北師大版九下《哪種方式更合算》教案

4.2哪種方式更合算我們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常會(huì)遇到各種搖獎(jiǎng)活動(dòng)，通過以前的學(xué)習(xí)，學(xué)生可能已經(jīng)認(rèn)識(shí)到這些活動(dòng)中獲勝或獲獎(jiǎng)的可能性了，但還未必具有正確的評(píng)判能力和決策能力．因此應(yīng)該給予學(xué)生一定的工具，讓學(xué)生評(píng)判某項(xiàng)活動(dòng)是否“合算”．本節(jié)設(shè)計(jì)了一個(gè)具體情境，力圖讓學(xué)生在具體情境中感受“合算”，并掌握一定的判斷方法，提高其決策能力，從而對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中一些類似的現(xiàn)象進(jìn)行評(píng)判．當(dāng)然，這本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)期望．因而該知識(shí)具有一定的思維要求．在選取素材時(shí)，教材注意知識(shí)的前后聯(lián)系，選擇了一個(gè)學(xué)生以前研究過的問題情境，以降低學(xué)生解決問題的難度；同時(shí)在解決問題的過程中，又強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的體驗(yàn)，讓學(xué)生首先通過實(shí)驗(yàn)獲得初步的感受，再通過和前一節(jié)中加權(quán)平均數(shù)的聯(lián)系，逐步獲得對(duì)問題的理論解釋．因此本節(jié)的重點(diǎn)是經(jīng)歷解決問題的活動(dòng)過程，并在活動(dòng)中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合作交流意識(shí)與能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力；通過具體問題情境，讓學(xué)生初步體會(huì)如何評(píng)判某件事情是否“合算”，并利用它對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的一些現(xiàn)象進(jìn)行評(píng)判，進(jìn)一步體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系．教學(xué)時(shí)，要注重學(xué)生的活動(dòng)，特別是小組合作的活動(dòng)，在各種教學(xué)活動(dòng)中，鼓勵(lì)學(xué)生思維的多樣性，避免評(píng)價(jià)的單一性．注重實(shí)驗(yàn)估算與理論計(jì)算相結(jié)合，要在兩者之間巧妙的過渡，加強(qiáng)其與平均數(shù)的聯(lián)系，從而既促進(jìn)了學(xué)生的理解，同時(shí)也滲透了概率統(tǒng)計(jì)之間的聯(lián)系．教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)通過具體問題情境，讓學(xué)生初步體會(huì)如何評(píng)判某件事情是否“合算”，并利用它對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的一些現(xiàn)象進(jìn)行評(píng)判．(二)能力訓(xùn)練要求1.經(jīng)歷解決問題的活動(dòng)過程，并在活動(dòng)中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合作交流意識(shí)和能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力．2．進(jìn)一步體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系，建立良好的隨機(jī)觀念．(三)情感與價(jià)值觀要求1．積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂．2．鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣和信心，通過對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的理論解釋，獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感．教學(xué)重點(diǎn)通過具體問題情境，讓學(xué)生初步體會(huì)如何評(píng)判某件事情是否“合算”，并利用它對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的一些現(xiàn)象進(jìn)行評(píng)判．教學(xué)難點(diǎn)理論地計(jì)算每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)．教學(xué)方法實(shí)驗(yàn)——引導(dǎo)法．教具準(zhǔn)備若干個(gè)學(xué)生自做的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤．教學(xué)過程Ⅰ．創(chuàng)設(shè)情境，建立“實(shí)驗(yàn)”平臺(tái)[師]也許你曾被大幅的彩票廣告所吸引，也許你曾經(jīng)歷過各種搖獎(jiǎng)促銷活動(dòng)。你研究過獲得各種獎(jiǎng)項(xiàng)的可能性嗎?你想知道每一次活動(dòng)的平均收益嗎?讓我們一起來研究其中的奧秘吧!我先給大家講一個(gè)集市上的故事：熙熙攘攘的集市上，某人在設(shè)攤“摸彩”，只見他手拿一袋，內(nèi)裝大小、形狀、質(zhì)量完全相同的4個(gè)綠球和4個(gè)紅球，每次讓“顧客”免費(fèi)從袋中摸出4個(gè)球，輸贏的規(guī)則是：所摸球的顏色顧客的收益4個(gè)全紅得50元3紅1綠得50元2紅2綠失30元1紅3綠得20元4個(gè)全綠得50元只見很多顧客圍上前去，“免費(fèi)”摸球，而且只有摸到“2紅2綠”的情況才賠錢，其余情況都能得錢．