選擇性必修第一冊人教A版2024-2025學年上學期期中高二數(shù)學模擬測試卷含答案

選擇性必修第一冊人教A版2024-2025學年上學期期中高二數(shù)學模擬測試卷（命題范圍：空間向量與立體幾何、直線與圓方程、橢圓）一、單選題1．直線的傾斜角量（

）A． B． C． D．2．已知空間向量，，若，則（

）A．4 B．6 C． D．3．已知直線與直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．如圖，在直三棱柱中，分別是棱和的中點，點是線段上的動點（不包括端點）．若，則線段的長度是（

） B． C． D．6．“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點Px,y是陰影部分（包括邊界）的動點，則值不可能是（

）A．B．－1C．0D．17．“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，已知直線與圓交于兩點，則的面積的最大值為（

）A．1 B． C． D．二、多選題9．空間直角坐標系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．點關(guān)于平面對稱的點的坐標為C．若，則 D．若，，則10．在平面直角坐標系中，已知長為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，線段的中點的軌跡為曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于原點對稱C．點在內(nèi) D．所圍成的圖形的面積為11．如圖，在棱長為2的正方體中，點在平面內(nèi)且，則以下結(jié)論正確的是（

）A．異面直線與所成的角是B．三棱錐的體積為C．存在點，使得D．點到平面距離的最小值為三、填空題12．過點且在軸?軸上截距相等的直線方程為.13．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是棱的中點.則點到直線的距離為.14．若圓上有四個點到直線的距離為，則實數(shù)a的取值范圍是．四、解答題15．已知的頂點邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.求：(1)頂點的坐標；(2)邊的垂直平分線方程.16．如圖，四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，過直線的平面與棱分別交于點．

(1)證明：；(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值．17．已知圓經(jīng)過點和，且圓心在直線：上.(1)求圓的標準方程；(2)若過點作圓的切線，求該切線方程.18．在平面直角坐標系中，已知點，動點滿足直線與直線的斜率之積為，設點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)已知點，直線與軸交于點，直線與交于點，證明：.19．如圖，三棱柱中，，，，點為的中點，且.(1)求證：平面；(2)若為正三角形，求與平面所成角的正弦值.參考答案題號12345678910答案ACADAABDACDABD題號11答案BCD1．【詳解】直線的斜率為，又傾斜角的范圍在之間，所以直線的傾斜角是.故選：A.2．【詳解】因為，因為，所以，解得.故選：C.3．【詳解】若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4．【詳解】令橢圓長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，依題意，是直角三角形，而坐標原點O為斜邊的中點，則，而，即有，，，即，于是得，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：D5．【詳解】在直三棱柱中，，以A為原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則．由于，所以，解得，所以線段的長度為．故選：A．6．【詳解】記，則為直線AP的斜率，故當直線AP與半圓，相切時，斜率k最小，設：，則，解得或(舍)，當直線過點時，直線AP的斜率取得最大值1，即的最大值為1，因此，故選：A．7．【詳解】因為橢圓：的離心率為，則，解得，即橢圓的方程為，于是橢圓的上頂點，右頂點，經(jīng)過兩點的橢圓切線方程分別為，，則兩條切線的交點坐標為，顯然這兩條切線互相垂直，因此點在橢圓的蒙日圓上，圓心為橢圓的中心O，橢圓的蒙日圓半徑，所以橢圓的蒙日圓方程為.故選：B8．【詳解】根據(jù)題意可得直線恒過點，該點在已知圓內(nèi)，圓的圓心為，半徑，作于點，如下圖所示：易知圓心到直線的距離為，所以，又，可得；因此可得，所以的面積為.故選：D9．【詳解】由題意，A正確；關(guān)于平面對稱的點的坐標坐標相同，坐標相反，因此點關(guān)于平面對稱的點的坐標為，B錯，若，則，所以，C正確；若且，則，解得，D正確，故選：ACD．10．【詳解】設線段的中點為，則由題意可得，，所以，即，所以曲線是以原點為圓心，為半徑的圓，選項A：易知直線過圓心，故A正確；選項B：顯然關(guān)于原點對稱，故B正確；選項C：因為，所以點在上，故C錯誤；選項D：易知所圍成的圖形的面積為，故D正確；故選：ABD.11.【詳解】對于A，∵，∴異面直線與所成的角等于與所成的角，∵為正三角形，∴，則異面直線與所成的角是，故A錯誤；對于B，∵，面，面，∴面，∵，面，面，∴面，又∵，面，∴面面，點在平面內(nèi)，則點到面的距離相等，三棱錐的體積為，故B正確；

對于C，當為中點時，滿足點在平面內(nèi)且，∵，，∴，即，故C正確；

對于D，分別取的中點，三棱錐為正三棱錐，過作面于，則為正的中心，∵，∴，，由，得，∴，∴，∵，∴，∴的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即正的內(nèi)切圓，該內(nèi)切圓與的交點為，如圖，當與重合時，點到平面距離取最小值，作于，,面,,,即點到平面距離的最小值為，故D正確.

故選：BCD.12．【詳解】設直線在軸?軸上的截距均為，①若，即直線過原點，設直線方程為，代入，可得，故直線方程為，即；②若，則直線方程為，代入可得，解得，故直線方程為.綜上所述：所求直線方程為或.故答案為：或.13．【詳解】由題知，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，所以，因為，所以，所以點到直線的距離為.故答案為：14．【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為圓上有四個點到直線的距離為，所以圓心到直線的距離，所以，解得．故答案為：．15．【詳解】（1）所在的直線方程為，則直線斜率，由，得邊所在直線方程為，整理得.，解得，所以點的坐標為.

（2）設，為中點，則.，解得，，則中點為，，垂直平分線的斜率為，垂直平分線的方程為，整理得.16．【詳解】（1）證明：因為四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，且平面，且，所以平面，因為平面，平面平面，且平面，所以，又，所以．（2）建立如圖所示的空間直角坐標系．

由（1）知且，則，則A0,0,0，，，，，，所以，，，，設平面的一個法向量為n1=x則，得，設平面的一個法向量為，則，得，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．17．【詳解】（1）設圓的標準方程為，因為圓經(jīng)過和點，且圓心在直線上，所以，解得：，所以圓的標準方程為.（2）當直線的斜率不存在時，，此時圓心到直線的距離為5，等于半徑，故滿足題意；當直線的斜率存在時，設，即，則點到直線的距離為圓的半徑，即，解得，此時.綜上，直線l的方程為或.18．【詳解】（1）由題意可設，且，則，所以曲線的方程為.（2）當，不妨取，滿足曲線的方程，則的方程為，可得，此時可得，又，故；當不垂直于時，設，則直線的方程為，

聯(lián)立，得，所以，則，故，又，故，即，所以