江蘇省啟東市 2023-2024學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)）含答案

2023-2024學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)）學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若非空且互不相等的集合M，N，P滿足：，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，得到集合的包含關(guān)系，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷即可；【詳解】由題意可知，是的子集，是的子集，所以是的子集，所以.故選：C.2.設(shè)，則“”的充要條件是（）A.a，b不都為1 B.a，b都不為0C.a，b中至多有一個(gè)是1 D.a，b都不為1【答案】D【解析】【分析】由，求得且，即可求解.【詳解】由，可得，所以且，所以“”的充要條件是“都不為”.故選：D.3.設(shè)a，b，m均為正數(shù)，且，那么（）A. B. C. D.與的大小隨m變化而變化【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)，作差比較，即可求解.【詳解】由，因?yàn)?，且為正?shù)，可得，所以，即，所以.故選：C.4.某滅活疫苗的有效保存時(shí)間單位：小時(shí)與儲藏的溫度單位：滿足的函數(shù)關(guān)系為為常數(shù)，其中，是一個(gè)和類似的無理數(shù)，叫自然對數(shù)的底數(shù))，超過有效保存時(shí)間，疫苗將不能使用.若在時(shí)的有效保存時(shí)間是1080h，在時(shí)的有效保存時(shí)間是120h，則該疫苗在時(shí)的有效保存時(shí)間為（）A.15h B.30h C.40h D.60h【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的公式，即可求解．【詳解】，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，解得，

當(dāng)時(shí)，

故選：C5.若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可得，即可求解解析式，通過排除可得答案．【詳解】解：由得：，即，由解得：，由，排除BC．由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（指數(shù)爆炸性）排除D．故選：A6.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將化為，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，，即可得.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，，所以.故選：D7.已知，，且，則的最小值為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】【分析】，展開后利用基本不等式即可求解．【詳解】因?yàn)?，，且，∴，?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號成立．故選：C8.已知函數(shù)，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先確定函數(shù)的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的奇偶性，再依次判斷題中的不等式是否成立即可．【詳解】由函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)得：，在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，令函數(shù)，則，所以，則函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，故.故選：A．二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷A；例舉法可判斷B；同時(shí)除以可判斷C；去絕對值并結(jié)合對數(shù)函數(shù)可判斷D.【詳解】因?yàn)?，對A，為減函數(shù)，所以，A項(xiàng)正確；對B，，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對C，，因?yàn)椋酝瑫r(shí)除以有，故C項(xiàng)正確；對D，因?yàn)?，所以，又，所以，對?shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，D項(xiàng)正確.故選：ACD10.給出定義：若，則稱為離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A.函數(shù)值域?yàn)锽.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的定義，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判定即可.【詳解】根據(jù)定義知函數(shù)的定義域?yàn)?又，則即所以故函數(shù)值域?yàn)?，正確；函數(shù)的圖象如下圖所示，有圖可知函數(shù)是偶函數(shù)，正確；函數(shù)在上有增有減，錯(cuò)誤；由圖可知的圖象關(guān)于對稱，正確.故選：11.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意由是定義在R上的奇函數(shù)得函數(shù)的周期為4，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/p>

為奇函數(shù)且滿足

，故，故可知

的周期為4，所以

，

，因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，

，所以

，即,故選：ABD12.已知定義在上的函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x>2時(shí)，滿足為常數(shù))，則下列敘述中正確的為（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.當(dāng)時(shí)，在上恒成立D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】代入即可求解A，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，結(jié)合平移即可求解B，根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合臨界情況，舉反例可判斷C，利用數(shù)形結(jié)合可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，A正確；的圖象為：由圖象可知，時(shí)，的值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，的圖象是由的圖象向右平移2個(gè)單位得到，所以的值域?yàn)?,2，B正確；當(dāng)時(shí)，，畫出和的圖象如下：類指數(shù)函數(shù)的圖象剛好經(jīng)過的圖象中每個(gè)"山頂"，若在上恒成立，即類指數(shù)函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，這個(gè)不一定恒成立，在每個(gè)"山項(xiàng)"的左邊，的圖象既可以在"山坡"上方，也可以穿過"山坡"在下方，臨界情況是相切，如取，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，的圖象如下：直線剛好經(jīng)過第n個(gè)"山峰”的“山頂"，它與前面?zhèn)€"山峰"都有兩個(gè)交點(diǎn)，與后面的“山峰"沒有交點(diǎn)，共個(gè)交點(diǎn)，D正確;故選：ABD【點(diǎn)睛】函數(shù)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的解析式可以為_________寫一個(gè)即可)【答案】

(答案不唯一)【解析】【分析】根據(jù)常見冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)

在

0,+∞

上單調(diào)遞減，所以

，又因?yàn)?/p>

為偶函數(shù)，所以

適合題意．故答案為:

