江蘇省常熟市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年江蘇省常熟市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線x-y-3=0A.π3 B.2π3 C.π2.等比數(shù)列{an}中，a1=2，a2A.8 B.16 C.32 D.643.直線l:x-2y-A.相離 B.相切 C.相交 D.無(wú)法判斷4.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=12A.-1 B.2 C.3 D.5.若直線x+(1+m)y-2=0和直線mxA.-2 B.-2或1 C.1 6.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)S11為定值時(shí)，2aA.11 B.13 C.15 D.不能確定7.若點(diǎn)P在直線x+y+3=0上，M是圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，NA.13 B.11 C.9 D.88.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，aA.300 B.29 C.210 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SnA.若an=-2n+11，則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5最大

B.若等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，則公比q滿(mǎn)足0<q<1

C.已知等差數(shù)列{an10.下列結(jié)論中正確的是(

)A.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,3)，且在x，y軸上截距相等，則直線l的方程為x+y-5=0

B.已知圓O:x2+y2=4和圓C:(x-2)2+(y-3)2=1，則圓O和圓C有4條公切線

C.若直線l:x-y+m=0上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O:x2+11.如圖1，在長(zhǎng)度為1的線段AB上取兩個(gè)點(diǎn)C，D，使得AC=DB=14AB，以CD為邊在線段AB的上方作一個(gè)正方形，然后擦掉CD，就得到圖2;對(duì)圖2中的最上方的線段EF作同樣的操作，得到圖3;依此類(lèi)推，我們就得到以下的一系列圖，設(shè)為圖1，圖2，圖3，?，圖n，?，各圖中線段的長(zhǎng)度和為an，數(shù)列{an}A.S5=898 B.數(shù)列{an}是等比數(shù)列

C.存在正實(shí)數(shù)m三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若直線l1:x+my-2=0和直線l13.已知直線m:2x+y-1=0與直線n平行，且兩條直線之間的距離為514.大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，?，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類(lèi)推，求滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)N:N>100四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,4)，直線l的方程為3(1)求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)(2)求直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)直線l'的方程.16.(本小題15分)已知數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}，Sn為數(shù)列{a(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列(2)若數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn=117.(本小題15分)已知圓C過(guò)兩點(diǎn)P(3,2)，Q(5,4)，圓心在直線x(1)求圓C的方程;(2)若過(guò)點(diǎn)A(4,1)的直線l1與圓C交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，且|MN|=2(3)若圓D的半徑為3，圓心在直線x-y+2=0上，且與圓C外切，求圓D18.(本小題17分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的n∈N*，都有S2n=kSn(k為非零常數(shù))，則稱(chēng)數(shù)列{an}為“和等比數(shù)列”，其中k為和公比.已知{(1)求數(shù)列{bn(2)若不等式Tn-3n+42219.(本小題17分)已知圓O:x(1)過(guò)點(diǎn)M作圓O的切線，求切線的方程;(2)已知A(2,4)，設(shè)P為滿(mǎn)足方程PA2+PO2=34的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓O引切線，切點(diǎn)為B，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)N，使得PB(3)過(guò)點(diǎn)M作直線l交圓O于兩個(gè)不同的點(diǎn)C，D(線段CD不經(jīng)過(guò)圓心O)，分別在點(diǎn)C，D處作圓O的切線，兩條切線交于點(diǎn)E，求證：點(diǎn)E在一條定直線上，并求出該直線的方程.答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查直線的傾斜角的定義，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)斜率直接求出傾斜角即可.

【解答】解：設(shè)直線x-y-3=0的傾斜角α，0≤α<π，

因?yàn)橹本€x-y-3=0的斜率為1，2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

則a1q?a1q2=32，

因?yàn)閍1=2，3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)圓方程得出圓心坐標(biāo)，求出圓心到直線的距離，與圓的半徑比較，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：圓C:(x-1)2+(y-2)2=9的圓心為C(1,2)，半徑為3，4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了遞推公式和數(shù)列的周期性，考查學(xué)生的分析和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

由題意可得該數(shù)列是周期為3的數(shù)列，即可得結(jié)果.【解答】

解：∵a1=12，an+1=1-1an，

∴a2=1-2=-1，5.【答案】C

【解析】【分析】本題考查兩直線平行的條件，屬于基礎(chǔ)題.

