江蘇省南京市2024年高二年級(jí)上期中模擬測(cè)(數(shù)學(xué))含答案_第1頁(yè)
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2024年高二年級(jí)上期中模擬測(cè)(數(shù)學(xué))2024年10月28日一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(i為虛數(shù)單位),則z的模()A. B.1 C. D.5【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】由,得,所以.故選:B.2.設(shè),若點(diǎn)在線(xiàn)段上,則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)的傾斜角和斜率的關(guān)系求式子的取值范圍.【詳解】如圖:?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)時(shí),直線(xiàn)斜率的取值范圍.因?yàn)?,,且?dāng)傾斜角是銳角時(shí),,隨著傾斜角的增大,斜率增大;當(dāng)傾斜角是鈍角時(shí),,隨著傾斜角的增大,斜率增大.所以斜率的取值范圍是:或.故選:C3.已知直線(xiàn)在軸、軸上的截距相等,則直線(xiàn)與直線(xiàn)間的距離為()A. B. C.或 D.0或【答案】A【解析】【分析】由題意利用直線(xiàn)的截距的定義求得m的值,再利用兩條平行線(xiàn)之間的距離公式,計(jì)算即可.【詳解】直線(xiàn)在軸、軸上的截距相等,令,得,令,得,所以,解得,故直線(xiàn),即,化簡(jiǎn)為,則直線(xiàn)與直線(xiàn)間的距離為故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)的截距的定義,兩條平行線(xiàn)之間的距離公式,屬于基礎(chǔ)題.4.已知向量,滿(mǎn)足,,,,則在方向上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定義計(jì)算即可求得在方向上的投影向量.【詳解】因?yàn)?,,,,所以,所以在方向上的投影向量為.故選:C.5.在中,角所對(duì)的邊分別是,已知,且,當(dāng)取得最小值時(shí),的最大內(nèi)角的余弦值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理可得,再利用基本不等式求的最小值以及成立的條件,再根據(jù)余弦定理即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,即,可得,即,由正弦定理可得,又因,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,若取得最小值,則,此時(shí)最大角為角A,,所以的最大內(nèi)角的余弦值是.故選:C.6.如圖,太陽(yáng)灶是一種將太陽(yáng)光反射至一點(diǎn)用來(lái)加熱水或食物的設(shè)備,上面裝有拋物面形的反光鏡,鏡的軸截面是拋物線(xiàn)的一部分,已知太陽(yáng)灶的口徑(直徑)為4m,深度為0.5m,則該拋物線(xiàn)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為()A.0.25m B.0.5m C.1m D.2m【答案】D【解析】【分析】建立坐標(biāo)系,求出拋物線(xiàn)方程即可求解.【詳解】以該拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示:設(shè)此拋物線(xiàn)方程為,依題意點(diǎn)在此拋物線(xiàn)上,所以,解得,則該拋物線(xiàn)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.故選:D7.已知直線(xiàn),圓,若直線(xiàn)上存在兩點(diǎn),圓上存在點(diǎn),使得,且,則取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為圓心在直線(xiàn)上且半徑為的動(dòng)圓與圓有交點(diǎn),分直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系討論,利用圓心到直線(xiàn)的距離即可得解.【詳解】若直線(xiàn)上存在兩點(diǎn),圓上存在點(diǎn),使得,且,則條件等價(jià)于圓心(設(shè)為D)在直線(xiàn)上且半徑為的動(dòng)圓與圓有交點(diǎn),圓的圓心為到直線(xiàn)的距離,當(dāng)圓與直線(xiàn)相離時(shí),即時(shí),則圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離為,此時(shí)只需滿(mǎn)足即可,所以;當(dāng)時(shí),圓與直線(xiàn)有交點(diǎn),此時(shí)圓和直線(xiàn)上一定分別存在點(diǎn),使得,符合題意.綜上,.故選:C.8.如圖,雙曲線(xiàn)左右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線(xiàn)與該雙曲線(xiàn)的兩支分別交于、兩點(diǎn)(在線(xiàn)段上),⊙與⊙分別為與的內(nèi)切圓,其半徑分別為、,則的取值范圍是:().A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè),進(jìn)而可得.可求得,進(jìn)而求得的范圍即可.【詳解】設(shè),,,.在△與△中:,即:,,當(dāng)雙曲線(xiàn)的斜率為正的漸近線(xiàn)時(shí),取最大,此時(shí),,當(dāng)與軸重合時(shí),取最小,此時(shí),經(jīng)上述分析得:,.