河南省豫西北教研聯(lián)盟（許洛平）2024-2025學(xué)年高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析

豫西北教研聯(lián)盟（許洛平）2024-2025學(xué)年高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，若，則（）A. B.2 C.2或 D.2或【答案】C【解析】【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得結(jié)果.【詳解】，解得：或.故選：C.2.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的包含關(guān)系，對(duì)集合是否是空集分類(lèi)討論即可求解.【詳解】集合，若，則若，則滿足題意；若，且，則，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角余弦公式和誘導(dǎo)公式直接求解即可.【詳解】，，.故選：B.4.下列選項(xiàng)中，是的充要條件的是（）A.已知非零向量B.已知C.在中，D.直線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充要條件、向量數(shù)量積運(yùn)算、一元二次不等式、正弦定理、直線平行等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】是的充要條件，則，A選項(xiàng)，對(duì)于，，可能，但的長(zhǎng)度、方向不一定相等，不能得到，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，對(duì)于，，解得，而，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，在三角形中，大角對(duì)大邊，所以，由正弦定理得，所以，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，對(duì)于，時(shí)，兩直線的方程都可以化為，此時(shí)兩直線重合，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C5.已知，則的解集為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)定義判斷奇偶性，由解析式判斷對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，綜合運(yùn)用奇函數(shù)、單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由，且定義域?yàn)镽，根據(jù)在上遞增，則在上遞增，又在上遞增，則在上遞增，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)且函數(shù)在R上連續(xù)，則在R上遞增，由，所以，解集或.故選：D6.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，直線恰有兩條，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】若線段的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，直線恰有兩條，則可得直線軸，和直線與軸重合，而從確定，最后求出雙曲線的離心率.【詳解】由過(guò)雙曲線C:x2a2?y2b2若兩點(diǎn)均在雙曲線的右支時(shí)，則軸時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值，即為通徑，此時(shí)為，若兩點(diǎn)在雙曲線的兩支時(shí)，則直線與軸重合時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值，即為實(shí)軸，此時(shí)為，若線段的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，直線恰有兩條，則，即，則雙曲線的離心率，故選：A.7.已知數(shù)列中，，若，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義求出，利用構(gòu)造法求出，再列式求解即得.【詳解】在數(shù)列中，由，得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，則，即，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.則，即，由，得，所以.故選：B8.已知，若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)明確在上的單調(diào)性后根據(jù)最值的符號(hào)可得，在這個(gè)條件下可證在上無(wú)零點(diǎn)，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】由題設(shè)可得當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，故，而為上的增函數(shù)，且，故即.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，，，故，故在上恒成立，故在上為減函數(shù)，故即在上恒成立，故在上無(wú)零點(diǎn)，綜上，，故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，往往需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值的符號(hào)來(lái)判斷，如果還涉及到分段函數(shù)，可以先求出一段上滿足零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)這個(gè)范圍討論余下一段即可.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知且，則（）A B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式可判斷ABC的正誤，利用導(dǎo)數(shù)可判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在12,1為增函數(shù)，故，故D成立，故選：ACD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與以為圓心，1為半徑的圓交于點(diǎn)，射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交圓于點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，設(shè)，則（）A.B.C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D.的對(duì)稱(chēng)中心為【答案】BC【解析】【分析】由已知條件直接驗(yàn)算AB即可；對(duì)于CD，整體代入法求單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)比即可求解.【詳解】對(duì)于A，由題意，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意，故B正確；對(duì)于C，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；對(duì)于D，，所以的對(duì)稱(chēng)中心為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為底面（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，且平面平面，則（）A.直線與平面所成角的最大值為B.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.三棱錐的體積為定值D.若，且平面，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，計(jì)算可判斷；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，可得，計(jì)算可判斷；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，可得與平面不平行，進(jìn)而可判斷；對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，計(jì)算可得，進(jìn)而可判斷.【詳解】對(duì)于A，由圖可知，點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，直線與平面所成的角最大，又點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)為時(shí)，到平面的距離最大，又因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，又，所以直線與平面所成角的最大值為，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，由，可得，所以，所以為的中點(diǎn)，由正方體，可得，又易得平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以（不含端點(diǎn)），易得，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，易證，因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，所以與平面不平行，所以點(diǎn)到平面的距離不是定值，又三角形的面積為定值，所以三棱錐的體積不為定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由平面，所以為平面的一個(gè)法向量，又，所以，所以點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，所以，所以，所以，故的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決軌跡長(zhǎng)度的關(guān)鍵是先由面面垂直可得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而計(jì)算可得軌跡長(zhǎng)度.