2024-2025學年度上期高2023級半期數學考試含答案

2024-2025學年度上期高2023級半期數學考試一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每一題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設點在平面上的射影為，則等于（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】先得到，從而求出，計算出模長.【詳解】點在平面上的射影為，，故，故選：D2.將10個數據按照從小到大的順序排列如下：，若該組數據的分位數為22，則（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】由題意，結合百分位數的定義即可求解.【詳解】，又該組數據的分位數為22，則，解得.故選：C3.設，，，且∥，則（）A B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據，可得，；再根據∥，可得，進而得，最后根據向量的坐標求模即可.【詳解】解：因為，，且，所以，解得，所以，又因為，且∥，所以，所以，所以，所以.故選：C.4.對空中移動的目標連續(xù)射擊兩次，設兩次都擊中目標兩次都沒擊中目標{恰有一次擊中目標}，至少有一次擊中目標}，下列關系不正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據事件關系，即可判斷選項.【詳解】A.事件包含恰好一次擊中目標或兩次都擊中目標，所以，故A正確；B.包含的事件為至少一次擊中目標，為樣本空間，所以B錯誤，C正確；D.事件與事件是對立事件，所以，故D正確.故選：B5.將一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲8次，得到的點數分別為，則這8個點數的中位數為4.5的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據中位數的定義，將得到的點數從小到大排列，討論不同情況，即可求解.【詳解】由題意，這8個點數的中位數為4.5，只有三種情況：①將拋擲8次，得到的點數從小到大分別為，此時中位數為；②拋擲8次，得到的點數從小到大分別為，此時中位數為；③拋擲8次，得到的點數從小到大分別為，此時中位數為或；綜上，x的點數只能為5，或者6，故概率為，故選：D.6.已知某人收集一個樣本容量為50的一組數據，并求得其平均數為70，方差為75，現發(fā)現在收集這些數據時，其中得兩個數據記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90，在對錯誤的數據進行更正后，重新求得樣本的平均數為，方差為，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由平均數，方差計算公式可判斷各選項正誤.【詳解】設其他48個數據依次為，則，因為，因此平均數不變，即；又由方差計算公式可知：，，注意到，則.故選：C.7.平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點，則線段的長為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據空間向量的線性運算可得，進而結合數量積運算求模長.【詳解】由題意可知：，則，所以.故選：C.8.如圖，在正方體中，分別為的中點，則下列說法錯誤的是（）A.平面B.異面直線與所成角為C.直線與平面所成角為D.【答案】B【解析】【分析】連接，可得，A選項，利用線面平行的判定定理即可證明；B選項，異面直線與所成角即為直線與與所成角；C選項直線與平面所成角即直線與平面所成角；D選項，由線面垂直的性質可以得證.【詳解】如圖，連接，在正方形中，為的中點，則，即也為的中點，在中，分別為的中點，有，又平面，平面，所以平面，故A正確；由題可知，異面直線與所成角即為直線與與所成角，即，為，故B錯誤直線與平面所成角即直線與平面所成角，由平面，可知直線與平面所成角為，故C正確；正方體中，平面，平面，則有，由，得，故D正確；，故選：B.二?多項選擇題（每空6分，共18分）9.在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計數據中，同比和環(huán)比都是反映增長速度的核心數據指標．如圖是某專業(yè)機構統(tǒng)計的2022年1-12月中國校車銷量走勢圖，則下列結論正確的是（）A.8月校車銷量的同比增長率與環(huán)比增長率都是全年最高B.1-12月校車銷量的同比增長率的平均數小于環(huán)比增長率的平均數C.1-12月校車銷量環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差D.1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差【答案】BCD【解析】【分析】由統(tǒng)計圖數據對選項逐一判斷可得答案.【詳解】2022年8月校車銷量的同比增長率比9月的低，故A錯誤；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的同比增長率的平均數為負數，環(huán)比增長率的平均數是正數，故B正確；1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差為，同比增長率的極差為，所以環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差，故C正確；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的波動大于同比增長率的，所以環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差，故D正確．故選：BCD.10.給出下列命題，其中正確的是（）A.若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底B.在空間直角坐標系中，點關于坐標平面yOz的對稱點是C.若空間四個點P，A，B，C滿足，則A，B，C三點共線D.平面的一個法向量為，平面的一個法向量為.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據三個向量是否共面判斷A，由點關于坐標面的對稱判斷B，由向量的運算確定三點共線可判斷C，根據向量共線求參數可判斷D?！驹斀狻繉τ贏,不共面，則不共面，所以也是空間的一個基底，故正確；對于B,點關于坐標平面yOz的對稱點是，故錯誤；對于C，由可得，即,所以A，B，C三點共線，故正確；對于D，由平面平行可得，所以，解得，故正確.故選：ACD11.已知事件A、B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若A與B相互獨立，則 B.若，則事件A與相互獨立C.若A與B互斥，則 D.若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則【答案】ABD【解析】【分析】根據互斥事件和獨立事件的概率公式逐項判斷.