而我在旁邊觀察的結(jié)果有一半以上的人都賠了錢，這種活動(dòng)的欺騙性到底體現(xiàn)在什么地方呢?相信同學(xué)們經(jīng)過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，一定能揭開其中的“奧秘”，而不愿參加這一“免費(fèi)”活動(dòng)．Ⅱ．講授新課[師]我們?cè)谌粘Ｉ钪?，?jīng)常會(huì)遇到各種搖獎(jiǎng)活動(dòng)，下面就是一例(多媒體演示)某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(如下圖)，并規(guī)定：顧客每購(gòu)買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)．如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購(gòu)物券，憑購(gòu)物券可以在該商場(chǎng)繼續(xù)購(gòu)物．如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購(gòu)物券10元，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購(gòu)物券，你認(rèn)為哪種方式更合算?[師]“合算”是指什么呢?[生]“合算”是指哪種方式拿到的購(gòu)物券金額最大．[師]如果不轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，可以直接獲得購(gòu)物券10元，如果轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，就會(huì)出現(xiàn)多種可能的結(jié)果，會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果呢?[生]可能指針指向紅色，那么可以獲得100元的購(gòu)物券，可是轉(zhuǎn)盤的紅色區(qū)域很小，只有轉(zhuǎn)盤的，也就是說，轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，指針指向紅色區(qū)域的概率只有0．05；指針也可能指向黃色區(qū)域，那么可以獲得50元的購(gòu)物券，可是轉(zhuǎn)盤的黃色區(qū)域也很小，只有轉(zhuǎn)盤的，也就是說，轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，指針指向黃色區(qū)域的概率只有0．1；指針也可能指向綠色區(qū)域，那么可以獲得20元的購(gòu)物券，那也比不轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤“合算”，但轉(zhuǎn)盤的綠色區(qū)域?yàn)檎麄€(gè)轉(zhuǎn)盤的，也就是說，轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，指針指向綠色區(qū)域的概率為0．2：指針最大的可能會(huì)指向白色區(qū)域，因?yàn)榘咨珔^(qū)域是整個(gè)轉(zhuǎn)盤的，也就是說，轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，指針指向白色區(qū)域的概率為0．65．如果這樣的話，就不如不轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤“合算”．[師]很好!聽了大家的分析，看來大家處于“兩難”之中．如果放棄轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，就意味著放棄了獲得100元、50元、20元購(gòu)物券的機(jī)會(huì)．如果不放棄，就意味著有可能連獲得10元購(gòu)物券的機(jī)會(huì)也沒有了．怎么辦呢?下面我們先來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，也許你會(huì)從中找到解決這個(gè)問題的辦法．(多媒體演示)做一做(1)組成合作小組，仿照上圖制作一個(gè)轉(zhuǎn)盤，用實(shí)驗(yàn)的辦法(每組實(shí)驗(yàn)100次)分別求出獲得100元、50元、20元購(gòu)物券以及未能獲得購(gòu)物券的頻率，并據(jù)此估計(jì)每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)．看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購(gòu)物券，哪種方式更合算．(2)全班交流，看看各小組的結(jié)論是否一致，并將各組的數(shù)據(jù)匯總，計(jì)算每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲得購(gòu)物券金額的平均數(shù)．實(shí)驗(yàn)?zāi)康模鹤寣W(xué)生親自體驗(yàn)，看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購(gòu)物券，哪種方式合算．實(shí)驗(yàn)方式：小組或全班合作研討實(shí)驗(yàn)步驟：1．仿照上圖制作一個(gè)轉(zhuǎn)盤．2．小組內(nèi)分工，一個(gè)人自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，一個(gè)人觀察指針指向區(qū)域(在交界處的重新試驗(yàn)，不計(jì)次數(shù))，一個(gè)人記錄，把實(shí)驗(yàn)的結(jié)果填入下表(實(shí)驗(yàn)100次)獲得100元購(gòu)物券獲得50元購(gòu)物券獲得20元購(gòu)物券未能獲得購(gòu)物券頻數(shù)頻率3．