故選:C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:此題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),考查雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題,考查焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓,解題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線(xiàn)的性和圓的切線(xiàn)的性質(zhì)得到的范圍,數(shù)形結(jié)合的思的應(yīng)用.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.全部選對(duì)得6分,部分選對(duì)得部分分.9.設(shè)拋物線(xiàn)y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在軸上,若線(xiàn)段的中點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,且點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,則()A. B.點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2C. D.直線(xiàn)的方程為【答案】AC【解析】【分析】焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,,由拋物線(xiàn)定義可列方程解得,即可依次求得、,即可求解.【詳解】由題意得,焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為,設(shè)的坐標(biāo)為,由為的中點(diǎn)得,,即由點(diǎn)到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,得,解得,故A正確;則拋物線(xiàn)為,,則,故,所以的坐標(biāo)為0,2或,故B錯(cuò)誤;的面積為,故C正確;由、M0,2或知,直線(xiàn)的方程為,即,故D錯(cuò)誤.故選:AC10.已知曲線(xiàn).點(diǎn),,則以下說(shuō)法正確的是()A.曲線(xiàn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.曲線(xiàn)C存在點(diǎn)P,使得C.直線(xiàn)與曲線(xiàn)C沒(méi)有交點(diǎn)D.點(diǎn)Q是曲線(xiàn)C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q向作垂線(xiàn),垂足分別為A,B,則【答案】CD【解析】【分析】分的零的大小討論,得到曲線(xiàn)方程,并畫(huà)出圖形,由對(duì)稱(chēng)性可得A錯(cuò)誤;由雙曲線(xiàn)的定義可得B錯(cuò)誤;由漸近線(xiàn)方程可得C正確;由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得D正確;【詳解】當(dāng)時(shí),曲線(xiàn),即;當(dāng)時(shí),曲線(xiàn),即;不存在;時(shí),曲線(xiàn),即;時(shí),曲線(xiàn),即;畫(huà)出圖形如下:對(duì)于A,由圖可得A錯(cuò)誤,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,方程是以為上下焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn),當(dāng)時(shí),曲線(xiàn)C存在點(diǎn)P,使得,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,一三象限曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為,所以直線(xiàn)與曲線(xiàn)C沒(méi)有交點(diǎn),故C正確;對(duì)于D,設(shè),設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上,點(diǎn)在直線(xiàn),則由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得,,所以,又點(diǎn)Q是曲線(xiàn)C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn),代入曲線(xiàn)方程可得,故D正確;故選:CD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,M為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn),N為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論不正確的是()A.若,則M的軌跡長(zhǎng)度為B.若,則到直線(xiàn)的距離的最小值為C.若,則,且直線(xiàn)平面D.若,則與平面所成角正弦的最小值為【答案】BD【解析】【分析】分析點(diǎn)軌跡,求出軌跡長(zhǎng)度,可判斷A的真假;根據(jù)直線(xiàn)與圓上的點(diǎn)的距離范圍可判斷B的真假;根據(jù)面面平行,可證線(xiàn)面平行,判斷C的真假;根據(jù)線(xiàn)面角的概念求線(xiàn)面角正弦的最小值.