【詳解】對于A，若A與B相互獨立，則，所以，故A對；對于B，因為，，則，因為，所以事件與相互獨立，故B對；對于C，若A與B互斥，則，故C錯；對于D，若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則，則，故D對．故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.經過點，點的直線的一個方向向量是______.【答案】(時，均可)【解析】【分析】求出向量符合題意，所有與共線非零向量均可.【詳解】點，點在直線上，則直線的一個方向向量為，時，也都是直線的方向向量.故答案為：（時，均可）13.某品牌新能源汽車2019-2022年這四年的銷量逐年增長，2019年銷量為5萬輛，2022年銷量為22萬輛，且這四年銷量的中位數與平均數相等，則這四年的總銷量為__________萬輛.【答案】53【解析】【分析】根據中位數和平均數公式，結合題意，即可求解.【詳解】設2020年的銷量為，2021年的銷量為，，由題意可知，中位數為，平均數為，由，得，所以這四年的總銷量為萬量.故答案為：5314.已知是空間單位向量，.若空間向量滿足，且對于任意，，則__________，__________.【答案】①.2②.【解析】【分析】問題轉化為當且僅當時取到最小值，利用數量積求向量的模，且當模最小時，求出相關的數值.【詳解】，由于，所以，問題等價于當且僅當時取到最小值，.則，解得，，.故答案為：2；.【點睛】方法點睛：涉及向量的模，通常用到求解.四?解答題：共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.柜子里有3雙不同的鞋，分別用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每雙鞋的左腳，，，表示每雙鞋的右腳.如果從中隨機地取出2只，那么（1）寫出試驗的樣本空間；（2）求下列事件的概率：①取出的鞋都是一只腳的；②取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋.（3）求取出的鞋不成雙的概率.【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）通過列舉法寫出試驗的樣本空間；（2）（3）結合（1）所求的樣本空間，利用古典概型的概率公式逐一求解即可．【小問1詳解】該試驗的樣本空間可表示為,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,；【小問2詳解】記：“取出的鞋都是一只腳的”,，,，,，,，,，,，，；記“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”，,,,，,，,，,，，，【小問3詳解】記“取出的鞋不成雙”，由（1）得，，,，,，，，；16.2023年是中國共產黨建黨102周年，為了使全體黨員進一步堅定理想信念，傳承紅色基因，市教育局以“學黨史?悟思想?辦實事?開新局”為主題進行“黨史”教育，并舉辦由全體黨員參加的“學黨史”知識競賽.競賽共設100個小題，每個小題1分，共100分.現隨機抽取1000名黨員的成績進行統(tǒng)計，并將成績分成以下七組：并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績的眾數，中位數；（2）用分層隨機抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進行問卷調查，求這2人中至少有1人成績低于76分的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖估計眾數和中位數.（2）根據分層抽樣的方法，確定樣本中人員的構成，再列出人選2人的所有可能，利用古典概型的公式求相應的概率.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得，1000名學員成績眾數為，成績在的頻率為，成績在的頻率為，故中位數位于之間，中位數是【小問2詳解】∵與的黨員人數的比值為，采用分層隨機抽樣方法抽取5人，則在中抽取2人，中抽3人，設抽取人的編號為，，抽取人的編號為，，，則從5人中任選2人進行問卷調查對應的樣本空間為：，，，，，，，，，，共10個樣本點，這2人中至少有1人成績低于76分的有：，，，，，，，共7個樣本點，故這2人中至少有1人成績低于76分的概率.17.在四棱錐中．底面為矩形，且平面．為中點．（1）求點到直線的距離；（2）求異面直線所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出、，利用空間向量法求出，從而求出，再由點到直線的距離計算可得；（2）利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】因為為矩形，所以，又因為平面平面，所以，所以分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，所以，則有，所以，所以點到直線的距離．【小問2詳解】因為，所以，所以異面直線所成角的余弦值．18.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，在平面內的射影為.（1）求證：平面；（2）若點為棱的中點，求點到平面的距離；（3）若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用線面垂直、面面垂直的性質定理與判定定理可證；（2）利用空間向量法求點到面的距離；（3）利用空間向量求出二面角的余弦值，再借助函數性質求值域.【小問1詳解】連接，因為為等邊三角形，為中點，則，由題意可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，則平面，可得，由題設知四邊形為菱形，則，因為，分別為，中點，則，可得，且，，平面，所以平面.【小問2詳解】在平面內的射影為，所以平面，由題設知四邊形為菱形，是線段的中點，所以為正三角形，由平面，平面，可得，，又因為為等邊三角形，為中點，所以，則以為坐標原點，，，所在直線為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，可得，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，可得，所以點到平面的距離為.【小問3詳解】因為，設，，則，可得，，，即，可得，由（2）知：平面的一個法向量設平面的法向量，則，令，則，，可得；則，令，則，可得，因為，則，可得，所以銳二面角的余弦值的取值范圍為19.在空間直角坐標系中，定義：過點，且方向向量為的直線的點方向式方程為；過點，且法向量為的平面的點法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．（1）求經過的直線的點方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，證明：；（3）已知斜三棱柱中，側面所在平面經過三點，，側面所在平面的一般式方程為，側面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大小．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先求直線的方向向量，結合題意即可得直線方程；（2）根據題意可得平面、、的法向量，進而可求交線的方向向量，利用空間向量判斷線面關系；（3）