根據(jù)上表估算每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)，看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購(gòu)物券，哪種方式更合算．4．全班交流，看看各小組的結(jié)論是否一致，并將各組數(shù)據(jù)匯總，計(jì)算每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)．看看哪種方式更合算．[師]你在實(shí)驗(yàn)中是如何計(jì)算每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)呢?[生]當(dāng)做100次實(shí)驗(yàn)時(shí)，設(shè)獲得100元購(gòu)物券的頻率為a1，獲得50元購(gòu)物券的頻率為a2，獲得20元的購(gòu)物券的頻率為a3，未能獲得購(gòu)物券的頻率為a4，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義，可得，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)為100a1+50a2+20a3+0a4＝100a1+50a2+20a3．[師]當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，a2、a2、a3、a4會(huì)怎么樣呢?[生]當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，a1、a2、a3、a4表示的實(shí)驗(yàn)頻率將穩(wěn)定于一個(gè)值，我們把它叫做概率．也就是說，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，我們可以用實(shí)驗(yàn)頻率估計(jì)理論概率．[師]同學(xué)們表現(xiàn)得真棒，我們?cè)賮硗瓿伞跋胍幌搿?多媒體演示)想一想(1)如果把上圖的轉(zhuǎn)盤改為下圖的圖(1)的轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客仍分別獲得100元、50元、20元的購(gòu)物券，與上圖的轉(zhuǎn)盤比，哪一個(gè)轉(zhuǎn)盤對(duì)顧客更合算?如果改用下圖中的圖(2)呢?(2)不用實(shí)驗(yàn)的方法，你能求出每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲得購(gòu)物券金額的平均數(shù)嗎?(通過轉(zhuǎn)盤的“變式”，讓學(xué)生理性地思考影響所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)的因素，為學(xué)生得出后面的理論計(jì)算方法打下基礎(chǔ))[生]圖(1)和原來的轉(zhuǎn)盤對(duì)顧客而言結(jié)果是一樣的．因?yàn)橹羔樎湓诩t色區(qū)域、黃色區(qū)域和綠色區(qū)域的可能性沒有變．[生]圖(2)和原來的轉(zhuǎn)盤對(duì)顧客而言結(jié)果不一樣，圖(2)的結(jié)果對(duì)顧客來說更合算．因?yàn)槲传@購(gòu)物券和獲得50元購(gòu)物券的可能性沒有變化，獲得20元購(gòu)物券的可能性減少，獲得100元購(gòu)物券的可能性增加．[師]如果不用試驗(yàn)的方法，你能求出每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)嗎?[生]由圖(1)我們知道，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，獲得100元購(gòu)物券的概率為，獲得50元購(gòu)物券的概率為，獲得20元購(gòu)物券的概率為，根據(jù)概率與頻率的關(guān)系，可以認(rèn)為轉(zhuǎn)動(dòng)n次轉(zhuǎn)盤，獲得100元購(gòu)物券的次數(shù)為n次，獲得50元購(gòu)物券的次數(shù)為n次，獲得20元購(gòu)物券的次數(shù)為n次，所以每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)應(yīng)該為(元)．（100×n+50×n+20×n）÷n=100×+50×+20×=14(元)．同理，使用圖(2)的轉(zhuǎn)盤，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)應(yīng)該是100×+50×+20×=18(元)[師]這種算法你曾用過嗎?[生]用過，其實(shí)這種算法與上一節(jié)小明估算農(nóng)村居民的人均純收入的方法是一致的，我們可以把轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤時(shí)指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的概率分別看作100元、50元、20元的權(quán)，計(jì)算每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)就可以用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式．議一議小亮根據(jù)圖(1)的轉(zhuǎn)盤，繪制了一個(gè)扇形統(tǒng)計(jì)圖，(如下圖)，據(jù)此他認(rèn)為，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)是100×5%+50×10％+20×20%＝14(元)．你能解釋小亮這樣做的道理嗎?[生]根據(jù)當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率．