【詳解】如圖:對(duì)A:因?yàn)?,所以,即點(diǎn)的軌跡是在平面內(nèi),以為圓心,以為半徑的圓的,故M的軌跡長(zhǎng)度為:,故A正確;對(duì)B:由A知:點(diǎn)的軌跡是在平面內(nèi),以為圓心,以為半徑的圓的一部分,且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,所以到直線(xiàn)的距離的最小值為,故B錯(cuò)誤;對(duì)C:根據(jù)正方體的性質(zhì),可知平面,又因?yàn)槠矫?,,所以平面,所以平面;又根?jù)正方體的性質(zhì),平面平面,所以平面.故C正確;對(duì)D:設(shè)到平面的距離為,則,又,,所以.設(shè)與平面所成角為,則又,所以,故D錯(cuò)誤.故選:BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:立體幾何線(xiàn)面角求解方法:(1)作出輔助線(xiàn),找到線(xiàn)面角,并結(jié)合余弦定理或勾股定理進(jìn)行求解.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用空間向量相關(guān)公式求解.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x+y+1=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)(3,4)關(guān)于直線(xiàn)x+y+1=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是,根據(jù)垂直和中點(diǎn)列方程組可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x+y+1=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,解得,所以點(diǎn)(3,4)關(guān)于直線(xiàn)x+y+1=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為:13.已知,是圓:(為圓心)上一動(dòng)點(diǎn),線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)圓的一般方程寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)而得到圓心坐標(biāo)和半徑,利用中垂線(xiàn)的性質(zhì)和橢圓的定義得到該點(diǎn)的軌跡形狀,再進(jìn)一步求出軌跡方程.【詳解】連接、、,則;將化為,即,,所以,故的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓,且,,所以,故的軌跡方程為.故答案為:.14.如圖①,用一個(gè)平面去截圓錐,得到的截口曲線(xiàn)是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究,其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinaldandelin(1794-1847)的方法非常巧妙,極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球,使得它們分別與圓錐的側(cè)面,截面相切,兩個(gè)球分別與截面相切于E,F(xiàn),在截口曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)A,過(guò)A作圓錐的母線(xiàn),分別與兩個(gè)球相切于C,B,由球和圓的幾何性質(zhì),可以知道,AE=AC,AF=AB,于是AE+AF=AB+AC=BC.由B,C的產(chǎn)生方法可知,它們之間的距離BC是定值,由橢圓定義可知,截口曲線(xiàn)是以E,F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓.如圖②,一個(gè)半徑為2的球放在桌面上,桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源P,則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長(zhǎng)軸,垂直于桌面且與球相切,,則橢圓的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用球與圓錐相切,得出截面,在平面圖形中求解,以及圓錐曲線(xiàn)的來(lái)源來(lái)理解切點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),求出,得出離心率.【詳解】切于,切于E,,球半徑為2,所以,,,中,,,故,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)知:球O與相切的切點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且,,c=4,橢圓的離心率為.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題要求有一定的空間圖形辨別能力,能從整體上認(rèn)識(shí)圖形,并且對(duì)圓錐曲線(xiàn)的來(lái)源有一定的認(rèn)識(shí),借助平面圖形來(lái)求解.四、解答題:本題共5小題,共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某學(xué)校為了解本校身體素質(zhì)情況,分別從男生中隨機(jī)抽取人的體育測(cè)試成績(jī)得到樣本甲,從女生中隨機(jī)抽取人的體育測(cè)試成績(jī)得到樣本乙,根據(jù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖.已知乙樣本中數(shù)據(jù)在的有個(gè).