由兩直線平行得關(guān)于m的方程，求出m，然后排除重合的情況即可求解.【解答】解：因?yàn)橹本€x+(1+m)y-2=0和直線mx+2y+4=0平行，

所以1×2=m(1+m)，

解得m=1或m=-2，

當(dāng)m=16.【答案】B

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和公式，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和公式可得a1+5【解答】

解：因?yàn)镾11=11a1+a112，當(dāng)S11為定值時(shí)，即7.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了圓中的最值問(wèn)題、點(diǎn)、直線間的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，屬于中檔題.

求出兩個(gè)圓的圓心，這兩個(gè)圓心在直線y=-x-3的同側(cè)，求出O關(guān)于直線y=-x-3對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，則PM+PN≥PO-1+PC-4≥CQ-5=8，即可求解此題.

【解答】解：圓x2+y2=1的圓心O0,0，半徑為1，

圓(x-9)2+(y-2)2=16的圓心C9,2，半徑為4，

O0,0和

C9,2在直線y=-x-3的同側(cè)，

設(shè)O點(diǎn)關(guān)于直線y=-x-3對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Qm,n，

則點(diǎn)(8.【答案】A

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系及數(shù)列求和，屬于中檔題.

由遞推關(guān)系得{an}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為

a1=1，公差為3的等差數(shù)列，

{an}的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為

a2=2，公差為3的等差數(shù)列，再利用分組轉(zhuǎn)化求和即可求解.

【解答】解：設(shè)n為奇數(shù)，則n+1是偶數(shù)，n+2是奇數(shù)，

則

an+1=an+1，

①

an+2=an+1+2，

②

①+②得：

an+2=an+3.

9.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬中檔題.

利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【解答】

解：對(duì)于選項(xiàng)A，由an=-2n+11可得a5>0，a6<0，故數(shù)列{an}前5項(xiàng)的和最大，故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)a1<0,q>1時(shí)，等比數(shù)列{an}也是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，S2021=2021(a1+a2021)2=2021a1011，∴10.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查截距式方程，圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，與圓相關(guān)的軌跡問(wèn)題，兩圓的公切線，點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值問(wèn)題，屬于中檔題.

對(duì)于A，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線也滿(mǎn)足條件，故可判斷A;

對(duì)于B，判斷兩圓的位置關(guān)系即可；

對(duì)于C，可判斷點(diǎn)P的軌跡是圓心為O，半徑為OP的圓，又點(diǎn)P在直線l上，故直線l與該圓有公共點(diǎn)，易求出m的取值范圍;

對(duì)于D，弦AB中點(diǎn)D的軌跡是以NC為直徑的圓，求出|MD|的最值，即可求出【解答】

解：對(duì)于A，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=32x，滿(mǎn)足條件，∴A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，圓O:x2+y2=4的圓心為O(0,0)，半徑r1=2，

圓C:(x-2)2+(y-3)2=1的圓心為C(2,3)，半徑r2=1，

則圓心距|OC|=22+32=13，又r1+r2=3，

由13>3，可知|OC|>r1+r2，

∴兩圓相離，∴圓O與圓C共有4條公切線，∴B正確;

對(duì)于C，連接OA，OB，OP，如圖，

則易知四邊形OAPB為正方形，

∴|OP|=2r=22，∴點(diǎn)P的軌跡是圓心為O，半徑為22的圓，

又點(diǎn)P在直線l上，故直線l與該圓有公共點(diǎn)，

∴圓心11.【答案】AD

【解析】【分析】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的求和公式，同時(shí)考查了歸納推理的應(yīng)用，屬于中檔題．

an+1-an=22n，利用累加法求出數(shù)列{【解答】

解：由題意知，a1以此類(lèi)推可得an故a=1+2故數(shù)列an不是等比數(shù)列，故BS5=3×5-2(1-因?yàn)閍n=3-1則數(shù)列Sn單調(diào)遞增，所以，數(shù)列S因此，不存在正數(shù)m，使得Sn<man=3-12n-212.【答案】1

【解析】【分析】本題考查了兩直線垂直的判定及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)兩條直線垂直的充要條件可得m-【解答】解：因?yàn)橹本€l1:x所以m-3+2m=0故答案為：1.13.【答案】2x+y【解析】【分析】本題考查兩平行直線方程關(guān)系以及兩平行線間的距離，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)與直線m平行的直線n的方程為2x+y+m=0，再根據(jù)兩平行線距離公式求出m的值即可求解.

