2024-2025學年上海市浦東新區(qū)洋涇中學高二（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市浦東新區(qū)洋涇中學高二（上）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共4小題，共14分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設a、b均為非零實數(shù)且a>b，則下列結論中正確的是(

)A.a?2>b?2 B.a?1>2.設α，β是兩個不同的平面，直線m?α，則“對β內的任意直線l，都有m⊥l”是“α⊥β”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知三棱柱ABC?A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，且AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA.5.5 B.6 C.6.5 D.74.若三棱錐A?BCD的側面ABC內一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成圖形可能是(

)A. B.

C. D.二、填空題：本題共10小題，共34分。5.已知集合A={?1,1,2,4}，B={x|2x?3≤0}，則A∩B=______．6.若復數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位)，則z?=______．7.已知函數(shù)f(x)=sin(x+φ)(φ>0)是偶函數(shù)，則φ的最小值是______．8.在△ABC中，角A、B及C所對邊的邊長分別為a、b及c，已知A=π6,B=π4,a=9.已知a>0,b>0,1a+1b10.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1=1，a811.圓錐側面展開圖扇形的圓心角為π3，底面圓的半徑為1，則圓錐的側面積為______．12.把一個表面積為16π平方厘米的實心鐵球鑄成一個底面半徑與球的半徑一樣的圓柱(假設沒有任何損耗)，則圓柱的高是______厘米．13.已知函數(shù)f(x)滿足：f(x)=xx+1,x≥0?f(?x),x<0，則不等式14.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=1，點P滿足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，則下列說法中，正確的有______.(請?zhí)钊胨姓_說法的序號)

①當λ=1時，△AB1P的周長為定值；

②當μ=1時，三棱錐P?A1BC的體積為定值；三、解答題：本題共5小題，共52分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題8分)

已知空間中三點A(2,0,?2)、B(1,?1,?2)、C(3,0,?4)，設a=AB，b=AC．

(1)若|c|=3，且c//BC，求向量c；

(2)16.(本小題8分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BA⊥BC，BA=BC=BB1=2．

(1)求異面直線AB117.(本小題8分)

如圖所示，圓錐的頂點為P，底面中心為O，母線PB=4，∠AOB=120°，且OB=2．

(1)求圓錐的體積；

(2)求二面角P?AB?O的大小(結果用反三角表示)．18.(本小題14分)

如圖，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD=2,∠A=60°，E為AD中點，點O，F(xiàn)分別為BE，DE的中點，將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面ABE⊥平面BCDE(如圖)．

(1)求證：BE⊥平面A1OC．

(2)求直線A1B與平面A1CE所成角的正弦值；

(3)側棱19.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上都有定義，對于任意的x1，x2∈D，當x1<x2時，g(x1)≤f(x1)?f(x2)x1?x2≤g(x2)或g(x2)≤f(x1)?f(x2)x1?x2≤g(x1)成立，則稱g(x)是區(qū)間D上f(x)的限制函數(shù)．參考答案1.D

2.A

3.C

4.D

5.{?1,1}

6.1?i

7.π28.29.2

10.?2

11.6π

12.8313.[?1,+∞)

14.②④

15.解：(1)根據(jù)題意，B(1,?1,?2)、C(3,0,?4)，則BC=(2,1,?2)，

若c//BC，設c=tBC=(2t,t,?2t)，

又由|c|=3，則4t2+t2+4t2=9t2=9，解可得t=±1，

故c=(2,1,?2)或(?2,?1,2)；

(2)根據(jù)題意，a=AB=(?1,?1,0)16.解：(1)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BA⊥BC，

所以BA，BB1.，BC兩兩互相垂直，

以B為原點，BA，BB1.，BC所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

則B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,0,2)，A1(2,2,0)，B1(0,2,0)，C1(0,2,2)，

所以AB1=(?2,2,0)，A1C1=(?2,0,2)，

設異面直線AB1與A1C1所成角為θ，θ∈[0,π2]，

所以cosθ=|cos<AB1,A1C1>|=|AB1?A17.解：(1)圓錐的高OP=PB2?OB2=16?4=23，

則圓錐的體積為V=13π?OB2?OP=13π×4×23=833π；

(2)取AB的中點G，連接PG，OG，

因為OA=OB，PA=PB，所以OG⊥AB，PG⊥AB，

由圖可知，二面角P?AB?O為銳角，

18.解：(1)證明：因為BC/?/DE，且BC=DE，則四邊形BCDE是平行四邊形，

則BE=CD，又四邊形ABCD為等腰梯形，則AB=BE，

結合∠A=60°可得△A1BE是等邊三角形，

又O為BE中點，則A1O⊥BE，

如圖連接CE，注意到BC/?/AE，BC=AE，則四邊形BCEA是平行四邊形，

結合△A1BE是等邊三角形，可得四邊形BCEA是菱形，

則△BCE是等邊三角形，又O為BE中點，則CO⊥BE，

因為A1OCO?平面A1OC，A1O∩CO=O，

所以BE⊥平面A1OC；

(2)因為平面A1BE⊥平面BCDE，平面A1BE∩平面BCDE=BE，

A1O?平面A1BE，A1O⊥BE，

則A1O⊥平面BCDE，

又由(1)可得CO⊥BE，則如圖建立以O為原點的空間直角坐標系，

則O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A1(0,0,3)，E(?1,0,0)，

則A1B=(1,0,?3)，A1C=(0,3,?3)，A1E=(?1,0,?3)，

設平面A1CE的法向量為n=(x,y,z)，

則n?A1C=3y?3z=0n?A1E=?x?3z=0，

取y=1，則x=?3,z=1，

所以n=(?3,1,1)為平面A1CE的一個法向量，

設直線A1B與平面A1CE所成角為θ，

則sinθ=|19.解：(1)g(x)=1x2是f(x)=?1x在D=(0,+∞)上的限制函數(shù)，

不妨設0<x1<x2，則f(x1)?f(x2)x1?x2=?1x1+1x2x1?x2=1x1x2；

由于任意性：1x22≤1x1x2≤1x12，

即g(x2)=1x22≤f(x1)?f(x2)x1?x2