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.【答案】##【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再求其模長(zhǎng)即得.【詳解】由，可得，則.故答案為：.13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線與的一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立直線與拋物線的方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助拋物線定義求出長(zhǎng).【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，由，解得或，即點(diǎn)或，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，直線，即，由，得，因此，顯然點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，所以.故答案為：14.已知三棱錐，二面角的大小為，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，其外接球的表面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用已知條件得到為等邊三角形、為等腰直角三角形，且面，進(jìn)而求棱錐外接球半徑，即可得表面積.【詳解】由，則底面外接圓半徑，所以，外接圓是以為直徑的圓，又，且二面角的平面角為，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，即在以為圓心，2為半徑的半圓上，要使棱錐體積最大，需保證到面的距離最大，故，此時(shí)，又，,都在面上，故面，同時(shí)，還要保證面積最大，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)最大面積，綜上，棱錐體積最大時(shí)，為等邊三角形、為等腰直角三角形，且面，如下圖，分別是中點(diǎn)，為的中心，為棱錐外接球球心，又，，所以，外接球半徑，故其表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件確定為等邊三角形、為等腰直角三角形，且面，再確定外接球球心，進(jìn)而求半徑為關(guān)鍵.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與交于兩點(diǎn)，的面積為，求的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由四邊形的面積為與，可求，進(jìn)而將代入橢圓方程可求值，從而得到橢圓的方程；（2）設(shè),與橢圓聯(lián)立方程組，可得，進(jìn)而求的值，從而由的面積可得的值，即得到直線的方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，其面積設(shè)為S，則，所以，所以，即又點(diǎn)在橢圓，則，整理得，解得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】易知的斜率不為，設(shè)，聯(lián)立，得，又，所以.所以，由，解得，所以的方程為或.16.已知函數(shù)，在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題干條件將函數(shù)解析式通過(guò)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，再代入求得的值；（2）由（1）中求得的和條件利用余弦定理建立關(guān)系式即可求得的值.【小問(wèn)1詳解】由題意得，因?yàn)?，所以由，?又因?yàn)椋裕裕?【小問(wèn)2詳解】由（1）得，.所以由余弦定理可得，，又因?yàn)?，所以，所以，即，即，?把代入，可得，所以.17.如圖，四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，先利用線線垂直證明平面，得，再由題設(shè)證平面最后由線面垂直證得平面平面；（2）過(guò)作，交于，證明平面,依題意建系，利用題設(shè)條件求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算兩平面的法向量，利用向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接.因四邊形為直角梯形，且，則，又為等邊三角形，，因平面，故平面，又平面,則，又，因平面,故平面又平面，平面平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知平面因平面,則平面平面，過(guò)作，交于，因平面平面,故平面,即為直線與平面所成的角，則，由（1）知平面因平面故，而，則于是，.如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)在面中與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則于是，，設(shè)平面的法向量為,由，則可??；又,設(shè)平面的法向量為,由，則可取.設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）若在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（2）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，證明：，其中.【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增，理由見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，對(duì)照系數(shù)得到答案；（2）二次求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到，恒成立，得到函數(shù)單調(diào)性；（3）不等式變形為，構(gòu)造，二次求導(dǎo)，結(jié)合（2）中結(jié)論得到其單調(diào)性，又，從而證明出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，故又，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，由已知得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，令，則.依題意，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.所以，因?yàn)?，則，則恒成立，所以上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】欲證成立，即證成立.設(shè)，其中.則.設(shè)，其中，則，由（2）知，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；所以在單調(diào)遞減，且.故當(dāng)時(shí)，，即，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，則在單調(diào)遞減..故在處取極大值，也是最大值，且最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)需構(gòu)造，并看出，二次求導(dǎo)后剛好利用（2）中結(jié)論進(jìn)行求解19.已知有窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，記集合的元素個(gè)數(shù)為.（1）若數(shù)列為，試寫(xiě)出集合，并求的值；（2）若是遞增數(shù)列且，求證：是等比數(shù)列；（3）判斷是否存在最大值，若存在，試說(shuō)明理由.【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析（3）存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，求出；（2）由數(shù)列的單調(diào)性和得到，故，同理可得，對(duì)照得到，證明出結(jié)論；（3）共有個(gè)元素，故最多有個(gè)，不妨取，其中均為質(zhì)數(shù)，從而推出分母為時(shí)，互不相同，結(jié)合等差數(shù)列求和公式得到答案.小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋约?，所?【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，且，因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，所以，所以且互不相等，所以，又因?yàn)?，所以且互不相等，所以所以，所以，所以，所以an為等比數(shù)列.【小問(wèn)3詳解】共有個(gè)元素，故最多