【解答】設(shè)與直線m平行的直線n的方程為2x+y+m=0，

所以-1-m22+12=14.【答案】440

【解析】【分析】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及分組求和，屬于較難題.

由等差數(shù)列的求和公式求得總共的項(xiàng)數(shù)，利用分組求和求得所有項(xiàng)數(shù)的和，由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪，只需將-【解答】

解：由題意可知：20是第一組，20,21是第二組，20,21,22是第三組，，

根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求得每組和分別為：21-1，22-1，23-1，?，2n-1，?，

每組含有的項(xiàng)數(shù)為：1，2，3，?，n，?，

前n組總共的項(xiàng)數(shù)為1+2+3+?+n=(1+n)n2，

前n組所有項(xiàng)數(shù)的和為Sn=21-1+22-1+23-1+?+2n-1

=(21+22+23+?+2n15.【答案】解：(1)設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(x',y').

因?yàn)辄c(diǎn)A與A'關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，所以AA'⊥l，且AA'的中點(diǎn)在l上，

而直線l的斜率是-3，所以kAA'=13.

又因?yàn)閗AA'=y'-4x'+4,所以y'-4x'+4=13…①．

再因?yàn)橹本€l的方程為3x+y-2=0，AA'的中點(diǎn)坐標(biāo)是(x'-42,y'+42)，

所以3?x'-42+y'+42-2=0…②．

由①和②，解得x【解析】本題考查與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱(chēng)的直線方程的求法，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的求法，考查計(jì)算能力轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．

(1)設(shè)出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)，利用斜率乘積等于-1，中點(diǎn)坐標(biāo)公式在對(duì)稱(chēng)軸上，列出方程組求解即可；

(2)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)直線l'，兩條直線平行，設(shè)出l'的方程，通過(guò)直線l上的一點(diǎn)M(0,2)16.【答案】解：(1)已知Sn=2an-2①，

當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1-2，得a1=2，

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=2an-1-2②，

①-②得：an=2an-2an-1，即an=2an-1，

又a1=2≠0，an≠0【解析】本題主要考查遞推公式、數(shù)列的前n項(xiàng)和及Sn與an的關(guān)系、裂項(xiàng)相消法求和等，屬于中檔題.

(1)利用已知條件分別得到anan-1=2(n≥2,n17.【答案】解：(1)依題意，設(shè)圓心C(a,a+1)，半徑為r，則|PC|=|QC|=r，

即(a-3)2+(a+1-2)2=(a-5)2+(a+1-4)2，解得a=3，

所以C(3,4)，r=|PC|=2，得圓C:(x-3)2+(y-4)2=4.

(2)設(shè)圓C到直線l1的距離為d，由|MN|=2r2-d2=23，得d=1，【解析】本題考查了求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題;

(1)依題意，設(shè)圓心C(a,a+1)，半徑為r，|PC|=|QC|=r，列得關(guān)于a的方程，解得即可.

(2)弦長(zhǎng)|MN|=23可得圓C到直線l1的距離為18.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，前n項(xiàng)和為An，

則An=nb1+n(n-1)2d=d2n2+(1-d2)n，

所以A2n=2dn2+(2-d)n.

因?yàn)閧bn}是“和等比數(shù)列”，

所以A2n=kAn，即2dn2+(2-d)n=kd2n2+(k-kd2)n，對(duì)任意的n∈N*都成立，

所以2d【解析】本題考查了數(shù)列的新定義問(wèn)題、等差數(shù)列以及錯(cuò)位相減求和，是較難題.

(1)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，前n項(xiàng)和為An，由{bn}是“和等比數(shù)列”，所以A2n=kAn，化簡(jiǎn)可得k的值；

(2)由(1)可知19.【答案】解：(1)當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，顯然x=1與圓O:x2+y2=1相切，

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線為y=k(x-1)+3，由圓心到切線的距離為1，

所以|3-k|1+k2=1