.21.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)，，且時(shí)，有.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給以證明；（2）若且對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在上增函數(shù)；證明見解析；（2）或或.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；（2）根據(jù)單調(diào)性求出時(shí)，的最大值，即對(duì)任意的恒成立，只需，解不等式組即可求解.【詳解】（1）證明：設(shè)且，，因?yàn)椋?，所以，，所以，即即在上為增函?shù).（2）且在上為增函數(shù).對(duì)，有由題意，對(duì)所有的恒成立，應(yīng)有記對(duì)所有成立.所以，解得：或或，所以實(shí)數(shù)取值范圍為或或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法（1）取值：設(shè)是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且；（2）作差變形：即作差，即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號(hào)的方向變形；（3）定號(hào)：確定差的符號(hào)；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義作出結(jié)論.即取值---作差----變形----定號(hào)----下結(jié)論.22設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于，有恒成立，求的取值范圍；（2）已知，若對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）據(jù)題意知，把不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最大致，即可