由圖(1)可知，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的可能性大小即概率分別為、、我們可以把、、看作實(shí)驗(yàn)n次(n很大)時(shí)，指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的頻率，因此可繪制小亮所得的扇形統(tǒng)計(jì)圖，反映了轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)動(dòng)一次，指針落在各種區(qū)域的比例的大小，也反映了轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域、白色區(qū)域的權(quán)重．由加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式就可求出轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)是100×5+50×10%+20×20%＝14(元)．我認(rèn)為小亮的算法是有道理的．[生]但是我覺得小亮的方法不對(duì)．按小亮的算法我們組轉(zhuǎn)了100次，總共獲得購(gòu)物券應(yīng)為1400元，可我們總共獲得購(gòu)物券是1320元[生]我認(rèn)為小亮的算法有道理，正如實(shí)驗(yàn)頻率和理論概率的關(guān)系一樣，實(shí)驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)該和理論值相近，但實(shí)驗(yàn)次數(shù)再多，也很難保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值相等，因?yàn)橛眯×恋姆椒ㄓ?jì)算的平均數(shù)是用概率估算出來的，這是我們實(shí)際生活中存在不確定現(xiàn)象時(shí)的一種合理的決策和評(píng)判．[師]看來，在同學(xué)們頭腦中已建立了良好的隨機(jī)觀念．Ⅲ．隨堂練習(xí)1．改用另一個(gè)轉(zhuǎn)盤進(jìn)行上面的活動(dòng)，小穎根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制出下面的扇形統(tǒng)計(jì)圖，求每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)．解：根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖，可知每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)是100×10%+50×15%+20×25%＝22．5(元)．2．與同伴合作，估計(jì)每摸一次球的平均收益，你愿意參加這一“免費(fèi)”摸球活動(dòng)嗎?(分組實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生通過一定次數(shù)的實(shí)驗(yàn)，感受到該活動(dòng)的欺騙性，而不再愿意參加這一“免費(fèi)”活動(dòng))事實(shí)上，從袋中摸出4個(gè)球，4個(gè)全紅的概率為，3紅1綠的概率為，2紅2綠的概率為，1紅3綠的概率為，4個(gè)全綠的概率為，因此每摸一次球的平均收益是50×+20×-30×+20×+50×=-（元）.Ⅳ．課時(shí)小結(jié)這節(jié)課我們繼續(xù)經(jīng)歷解決問題的活動(dòng)過程，在具體情境中感受“合算”并掌握了一定的判斷方法，提高了決策能力，從而對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的一些類似現(xiàn)象評(píng)判，進(jìn)一步體會(huì)到概率與統(tǒng)計(jì)之間的聯(lián)系，更好地建立了隨機(jī)觀念．Ⅴ．課后作業(yè)習(xí)題4．3第2、3題．Ⅵ．活動(dòng)與探究用習(xí)題4．3第2題的轉(zhuǎn)盤(如圖)做游戲，每次游戲游戲者需交游戲費(fèi)1元．游戲時(shí)，游戲者先押一個(gè)數(shù)字，然后快速地轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，若轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針?biāo)父褡又械臄?shù)字恰為游戲者所押數(shù)字，則游戲者將獲得獎(jiǎng)勵(lì)36元．該游戲?qū)τ螒蛘哂欣麊?轉(zhuǎn)動(dòng)多少次后，游戲者平均每次將獲利或損失多少元?[過程]在此游戲中，指針落在37個(gè)區(qū)域的可能性是一樣的，而游戲者押中的概率為，押錯(cuò)的概率為.[結(jié)果]每押中一次獲得獎(jiǎng)金(36-1＝)35元，押錯(cuò)損失1元，因此轉(zhuǎn)動(dòng)多次后，游戲者平均每次將獲利35×-1×＝-(元)．因此，該游戲?qū)τ螒蛘卟焕?，游戲者平均每次損失元．板書設(shè)計(jì)§4．2哪種方式合算一、顧客每購(gòu)買100元的商品，就獲得購(gòu)物券，獲購(gòu)物券的方式有兩種：1．獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅、黃、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購(gòu)物券，憑購(gòu)物券在商場(chǎng)購(gòu)物．2．不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，可直接獲購(gòu)物券10元．問題：哪種方式合算?二、1，實(shí)驗(yàn)，分組，全班交流，2．不用實(shí)驗(yàn)：求出每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購(gòu)物券金額的平均數(shù)．備課資料參考練習(xí)1．小明在游樂場(chǎng)看到別人正在玩一種游戲．玩這種游戲需要用一張票，游戲者擲兩個(gè)塑料的圓柱形瓶子．如果兩個(gè)瓶子都是底朝上站住的，游戲者可以得到10張票玩其他游戲．小明看別人玩了一會(huì)，并把結(jié)果記錄在表格中．兩個(gè)都是邊朝上一個(gè)底朝上一上底朝下兩個(gè)都是底朝上24次14次2次(1)基于小明的記錄結(jié)果，贏得游戲的實(shí)驗(yàn)概率是多少?(2)基于上述概率，如果小明