(答案不唯一).14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法直接判斷即可.【詳解】由得函數(shù)定義域：，解得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞減，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法得在上單調(diào)遞增，故答案為：.15.已知且滿足，則最小值為_____【答案】【解析】【詳解】由a＞0，b＞0，且滿足3a+b=a2+ab，∴b=，解得1＜a＜3．則2a+b=2a+=a﹣1++3≥+3=2+3，當(dāng)且僅當(dāng)a=1+，b=1時(shí)取等號．故答案為3+2．點(diǎn)睛：本題主要考查基本不等式，其難點(diǎn)主要在于利用三角形的一邊及這條邊上的高表示內(nèi)接正方形的邊長.在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.16.已知函數(shù)，，則______；滿足不等式的實(shí)數(shù)b的取值范圍為______.【答案】①.3②.【解析】【分析】取代入得可得，分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合不等式即可求解．【詳解】由的定義域?yàn)镽，且知，，所以，故，又函數(shù)在R上單調(diào)遞減，由，得，則，解得，故b的取值范圍為，故答案為：3；．四、解答題：本題共6小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知一元二次不等式的解集為A，關(guān)于x的不等式的解集為B（其中）．（1）求集合B；（2）在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題的______中，若問題中的實(shí)數(shù)m存在，求m的取值范圍：若不存在，說明理由．問題：是否存在實(shí)數(shù)m，使得______？（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）．【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由，得，從而根據(jù)m的范圍，分類討論，解一元二次不等式即可；（2）由（1），若選擇①，則，從而列式求得m的取值范圍；若選擇②，，根據(jù)m的范圍，分類討論，利用交集運(yùn)算得結(jié)論；若選擇③，，則，由此可求出m的取值范圍．【小問1詳解】解：由，即．①時(shí)，；②時(shí)，或；③時(shí)，；④時(shí)，不等式無解；⑤時(shí)，．綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【小問2詳解】由（1），若選擇①，則，由（1）可知：只有當(dāng)，，則有，所以；另外，當(dāng)時(shí)，也成立，所以選擇①，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是；若選擇②，，由（1）可知：當(dāng)，，時(shí)，都能符合條件；當(dāng)，，則有，所以所以選擇②，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是或；若選擇③，，則，由（1）可知：只有當(dāng)時(shí)，成立；另外，當(dāng)時(shí)，也成立所以選擇③，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．18.已知命題“使不等式成立”是假命題（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)題意得出命題的否定“，不等式”成立是真命題，然后由或求解即可；（2）根據(jù)題意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槊}“，不等式”成立是假命題，所以命題的否定“，不等式”成立是真命題，所以或，解得或，故集合；【小問2詳解】因?yàn)?，即，所以，因?yàn)槭羌系谋匾怀浞謼l件，令集合，則集合是集合的真子集，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是19.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算即可;

（2）進(jìn)行對數(shù)的運(yùn)算即可.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式20.已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若，時(shí)，有.（1）判斷函數(shù)在上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）若對所有，恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）是增函數(shù)，證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在[﹣1，1]上是的增函數(shù)；（2）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式≤m2﹣5mt-5進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)在[－1，1]上是增函數(shù).設(shè)∵是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，∴.又，∴，由題設(shè)有，即，所以函數(shù)在[－1，1]上是增函數(shù).（2）由（1）知，∴對任意恒成立，只需對]恒成立，即對恒成立，設(shè)，則，解得或，∴的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．21.已知函數(shù)，函數(shù)（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明；

（2）遇到恒成立的問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為求最值的問題，從而得出關(guān)于a的不等式組，求解即可.【小問1詳解】在其定義域上單調(diào)遞增.證明如下：設(shè)任意，則有：

，

，

，，，

，，

在上單調(diào)遞增，，即

.

函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1）知：當(dāng)時(shí)，，

由不等式對恒成立，

得，

為單調(diào)遞增函數(shù)，

，

，

解得

.

實(shí)數(shù)a的取值范圍22.已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1．設(shè)．（1）求的值;（2）若不等式在上有解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;（3）若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)的函數(shù)性質(zhì),即可判斷在上單調(diào)性,即有,解出即可;(2)根據(jù)(1)中結(jié)論,代入題中,先對式子全分離,再用換元求出其最值即可得出結(jié)果;(3)將(1)中結(jié)論,代入題中式子,令,根據(jù)圖像變換畫出函數(shù)圖象,根據(jù)有三個(gè)不同的根及圖象性質(zhì)可知,只需有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解、,且有,,或,成立即可,根據(jù)二次函數(shù)根的分布問題,分別列出不等式解出即可.【小問1詳解】解:由題知,因?yàn)?所以為開口向上的拋物線,且有對稱軸為,所以在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),則,即,解得;【小問2詳解】由(1)得,則,因?yàn)樵谏嫌薪?即,使得成立,因?yàn)?所以有成立,令,因?yàn)?所以,即,使得成立,只需即可,記,因?yàn)?得,所以k的取值范圍是;【小問3詳解】因?yàn)橛腥齻€(gè)不同實(shí)數(shù)解,即有三個(gè)不同的根