(1)求和乙樣本直方圖中的值;(2)試估計(jì)該校女生本次體育測(cè)試成績(jī)的平均值和男生本次體育測(cè)試成績(jī)的上四分位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表);(3)采用分層抽樣的方法從甲樣本數(shù)據(jù)中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中抽取人,并從這人中任取人,求這兩人分?jǐn)?shù)都在中的概率.【答案】(1),(2)平均值為,四分位數(shù)為(3)【解析】【分析】(1)由頻率分布直方圖得乙樣本中數(shù)據(jù)在的頻率為,這個(gè)組學(xué)生有人,由此能求出,由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖能求出;(2)利用乙樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖,即可求出該校女生本次體育測(cè)試成績(jī)的平均值,利用甲樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖可求出男生本次體育測(cè)試成績(jī)的上四分位數(shù);(3)由頻率分布直方圖可知從分?jǐn)?shù)在中人數(shù)分別為:人,人,人,利用列舉法,求出基本事件的個(gè)數(shù)及分?jǐn)?shù)都在中的個(gè)數(shù),再利用古典概率公式,即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題有,解得,又由,得到.【小問(wèn)2詳解】由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖知,該校女生本次體育測(cè)試成績(jī)的平均值為,設(shè)男生本次體育測(cè)試成績(jī)的上四分位數(shù)為,由甲樣本數(shù)據(jù)直方圖知,,解得.小問(wèn)3詳解】甲樣本數(shù)據(jù)直方圖知的樣本比為:,所以抽取的人中,分?jǐn)?shù)在中人數(shù)分別為:人,人,人,將從分?jǐn)?shù)在中抽取的名學(xué)生記為,將從分?jǐn)?shù)在中抽取的名學(xué)生記為,將從分?jǐn)?shù)在中抽取的名學(xué)生記為,則從這人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有:,,共計(jì)個(gè),又兩人分?jǐn)?shù)都在中的有,共計(jì)個(gè),所以這兩人分?jǐn)?shù)都在中的概率為.16.如圖,已知四棱錐的底面是菱形,平面平面,為等腰直角三角形,,,為的中點(diǎn).(1)線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn),使得平面PAD?若存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)求四面體的體積.【答案】(1)在上存在一點(diǎn),且F為的中點(diǎn),使得平面PAD(2)【解析】【分析】(1)取中點(diǎn),可說(shuō)明四邊形是平行四邊形,即可解決問(wèn)題;(2)取AD的中點(diǎn)H,先證得平面ABCD.再通過(guò)等體積即可求解.【小問(wèn)1詳解】在上存在一點(diǎn),且為的中點(diǎn),使得平面.理由如下:取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接.為的中點(diǎn),,,,四邊形是平行四邊形,.平面,平面,平面.【小問(wèn)2詳解】如圖,取的中點(diǎn),連接.為等腰直角三角形,,.平面平面,平面平面,平面,平面.又為的中點(diǎn),點(diǎn)到平面的距離等于的一半,又,,,點(diǎn)到平面的距離等于.在菱形中,,.,,,四面體的體積為.17.在中,,.(1)求的值;(2)若,求的面積;(3)設(shè)為內(nèi)一點(diǎn),,,求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)利用正弦定理得到,再由,利用兩角差的余弦公式展開(kāi),再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得;(2)由余弦定理求出、,再由面積公式計(jì)算可得;(3)在中,設(shè),,即可表示出,,在中利用正弦定理得到,再由兩角差的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切,即可得解.【小問(wèn)1詳解】在中由正弦定理,又,所以,又,所以,所以,即,即,所以;【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?,在中由余弦定理,即,解得(?fù)值已舍去),則,所以;【小問(wèn)3詳解】在中,設(shè),令,則,,在中,可得,,由正弦定理,得,所以,可得,即.18.已知圓.(1)過(guò)點(diǎn)作圓C的切線(xiàn)l,求l的方程;(2)若直線(xiàn)AB方程為與圓C相交于A、B兩點(diǎn),求.(3)在(2)的前提下,若點(diǎn)Q是圓上的點(diǎn),求面積的最大值.【答案】(1)或;(2);(3).【解析】【分析】(1)討論切線(xiàn)l斜率是否存在設(shè)方程,利用相切時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑列關(guān)系計(jì)算即得結(jié)果.(2)計(jì)算到直線(xiàn)AB的距離d,再利用弦三角形的勾股定理,即得弦長(zhǎng).(3)求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大值,再求出三角形面積.【小問(wèn)1詳解

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